届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案.docx
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届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案
2012届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案
第一 集合与常用逻辑用语
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考试要求重难点击命题展望
1集合的含义与表示
（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题
2集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义
3集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算
4命题及其关系
（1）理解命题的概念；
（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
（3）理解必要条，充分条与充要条的意义
简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义
6全称量词与存在量词
（1）理解全称量词与存在量词的意义；
（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定本重点：
1集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；
2命题的必要条、充分条与充要条，对所给命题进行等价转化
本难点：
1自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；
2充分条、必要条的判断；
3对含有一个量词的命题进行否定的理解1考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；
2将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；
3考查命题的必要条、充分条与充要条，要求考生会对所给命题进行等价转化；
4要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定
知识网络
11 集合及其运算
典例精析
题型一 集合中元素的性质
【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值
【解析】令a＋1＝－3ͤa＝－4，检验合格；
令a－3＝－3ͤa＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；
令2a－1＝－3ͤa＝－1，检验合格；
而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4
【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求
【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求a和b的值
【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，
得①或② 显然①无解；由②得a＝－1，b＝1
题型二 集合的基本运算
【例2】已知A＝{x|x2－8x＋1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a
【解析】由已知得A＝{3，}当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{1a}
要使B⊆A，则1a＝3或1a＝，即a＝13或1
综上，a＝0或13或1
【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根
【变式训练2】（2010江西）若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{|＝x2，x∈R}，则A∩B等于（ ）
A{x|－1≤x≤1}B{x|x≥0}
{x|0≤x≤1}D
【解析】选A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞），所以A∩B＝[0,1]
题型三 集合语言的运用
【例3】已知集合A＝[2，lg2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B
（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；
（2）某个函数f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于06，试确定t的取值范围
【解析】
（1）因为A的区间“长度”为3，所以lg2t－2＝3，即lg2t＝，所以t＝32
（2）由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10
设A的区间“长度”为，因为f（x）∈A的概率不小于06，
所以10≥06，所以≥6，即lg2t－2≥6，解得t≥28＝26
又A⊆B，所以lg2t≤12，即t≤212＝4096，所以t的取值范围为[26,4096]（或[28,212]）
【变式训练3】设全集U是实数集R，＝{x|x2＞4}，N＝{x|2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A{x|－2≤x＜1}
B{x|－2≤x≤2}
{x|1＜x≤2}
D{x|x＜2}
【解析】选
化简得＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为ͦR∩N＝{x|1＜x≤2}
总结提高
1元素与集合及集合与集合之间的关系
对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系
2“数形结合”思想在集合运算中的运用
认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想
（1）要牢固掌握两个重要工具：
韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理
（2）学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决
3处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论
命题及其关系、充分条与必要条
典例精析
题型一 四种命题的写法及真假判断
【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假
（1）若，n都是奇数，则＋n是奇数；
（2）若x＋＝，则x＝3且＝2
【解析】
（1）逆命题：
若＋n是奇数，则，n都是奇数，假命题；
否命题：
若，n不都是奇数，则＋n不是奇数，假命题；
逆否命题：
若＋n不是奇数，则，n不都是奇数，假命题
（2）逆命题：
若x＝3且＝2，则x＋＝，真命题；
否命题：
若x＋≠，则x≠3或≠2，真命题；
逆否命题：
若x≠3或≠2，则x＋≠，假命题
【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条与结论，根据四种命题结构写出所求命题判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性
【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是（ ）
A若p，则qB若q，则p
若q，则pD若q，则p
【解析】选B
题型二 充分必要条探究
【例2】设＞0，且为常数，已知条p：
|x－2|＜，条q：
|x2－4|＜1，若p是q的必要非充分条，求实数的取值范围
【解析】设集合A＝{x||x－2|＜}＝{x|2－＜x＜2＋}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜或－＜x＜－3}
由题设有：
qͤp且p不能推出q，所以pͤq且q不能推出p，所以A⊆B
因为＞0，所以（2－，2＋）⊆（3，），
故由2＋≤且2－≥3ͤ0＜≤－2，故实数的取值范围为（0，－2]
【点拨】正确化简条p和q，然后将充分条、必要条问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决
【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条是（ ）
A0≤a≤2B－2＜a＜2
0＜a≤2D0＜a＜2
【解析】选A因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，
即0≤a≤2
题型三 充分必要条的证明
【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：
对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an成立的充要条是{an}为等差数列
【证明】
（1）（充分性）若{an}为等差数列，设其公差为d，则
1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝1d[（1a1－1a2）＋（1a2－1a3）＋…＋（1an－1－1an）]
＝1d（1a1－1an）＝an－a1da1an＝n－1a1an
（2）（必要性）若1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an，
则1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝na1an＋1，
两式相减得1anan＋1＝na1an＋1－n－1a1anͤa1＝nan－（n－1）an＋1①
于是有a1＝（n＋1）an＋1－nan＋2，②
由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1（n≥2）
又由1a1a2＋1a2a3＝2a1a3ͤa3－a2＝a2－a1，
所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列
【点拨】按照充分必要条的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求
【变式训练3】设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（ ）
A充分不必要条B必要不充分条
充分必要条D既不充分也不必要条
【解析】选B若xsinx＜1，因为x∈（0，π2），所以xsinx＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立若xsin2x＜1，由于函数f（x）＝xsin2x在（0，π2）上单调递增，且π2sin2π2＝π2＞1，所以存在x0∈（0，π2）使得x0sin2x0＝1又x0sinx0＞x0sin2x0＝1，即x0sinx0＞1，所以存在x0′∈（0，x0）使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sinx0′≥1，故充分性不成立
总结提高
1四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条的变化上
2由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明达到目的适合这种处理方法的题型有：
①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单
3p是q的充分条，即pͤq，相当于分别满足条p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：
P⊆Q，即PQ或P＝Q，必要条正好相反而充要条p⇔q就相当于P＝Q
4以下四种说法表达的意义是相同的：
①命题“若p，则q”为真；②pͤq；③p是q的充分条；④q是p的必要条
13 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词
典例精析
题型一 全称命题和特称命题的真假判断
【例1】判断下列命题的真假
（1）∀x∈R，都有x2－x＋1＞12；
（2）∃α，β使s（α－β）＝sα－sβ；
（3）∀x，∈N，都有x－∈N；
（4）∃x0，0∈Z，使得2x0＋0＝3
【解析】
（1）真命题，因为x2－x＋1＝（x－12）2＋34≥34＞12
（2）真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意
（3）假命题，例如x＝1，＝，但x－＝－4∉N
（4）真命题，例如x0＝0，0＝3，符合题意
【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立
【变式训练1】已知命题p：
∃x∈R，使tanx＝1，命题q：
∀x∈R，x2＞0则下面结论正确的是（ ）
A命题“p∧q”是真命题B命题“p∧q”是假命题
命题“p∨q”是真命题D命题“p∧q”是假命题
【解析】选D先判断命题p和q的真假，再逐个判断容易知命题p是真命题，如x＝π4，p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，错误；“p∧q”是假命题，D正确
题型二 含有一个量词的命题的否定
【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假
（1）p：
∀x∈R，x2－x＋14≥0；
（2）q：
所有的正方形都是矩形；
（3）r：
∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；
（4）s：
至少有一个实数x，使x3＋1＝0
【解析】
（1）p：
∃x∈R，x2－x＋14＜0，是假命题
（2）q：
至少存在一个正方形不是矩形，是假命题
（3）r：
∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题
（4）s：
∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题
【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可
【变式训练2】已知命题p：
∀x∈（1，＋∞），lg3x＞0，则p为
【解析】∃x0∈（1，＋∞），lg3x0≤0
题型三 命题的真假运用
【例3】若r（x）：
sinx＋sx＞，s（x）：
x2＋x＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r（x）为假命题”且“对任意的x∈R，s（x）为真命题”，求实数的取值范围
【解析】因为由＜sinx＋sx＝2sin（x＋π4）恒成立，得＜－2；
而由x2＋x＋1＞0恒成立，得2－4＜0，即－2＜＜2
依题意，r（x）为假命题且s（x）为真命题，所以有≥－2且－2＜＜2，
故所求的取值范围为－2≤＜2
【点拨】先将满足命题p、q的的取值集合A、B分别求出，然后由r（x）为假命题（取A的补集），s（x）为真命题同时成立（取交集）即得
【变式训练3】设是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：
在定义域内存在x0，使得f（x0＋1）＝f（x0）＋f
（1）成立已知下列函数：
①f（x）＝1x；②f（x）＝2x；③f（x）＝lg（x2＋2）；④f（x）＝sπx，其中属于集合的函数是 （写出所有满足要求的函数的序号）
【解析】②④对于①，方程1x＋1＝1x＋1，显然无实数解；
对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；
对于③，方程lg[（x＋1）2＋2]＝lg（x2＋2）＋lg3，显然也无实数解；
对于④，方程s[π（x＋1）]＝sπx＋sπ，
即sπx＝12，显然存在x使等式成立故填②④
总结提高
1同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择
2命题的否定，一定要注意与否命题的区别：
全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定而命题的否命题，则是将原命题中的条否定当条，结论否定当结论构成一个新的，即否命题
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