初二数学第五讲.docx

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初二数学第五讲

习题1

已知矩形ABCD内有定点M试证AM方+CM方=BM方+DM方．

分别从M点向4边作垂线，例如M到AB的垂线MP，AM方=AP方+MP方。

AM,CM,BM,DM全部转化后，你会发现答案

习题2：

小明遇到这样一个问题：

如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形

习题3：

已知△ABC,请你在BC边上分别取两点D,E…并表示出面积相等的三角形

（1）解：

如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，

这样，△ABD和△AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，

那么△ADC和△ABE的面积就相等．

（2）证明：

如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF与AB交于G点．

∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD

在△AEC和△FBD中，又CE=BD，

∴△AEC≌△FBD，

∴AC=FD，AE=FB，

在△AGD中，AG+DG＞AD，

在△BFG中，BG+FG＞FB，

即AB+FD＞AD+FB

∴AB+AC＞AD+AE．

习题4：

我们给出如下定义：

若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：

当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

解：

（1）等腰梯形、矩形、正方形．

（2）结论：

等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：

四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=BD，

且∠AOD=60度．

求证：

BC+AD≥AC．

证明：

过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．

连接CE，BE．

故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形．

∵AC=DE，AC=BD，

∴DE=BD，

∵∠EDO=60°，

∴△BDE是等边三角形．

所以DE=BE=AC．

①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），

在△BCE中，有BC+CE＞BE．

所以BC+AD＞AC．

②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），

则BC+CE=BE．

因此BC+AD=AC

综合①、②，得BC+AD≥AC．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．

点评：

本题综合考查了平行四边形的判定和三角形的有关知识，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．

习题5：

在等腰三角形abc的一腰上AB上取一点D，在另一腰AC的延长线上取CE=BD，连接DE，则DE＞BC

第一步：

过D作DF‖CE交BC于F，DE与BC交于G，

由∠ACB=∠DFB=∠B，

∴BD=FD=CE，

由∠E=∠FDE，

∴△FDG≌△CEG（A，A，S）

∴DG=EG

（2）第二步：

过B作BH‖CE，

且BH=CE，连EH，

∴四边形BCEH是平行四边形。

由∠DBG=∠ACB=∠HBG，

DB=CE=BH，BG是公共边，

∴△DBG≌△HBG（S，A，S），

∴DG=HG，即DE=EG+HG，

由BC=EH，

在△HEG中：

EG+HG＞EH，

∴DE＞BC。

证毕。

习题6：

在△ABC中，点P为BC的中点．

分析：

（1）可通过构建平行四边形求解；延长AP至H，使PH=AP；则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在△ACH中，由三角形三边关系定理知：

AH＜AC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代换后即可证得所求的结论；

（2）①可按照

（1）题的思路求解；过B作AE的平行线，交DE于H，连接AH、CH；易知AD=AE，若∠BAC=60°，则△ADE是等边三角形，易证得△DBH也是等边三角形，此时DB=BH=AC，则四边形ABHC的一组对边平行且相等，则四边形ABHC是平行四边形；由此可证得P是平行四边形ABHC对角线的交点，且AH=2AP；下面可通过证△DBE≌△DHA得出AH=DE，从而得出DE=2AP的结论；

②分两种情况：

一、AB=AC时，由题意易知AB=AC=BD=CE，则BC是三角形ADE的中位线，此时DE=2BC；

二、AB≠AC时，仿照①的思路，可以BC、BD为边作平行四边形DBCG，连接GE；易证得△ABC≌△CEG，则AB=GE；而根据平行四边形的性质易知BC=DG，那么在等腰△DGE中，DG=GE，根据三角形三边关系定理知：

DG+GE＞DE，即2BC＞DE；

综合上述两种情况即可证得所求的结论．

解答：

（1）证明：

延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC，PH；

∵BP=PC；

∴四边形ABHC是平行四边形；

∴AB=HC；

在△ACH中，AH＜HC+AC；

∴2AP＜AB+AC；

即AP＜

1

2

（AB+AC）

（2）①答：

BE=2AP．

证明：

过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH；

∴∠1=∠BAC=60°；

∵DB=AC，AB=CE，

∴AD=AE，

∴△AED是等边三角形，

∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；

∴△BDH是等边三角形；

∴BD=DH=BH=AC；

∴四边形ABHC是平行四边形；

∵点P是BC的中点，

∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点，

∴点A，P，H共线，

∴AH=2AP；

在△ADH和△EDB中，

AD=ED

∠D=∠D

DH=DB

；

∴△ADH≌△EDB；

∴AH=BE=2AP；

②证明：

分两种情况：

ⅰ）当AB=AC时，

∴AB=AC=DB=CE；

∴BC=

1

2

DE；

ⅱ）当AB≠AC时，

以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）

∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG，

∵AB=CE；

∴△ABC≌△CEG；

∴BC=EG=DG；

在△DGE中，DG+GE＞DE；

∴2BC＞DE，即BC＞

1

2

DE；

综上所述，BC≥

1

2

DE．

点评：

此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．

习题7：

已知：

△ABC．

（1）如果AB=AC，D、E是AB、AC上的点，若AD=AE，请你写出此图中的另一组相等的线段；

（2）如果AB＞AC，D、E是AB、AC上的点，若BD=CE，请你确定DE与BC的数量关系，并证明你的结论．

分析：

（1）根据等式的性质，则DB=EC；

（2）过E点作EF∥AB，且EF=DB，连接BF．作∠CEF的平分线EN交BC于N，连接NF．根据SAS可以证明△ENF≌△ENC，所以NF=NC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形BDEF是平行四边形．故DE=BF．再根据三角形的三边关系即可判断．

解答：

解：

（1）DB=EC；

（2）结论：

DE＜BC．

过E点作EF∥AB，且EF=DB，连接BF．（3分）

作∠CEF的平分线EN交BC于N，连接NF（4分）

因DB=EF，又因DB=EC，则EF=EC．

因EN平分∠CEF，所以∠FEN=∠CEN．

在△ENF和△ENC中，

EF=EC

∠FEN=∠CEN

EN=EN

，

所以△ENF≌△ENC，

所以NF=NC，

因DB∥EF，DB=EF，

所以四边形BDEF是平行四边形．故DE=BF．

在△BFN中，因BN+FN＞BF，

所以BN+FN＞DE．

所以DE＜BC．

点评：

此题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系．能够巧妙构造全等三角形是解决此题的关键．

习题8：

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．

（1）若BD=AC，AE=CD，在如图中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；

解：

作EF等于且平行BD，则EP平行FD，

∴∠APE=∠ADF，

∴△ACD≌△AEF，

∴AD=AF，

∴△AFD为等腰直角三角形．

∴∠APE=45°．

答：

∠APE的度数为45°．

习题9：

如图所示，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3．已知A2C3=C2B3=B2A3，且C2C32+B2B32=A2A32．请你证明：

AlB1⊥C1A1．

分析：

如图，过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O，连接OA3、0B3，可证得四边形A2OC2C3和四边形OB3B2A3是平行四边形，则可得OA2=C2C3，OA3=B2B3，由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°，根据两角边与边的平行关系，即可证得∠C1A1B1=90°，即A1B1⊥C1A1．

解答：

证明：

如图，过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O，连接OA3、0B3，

∴A2OC2C3是平行四边形，

∴A2O∥C3C2，且A2O=C3C2，OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2，

∴△OB3C2是正三角形，

∴∠OB3C2=60°=∠B，

∴OB3∥A3B2，

又∵0B3=B3C2=A3B2，

∴OB3B2A3是平行四边形，

∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2，

∵C2C32+B2B32=A2A32，

∴OA22+OA32=A2A32，

在△A2OA3中，

∵OA22+OA32=A2A32，

∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°，

∵已证OA3∥B3B2，即OA3∥A1C1，A2O∥C3C2，即A2O∥B1A1，

∴∠C1A1B1=90°，

∴A1B1⊥C1A1．

．

习题10如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=24cm，BD=18cm．则六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米

分析：

连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．

计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．

解答：

解：

连接AC交BD于G，AE交DF于H．

∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，

∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，

∴AE=BD，AC=FD，

∴EH=BG．

平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432．

点评：

此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．