初二数学第五讲.docx
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初二数学第五讲
习题1
已知矩形ABCD内有定点M试证AM方+CM方=BM方+DM方.
分别从M点向4边作垂线,例如M到AB的垂线MP,AM方=AP方+MP方。
AM,CM,BM,DM全部转化后,你会发现答案
习题2:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形
习题3:
已知△ABC,请你在BC边上分别取两点D,E…并表示出面积相等的三角形
(1)解:
如图1,相应的条件就应该是BD=CE≠DE,
这样,△ABD和△AEC的面积相等,由于BD=CE,因此BE=CD,
那么△ADC和△ABE的面积就相等.
(2)证明:
如图2,分别过点D、B作CA、EA的平行线,两线相交于F点,DF与AB交于G点.
∴∠ACE=∠FDB,∠AEC=∠FBD
在△AEC和△FBD中,又CE=BD,
∴△AEC≌△FBD,
∴AC=FD,AE=FB,
在△AGD中,AG+DG>AD,
在△BFG中,BG+FG>FB,
即AB+FD>AD+FB
∴AB+AC>AD+AE.
习题4:
我们给出如下定义:
若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
解:
(1)等腰梯形、矩形、正方形.
(2)结论:
等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
已知:
四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=BD,
且∠AOD=60度.
求证:
BC+AD≥AC.
证明:
过点D作DF∥AC,在DF上截取DE,使DE=AC.
连接CE,BE.
故∠EDO=60°,四边形ACED是平行四边形.
∵AC=DE,AC=BD,
∴DE=BD,
∵∠EDO=60°,
∴△BDE是等边三角形.
所以DE=BE=AC.
①当BC与CE不在同一条直线上时(如图1),
在△BCE中,有BC+CE>BE.
所以BC+AD>AC.
②当BC与CE在同一条直线上时(如图2),
则BC+CE=BE.
因此BC+AD=AC
综合①、②,得BC+AD≥AC.
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.
点评:
本题综合考查了平行四边形的判定和三角形的有关知识,解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系.
习题5:
在等腰三角形abc的一腰上AB上取一点D,在另一腰AC的延长线上取CE=BD,连接DE,则DE>BC
第一步:
过D作DF‖CE交BC于F,DE与BC交于G,
由∠ACB=∠DFB=∠B,
∴BD=FD=CE,
由∠E=∠FDE,
∴△FDG≌△CEG(A,A,S)
∴DG=EG
(2)第二步:
过B作BH‖CE,
且BH=CE,连EH,
∴四边形BCEH是平行四边形。
由∠DBG=∠ACB=∠HBG,
DB=CE=BH,BG是公共边,
∴△DBG≌△HBG(S,A,S),
∴DG=HG,即DE=EG+HG,
由BC=EH,
在△HEG中:
EG+HG>EH,
∴DE>BC。
证毕。
习题6:
在△ABC中,点P为BC的中点.
分析:
(1)可通过构建平行四边形求解;延长AP至H,使PH=AP;则AH、BC互相平分,四边形ABHC是平行四边形;在△ACH中,由三角形三边关系定理知:
AH<AC+CH,而HC=AB,AH=2AP,等量代换后即可证得所求的结论;
(2)①可按照
(1)题的思路求解;过B作AE的平行线,交DE于H,连接AH、CH;易知AD=AE,若∠BAC=60°,则△ADE是等边三角形,易证得△DBH也是等边三角形,此时DB=BH=AC,则四边形ABHC的一组对边平行且相等,则四边形ABHC是平行四边形;由此可证得P是平行四边形ABHC对角线的交点,且AH=2AP;下面可通过证△DBE≌△DHA得出AH=DE,从而得出DE=2AP的结论;
②分两种情况:
一、AB=AC时,由题意易知AB=AC=BD=CE,则BC是三角形ADE的中位线,此时DE=2BC;
二、AB≠AC时,仿照①的思路,可以BC、BD为边作平行四边形DBCG,连接GE;易证得△ABC≌△CEG,则AB=GE;而根据平行四边形的性质易知BC=DG,那么在等腰△DGE中,DG=GE,根据三角形三边关系定理知:
DG+GE>DE,即2BC>DE;
综合上述两种情况即可证得所求的结论.
解答:
(1)证明:
延长AP至H,使得PH=AP,连接BH、HC,PH;
∵BP=PC;
∴四边形ABHC是平行四边形;
∴AB=HC;
在△ACH中,AH<HC+AC;
∴2AP<AB+AC;
即AP<
1
2
(AB+AC)
(2)①答:
BE=2AP.
证明:
过B作BH∥AE交DE于H,连接CH、AH;
∴∠1=∠BAC=60°;
∵DB=AC,AB=CE,
∴AD=AE,
∴△AED是等边三角形,
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°;
∴△BDH是等边三角形;
∴BD=DH=BH=AC;
∴四边形ABHC是平行四边形;
∵点P是BC的中点,
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点,
∴点A,P,H共线,
∴AH=2AP;
在△ADH和△EDB中,
AD=ED
∠D=∠D
DH=DB
;
∴△ADH≌△EDB;
∴AH=BE=2AP;
②证明:
分两种情况:
ⅰ)当AB=AC时,
∴AB=AC=DB=CE;
∴BC=
1
2
DE;
ⅱ)当AB≠AC时,
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC(如图)
∴DB=GC=AC,∠BAC=∠1,BC=DG,
∵AB=CE;
∴△ABC≌△CEG;
∴BC=EG=DG;
在△DGE中,DG+GE>DE;
∴2BC>DE,即BC>
1
2
DE;
综上所述,BC≥
1
2
DE.
点评:
此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质,综合性强,难度较大.
习题7:
已知:
△ABC.
(1)如果AB=AC,D、E是AB、AC上的点,若AD=AE,请你写出此图中的另一组相等的线段;
(2)如果AB>AC,D、E是AB、AC上的点,若BD=CE,请你确定DE与BC的数量关系,并证明你的结论.
分析:
(1)根据等式的性质,则DB=EC;
(2)过E点作EF∥AB,且EF=DB,连接BF.作∠CEF的平分线EN交BC于N,连接NF.根据SAS可以证明△ENF≌△ENC,所以NF=NC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得四边形BDEF是平行四边形.故DE=BF.再根据三角形的三边关系即可判断.
解答:
解:
(1)DB=EC;
(2)结论:
DE<BC.
过E点作EF∥AB,且EF=DB,连接BF.(3分)
作∠CEF的平分线EN交BC于N,连接NF(4分)
因DB=EF,又因DB=EC,则EF=EC.
因EN平分∠CEF,所以∠FEN=∠CEN.
在△ENF和△ENC中,
EF=EC
∠FEN=∠CEN
EN=EN
,
所以△ENF≌△ENC,
所以NF=NC,
因DB∥EF,DB=EF,
所以四边形BDEF是平行四边形.故DE=BF.
在△BFN中,因BN+FN>BF,
所以BN+FN>DE.
所以DE<BC.
点评:
此题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系.能够巧妙构造全等三角形是解决此题的关键.
习题8:
在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA延长线上的点,BE与AD的交点为P.
(1)若BD=AC,AE=CD,在如图中画出符合题意的图形,并直接写出∠APE的度数;
解:
作EF等于且平行BD,则EP平行FD,
∴∠APE=∠ADF,
∴△ACD≌△AEF,
∴AD=AF,
∴△AFD为等腰直角三角形.
∴∠APE=45°.
答:
∠APE的度数为45°.
习题9:
如图所示,△ABC是正三角形,△A1B1C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3,A2、A3,B2、B3.已知A2C3=C2B3=B2A3,且C2C32+B2B32=A2A32.请你证明:
AlB1⊥C1A1.
分析:
如图,过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O,连接OA3、0B3,可证得四边形A2OC2C3和四边形OB3B2A3是平行四边形,则可得OA2=C2C3,OA3=B2B3,由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°,根据两角边与边的平行关系,即可证得∠C1A1B1=90°,即A1B1⊥C1A1.
解答:
证明:
如图,过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O,连接OA3、0B3,
∴A2OC2C3是平行四边形,
∴A2O∥C3C2,且A2O=C3C2,OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2,
∴△OB3C2是正三角形,
∴∠OB3C2=60°=∠B,
∴OB3∥A3B2,
又∵0B3=B3C2=A3B2,
∴OB3B2A3是平行四边形,
∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2,
∵C2C32+B2B32=A2A32,
∴OA22+OA32=A2A32,
在△A2OA3中,
∵OA22+OA32=A2A32,
∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°,
∵已证OA3∥B3B2,即OA3∥A1C1,A2O∥C3C2,即A2O∥B1A1,
∴∠C1A1B1=90°,
∴A1B1⊥C1A1.
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习题10如图所示,六边ABCDEF中,AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,BC平行且等于FE,对角线FD⊥BD.已知FD=24cm,BD=18cm.则六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米
分析:
连接AC交BD于G,AE交DF于H.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得平行四边形AEDB和AFDC.易得AC=FD,EH=BG.
计算该六边形的面积可以分成3部分计算,即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积.
解答:
解:
连接AC交BD于G,AE交DF于H.
∵AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,
∴四边形AEDB是平行四边形,四边形AFDC是平行四边形,
∴AE=BD,AC=FD,
∴EH=BG.
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432.
点评:
此题要熟悉平行四边形的判定和性质.注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形,根据面积公式进行计算.