高中数学人教A版选修41 16.docx

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高中数学人教A版选修4116

三

黄金分割法——0.618法

1．黄金分割常数

2．黄金分割法——0.618法

课标解读

1.了解0.618法进行试验设计的原理．

2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.

1．黄金分割常数

（1）在试验中为最快地达到或接近最佳点，在安排试点时，最好把握两个原则：

①使两个试点关于[a，b]的中心

对称；

②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同．

（2）黄金分割常数常用ω表示，且ω＝

≈0.618.

2．黄金分割法——0.618法

（1）定义：

利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法，又叫做0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一．

（2）确定试点的方法

类别

第一试点

第二试点

…

第n试点

计算

方式

x1＝小＋0.618

×（大－小）

x2＝小＋大

－x1

…

xn＝小＋大

－xm

原理

用黄金分割

法确定x1

加两头减中间

…

加两头减中间

（3）精度

①定义：

用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n次试验后的精度为δn＝

.

②0.618法中，n次试验后的精度δn＝0.618n－1_.

1．如何通过缩小存优范围来寻找最佳点？

【提示】　先在因素范围[a，b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把区间[a，b]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a1，b1]，再在[a1，b1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的．

2．在黄金分割法——0.618法中，如果两个试点的结果一样，应如何舍去区间？

【提示】　当两个试点的结果一样时，可同时舍去两个试点外侧的区间．

3．在存优范围[a，x1]内取第三个试点x3，则x3与x2的相对位置如何？

【提示】　如图所示：

结合黄金分割常数原理可知x2，x3关于区间[a，x1]的中心

对称且x3在x2的左侧.

用0.618法确定试点

　为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1000，2000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？

如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？

【思路探究】　第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定．

【自主解答】　在因素范围[1000,2000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x1，

满足x1＝1000＋0.618（2000－1000）＝1618.

第二个试点x2满足，

x2＝1000＋2000－1618＝1382.

试验结果，如果x1的效果比x2好，消去x2＝1382以下部分，则第三个试点x3满足，x3＝2000＋1382－1618＝1764.

示意图如下：

0．618法满足的原则是：

（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称；

（2）每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同．

例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？

【解】　由于x2的效果比x1的效果好，

消去x1＝1618以上部分，

此时的存优范围为[1000,1618]，

∴x3＝1000＋1618－1382＝1236.

∴第三个试点应选在1236处.

0.618法的应用

　调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1000g到2000g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量．

（1）写出这个试验的操作流程．

（2）达到精度0.001需要多少次试验？

【思路探究】　

（1）利用0.618法确定第一个试点x1―→

利用对称性确定第二个试点x2―→

利用xn＝小＋大－xm来确定第n个试点

（2）确定精度―→求试验次数

【自主解答】　用一张纸条表示1000～2000g，以1000为起点标出刻度．

（1）试验可按以下步骤进行：

①做第一次试验：

第一次试验的加入量为：

（2000－1000）×0.618＋1000＝1618（g），即取1618g柠檬汁进行第一次试验．

②做第二次试验：

取第一点的对称点做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算（此后各次试验点的加入量也按下面公式计算）：

加两头，减中间．即第二点的加入量为：

1000＋2000－1618＝1382（g）．

③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1618g以上的部分：

如果第一点较好，则去掉1382g以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1382g以下的部分，即存优范围为[1382,2000]，在此范围找出第一点（即1618）的对称点做第三次试验．即第三次试验的加入量为：

2000－1618＋1382＝1764（g）．

④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1764g以上部分，如果第三点好些，则去掉1618g以下部分．假设第三点好些，则在留下部分（即[1618,2000]）找出第三点（即1764）的对称点做第四次试验．第四点加入量为：

2000－1764＋1618＝1854（g）．

⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍．在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．

（2）精度σ≤0.001.

所以0.618n－1≤0.001，得n≥lg0.001/lg0.618＋1，即n≥16.

故需要16次试验．

黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定．

（2012·浏阳模拟）用0.618法寻找试验的最优加入量时，若当前存优范围是[2,3]，好点是2.382，则此时要做试验的加入量值是________．

【解析】　由题意可知，此时要做试验的加入量值为2＋3－2.382＝2.618.

【答案】　2.618

　（教材第10页习题1.3第3题）

举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子．

　已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.

【命题意图】　本题主要考查了优选法中的黄金分割法（0.618法）及第一试点的取法，属基础题．

【解析】　用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出：

第一种方法为：

（大－小）×0.618＋小＝（200－100）×0.618＋100＝161.8.

第二种方法为：

大－（大－小）×0.618＝200－（200－100）×0.618＝138.2.

【答案】　161.8或138.2

1．假设因素区间为[1,2]，用0.618法选取的第一个试点是（　　）

A．1.618　　　　　　　　B．1.5

C．1.382D．1.618或1.382

【解析】　用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618（2－1）＝1.618，或2－（2－1）×0.618＝1.382.

【答案】　D

2．假设因素区间为[0,1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在（0,0.1）内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上．（　　）

A．[0,0.1]B．[0.1,1]

C．[0,0.2]D．[0.2,1]

【解析】　如图所示：

∵峰值在（0,0.1）内，故应舍去区间[0.2,1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上．

【答案】　C

3．对于上题中，舍去区间占舍去前的区间的比例数是________．

【解析】　上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8，占舍去前的区间的比例数为0.8.

【答案】　0.8

4．用0.618法确定试点时，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的________．

【解析】　由n次试验后的精度δn＝0.618n－1可知，4次后的精度为0.6183，即存优范围缩小为原来的0.6183.

【答案】　0.6183

（时间40分钟，满分60分）

一、选择题（每题5分，共20分）

1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为（　　）

A．12　　　　　　　　B．13

C．14D．15

【解析】　在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.

【答案】　C

2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5000mL或小于3000mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为（　　）

A．4500,3500B．4382,3618

C．4236,3764D．4618,3618

【解析】　x1＝3000＋0.618×（5000－3000）＝4236，x2＝3000＋5000－4236＝3764.

【答案】　C

3．（2012·湖南师大附中模拟）配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml到110ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（　　）

A．35mlB．40.9ml

C．33.6mlD．86.4ml

【解析】　由黄金分割法可知，第一个试点为

x1＝10＋（110－10）×0.618＝71.8，

第二个试点为：

x2＝10＋110－71.8＝48.2，

由于x2是好点，故第三次试验时

葡萄糖的加入量为：

10＋71.8－48.2＝33.6ml.

【答案】　C

4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是（lg0.618＝－0.21）（　　）

A．8　　　　B．9C．10　　　　D．11

【解析】　由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥

≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．

【答案】　D

二、填空题（每题5分，共10分）

5．（2012·长沙模拟）用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．

【解析】　第一试点x1＝2＋（4－2）×0.618＝3.236，

由对称性可知x2＝（2＋4）－3.236＝2.764.

【答案】　2.764

6．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.

【解析】　第一种方法为：

（大－小）×0.618＋小＝（210－110）×0.618＋110＝171.8（g）．

第二种方法为：

大－（大－小）×0.618＝210－（210－110）×0.618＝148.2（g）．

【答案】　171.8或148.2

三、解答题（每题10分，共30分）

7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，假设最佳点在1400g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．

【解】　由0.618法知x1＝1000＋0.618（2000－1000）＝1618g，x2＝1000＋2000－x1＝1382g.

由于1382g接近1400g，所以此时的存优范围为（1000，1618），∴x3＝1000＋1618－1382＝1236g.

8．农场主有2400m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为xm，其范围为500m≤x≤700m，要求所得值与最好值相差不超过10m．怎样才能使所围的面积最大？

【解】　由题意设面积为S，则

S＝x（2400－2x）＝2x（1200－x）．

当x＝500时，S＝700000，

x＝700时，S＝700000.

x1＝623.6，x2＝576.4，

∴Sx1＝Sx2＝718886.08.

∴x3在存优范围（576.4,623.6）中，

∴x3＝605.5696，x4＝594.4304，

∴Sx3＝Sx4＝719937.9591.

∴x5在存优范围（594.4304,605.5696）中，

∴x5＝601.3144256，

x6＝598.6855744，

∴Sx5＝Sx6＝719996.5446.

此时601.3144256－598.6855744

＝2.6288512＜10.

∴矩形的宽为（598.6855744,601.3144256）之间任一值时都符合题意，精确值为x＝600m.

创新应用

9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1300℃～1400℃范围内进行优选．（精确到10℃）

请完成以下填空：

（1）首先找出第一点：

________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3（每立方米50公斤）．

（2）又找出第二点：

________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1360℃时质量较好，故将________．

（3）再找出第三点：

________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1360℃时质量较好．

根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．

【解析】　

（1）1300＋（1400－1300）×0.618≈1360.

（2）1300＋1400－1360＝1340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1340,1400]之间，故把1340以下部分丢掉．

（3）1340＋1400－1360＝1380，又结合题意可知最佳点落在区间[1340,1380]之间，故把1380以上部分丢掉．

从而由1340＋1380－1360＝1360可知，把1360℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．

【答案】　

（1）1360　

（2）1340　1340以下部分丢掉

（3）1380　1360

教师备选

10．若某实验的因素范围是[100,1100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以an表示第n次试验的加入量（结果都取整数）．

（1）a1＝________；

（2）若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.

【解析】　

（1）由黄金分割法知：

第一次的加入量为a1＝100＋0.618×（1100－100）＝718.

（2）易知a2＝100＋1100－718＝482.

因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1100]，所以a3＝482＋1100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.

同理可求得a5＝628＋864－718＝774.

【答案】　

（1）718　

（2）774