初二数学第8讲平行四边形教案.docx

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初二数学第8讲平行四边形教案

平行四边形

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

1、平行四边形的定义以及表示方法2、平行四边形的性质

3、平行四边形的面积4、平行四边形的判定

5、三角形的中位线6、平行四边形的综合应用

7、有关面积的问题的综合应用

教学目标

熟练掌握平行四边形的性质和判定

教学重点

平行四边形的性质和判定，三角形中位线的定义以及应用

教学难点

平行四边形的性质和判定的灵活运用

教学过程

一、课堂导入

生活中的平行四边形：

本节课主要针对平行四边形的性质和判定以及常见的应用进行讲解。

二、复习预习

四边形的内角和与外角和定理：

（1）四边形的内角和等于360°；

（2）四边形的外角和等于360°.

三、知识讲解

考点/易错点1

平行四边形的定义：

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

表示方法：

平行四边形用符号

表示，平行四边形ABCD记作

，读作“平行四边形ABCD”。

说明：

1、平行四边形定义的两个作用：

（1）、由定义可知：

平行四边形的每组对边分别平行（可以当性质用）。

（2）、由定义可知：

只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形（可以当判定定理使用）。

2、表示平行四边形时必须按顺时针或逆时针的字母顺序表示。

考点/易错点2

平行四边形的性质：

考点/易错点3

平行四边形的面积：

平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积。

平行四边形的面积公式：

S=ah（a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高）.

考点/易错点4

平行四边形的判定：

.

考点/易错点5

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（三角形有三条中位线）

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

用字母表示为：

DE∥BC，且DE=

BC

考点/易错点6

平行四边形的综合应用：

1、把平行四边形的性质和判定综合应用到几何问题中，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题。

2、在选择判定方法时，一定要结合题目的已知条件，选择恰当的方法，做到有的放矢，从而简化解题过程，强化解题思路。

考点/易错点7

有关面积问题：

此类问题包括两部分内容：

（1）图形的面积计算；

（2）利用面积进行证明。

要想解决面积问题必须做到以下几点：

1、熟记面积公式

2、要学会把不规则的图形转化为规则图形

在几何中，求不规则图形的面积常转化为求规则图形的面积，常用的办法为“割补”法。

3、掌握有关面积的性质：

（1）等底等高的三角形的面积相等

（2）等高的三角形的面积之比等于底的比

（3）等底的三角形的面积之比等于高的比

（4）全等图形的面积相等

（5）整体面积等于各部分面积的和

4、熟记一些常用结论

（1）平行四边形一边上的一点与对边两端点构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半

（2）三角形的一边的中线将三角形分成两个面积相等的三角形

四、例题精析

【例题1】

【题干】如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为（）．

【答案】∵D，E，F分别为△ABC三边的中点

∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE

∴四边形ADEF、DECF、DFEB分别为平行四边形

故答案为3．

【解析】根据三角形中位线的性质定理，可以推出DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，根据平行四边形的判定定理，即可推出有三个平行四边形．

【例题2】

【题干】如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=

BC，连接DE，CF．

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

【答案】

（1）证明：

在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．

∵F是AD的中点，∴DF=

．

又∵CE=

BC，∴DF=CE，且DF∥CE，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：

如图，过点D作DH⊥BE于点H．

在▱ABCD中，∵∠B=60°，

∴∠DCE=60°．

∵AB=4，

∴CD=AB=4，

∴CH=2，DH=2

．

在▱CEDF中，CE=DF=

AD=3，则EH=1．

∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=

=

．

【解析】

（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；

（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．

【例题3】

【题干】如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点M，而MD平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD=_____，∠ABC=_____．

【答案】平行四边形ABCD，

∴BC∥AD，∠C=∠BAD，

∴∠AMC+∠MAD=180°，∠B+∠BAD=180°

∵∠BAD的平分线AM，MD平分∠AMC，

∴∠C=∠BAD=2∠MAD，∠AMD=∠CMD，

∵∠C+∠CMD+∠CDM=180°，∠MDC=45°，

即：

∠MAD+2∠CMD=180°，且∠CMD+2∠MAD=135°，

解得：

∠MAD=30°，

∴∠BAD=60°，∠ABC=120°．

故答案为：

60°，120°．

【解析】由平行四边形推出∠AMC+∠MAD=180°，∠B+∠BAD=180°，由三角形的内角和定理得到∠CMD+2∠MAD=135°，因为∠MAD+2∠CMD=180°，解方程组即可求出∠MAD，进一步求出∠BAD和∠ABC的度数．

【例题4】

【题干】如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．

【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

同理：

CE=AF，

∴四边形AECF是平行四边形．  

【解析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，已知BE=DF，从而可利用SAS判定△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得到AE=CF，同理可得到CE=AF，根据SSS判定△AEF≌△CFE，从而可推出AE∥CF，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

【例题5】

【题干】杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（）

A.平行四边形

B.矩形

C.正方形

D.菱形

【答案】A  

【解析】连接AC，BD．

利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG．

∴这块草地的形状是平行四边形．

故选A．

【例题6】

【题干】如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

【答案】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．

∴∠ADE=∠CBF=60°．

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形．

∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．

∴四边形AFCE是平行四边形．

（2）解：

上述结论还成立．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．

∴∠ADE=∠CBF．

∵AE=AD，CF=CB，

∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．

∴∠AED=∠CFB．

又∵AD=BC，

在△ADE和△CBF中．

，

∴△ADE≌△CBF（AAS）．

∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．

又∵∠DAB=∠BCD，

∴∠EAF=∠FCE．

∴四边形EAFC是平行四边形．

【解析】

（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．

（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．

【例题7】

【题干】如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A.

求证：

四边形DECF是平行四边形.

【答案】∵D、E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线

　　　　　∴DE=

BC，DE∥BC即DE∥CF

　　　　　∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中点，∴CE=

AB

　　　　　∴CE=AE，∴∠A=∠ECD

　　　　　∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF

　　　　　∴四边形DECF是平行四边形.

【解析】利用对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定。

【例题8】

【题干】已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______.

【答案】45

【解析】□ABCD中，OC=

AC=12，OB=

BD=19，BC=AD=14

　　　　　∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45.

课程小结

1、平行四边形的定义以及表示方法

2、平行四边形的性质

3、平行四边形的面积

4、平行四边形的判定

5、三角形的中位线

6、平行四边形的综合应用

7、有关面积的问题的综合应用