浙教版九年级数学下册第1章测试题及答案.docx
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浙教版九年级数学下册第1章测试题及答案
浙教版九年级数学下册第1章测试题及答案
1.1.1锐角三角函数
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（ ）
A.B.C.D.
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
A.B.C.D.
3．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大为原来的2倍
B．都缩小为原来的
C．都不变
D．都扩大为原来的4倍
4．如图，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A.B.C.D.
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A.B.C.D.
6．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（ ）
A．2B.C.D.
二、填空题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝________．
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．
9.如图，⊙O的直径CD＝10cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8cm，则sin∠OAP＝________．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：
①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是________（只需填上正确结论的序号）.
11．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．
12．如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__________.
三、解答题
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，CD＝3，求tan∠CBD和sinA的值．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．
15．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求sin∠EAC的值．
参考答案
1．A
2．C
3．C [解析]∵各边的长度都扩大为原来的2倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
4．C [解析]∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，只有选项C错误，符合题意．
5．A [解析]连结DC，则∠B＝∠D，∴sinB＝sinD＝＝.故选A.
6．D [解析]∵由图可知，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝＝.故选D.
7．
8．
9．
10．②③④
11．
12．[解析]连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，∴PC＝PC′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6.∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，∴△PCB≌△P′CA（SAS），∴P′A＝PB＝10.∵62＋82＝102，∴PP′2＋PA2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，∴sin∠PAP′＝＝＝.
13．解：
在Rt△BCD中，
∵CD＝3，BD＝5，∴BC＝4，
∴tan∠CBD＝.
∵AC＝AD＋CD＝5＋3＝8，BC＝4，
∴AB＝4，
∴sinA＝.
14．解：
由图可知∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，得∠EFC＝∠EDC＝90°，
∴∠AFE＋∠BFC＝90°.
在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
根据折叠的性质，得CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理，得BF＝6，
∴tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝.
15．解：
由题意知EC＝2，AE＝.
过点E作EM⊥AC于点M，
∴∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴EM＝，
∴sin∠EAC＝＝.
1.1.2 特殊锐角的三角函数值
一、选择题
1．cos30°的值为（ ）
A.B.C.D.
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．sin60°＝
B．cos60°＝cos（2×30°）＝2cos30°
C．sin45°＋cos45°＝1
D．sin60°＝cos30°
3．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（ ）
A.B.C.D.
4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是（ ）
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是（ ）
A．cos30°>cos45°>sin30°
B．cos45°>cos30°>sin30°
C．sin30°>cos30°>cos45°
D．sin30°>cos45°>cos30°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（ ）
A.B．4C．8D．4
7．在△ABC中，若∠A，∠B满足＋（1－tanB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
二、填空题
8．计算：
sin60°·tan60°＋tan45°＝________．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝________．
10．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值为________．
11．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA＝________．
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长为________.
三、解答题
13．计算：
（1）sin245°＋tan60°·cos30°－tan45°；
（2）tan30°·sin60°＋cos230°－sin245°·tan45°.
14．计算：
－22＋（π－2017）0－2sin60°＋|1－|.
15．如图，一次函数y＝x＋m与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A（3，n）．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连结OA，求∠BAO的度数.
16．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.
（1）求证：
△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD＝30°，AB＝，求△AOC的面积．
17．阅读探究一般地，当α，β为任意角时，sin（α＋β）与sin（α－β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如：
sin90°＝sin（60°＋30°）＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.
（1）sin15°的值是________；
（2）用以上方法求sin75°的值．
18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：
一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：
如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
参考答案
1．B
2．D
3．B
4．C
5．A [解析]因为sin30°＝，cos45°＝，cos30°＝，且>>，∴cos30°>cos45°>sin30°.故选A.
6．D [解析]∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4.故选D.
7．D [解析]由题意得cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－30°－45°＝105°.
8．
9．
10．[解析]连结AB，∵以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA＝OB.∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝.
11．1[解析]设小正方形的边长为1，则AC2＋BC2＝5＋5＝10，AB2＝9＋1＝10，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴tanA＝＝1.
12．4
13．解：
（1）sin245°＋tan60°·cos30°－tan45°
＝（）2＋×－1＝＋－1＝1.
（2）tan30°·sin60°＋cos230°－sin245°·tan45°
＝×＋（）2－（）2×1＝＋－
＝.
14．解：
－22＋（π－2017）0－2sin60°＋
＝－4＋1－2×＋－1
＝－3－＋－1
＝－4.
15．解：
（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（3，n），
∴n＝.
∵一次函数y＝x＋m的图象过点A（3，n），
∴m＝－2.
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，
由
（1）可知直线AB的函数表达式为y＝x－2，
∴B（2，0），即OB＝2.
又AC＝，OC＝3，∴BC＝OC－OB＝1，
∴AB＝＝2＝OB，
∴∠BAO＝∠BOA.
在Rt△OAC中，tan∠BOA＝＝，
∴∠BOA＝30°，∴∠BAO＝∠BOA＝30°.
16．解：
（1）证明：
由折叠的性质，可得AE＝AB，∠E＝∠B＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠D＝90°，
∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°.
又∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COD（AAS）．
（2）∵∠OCD＝30°，AB＝＝CD，
∴OD＝CD·tan∠OCD＝×＝1，
∴OC＝＝2.
由
（1）知△AOE≌△COD，
∴OA＝OC＝2，
∴S△AOC＝OA·CD＝×2×＝.
17．解：
（1）
（2）sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝.
28．解：
在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝＝2，则EF＝AC＝2.
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝，
∴AF＝AC－FC＝2－.
1.2锐角三角函数的计算
（1）
1．已知下列说法：
①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cos
α<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．用计算器求值（精确到0.0001）：
sin63°52′41″≈_______；cos15°22′30″≈_______；tan19°1
5′≈_______．
3．填空：
sin15°=cos_______≈_______（精确到0.0001）；
cos63
°=sin_______≈_______（精确到0.0001）；
sin（90°－α）=________，cos（90°－α）=_______（α为锐角）．
4．比较大小：
sin27°32′20″________sin50°11′34″；cos28°50′24″________cos29°；
tan30°_______tan31°；sin46°11′_________cos43°4
9′．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，BC=3，则斜边上的中线长为_______．
6．计算：
（1）sin45°+3tan30°+4cos30°；
（2）cos260°－tan45°+sin60°·tan60°．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=21，AB=29，分别求∠A，∠B的三个三角函数值．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：
AC=3：
4，求∠A的三个三角函数值．
9．如图，某校九年级课外活动小组为了测量一个小湖泊两岸两棵树A，B间的距离，在垂直AB的方向AC上，距离A点100米的C处测得∠ACB=50°，请
你求出A，B两棵树之间的距离（精确到1米）．
1
0．如图，已知游艇的航速为每时34千米，它从灯塔S的正南方向A处向正东方向航行到B处需1.5时，且在B处测得灯塔S在北偏西65°方向，求B到灯塔S的距离（精确到0.1千米）．
11．如图，已知直线AB与x轴，y轴分别交于A，B两点，它的
解析式为y=－
x+
，角α的一边为OA，另一边OP⊥AB于P，求cosα的值．
12．如图，AB是直径，CD是
弦，AD，BC相交于E，∠AEC=60°．
（1）若CD=2，求AB的长；
（2）求△CDE与△ABE的面积比．
参考答案
1．B
2．0.8979，0.9642，0.3492
3．75°，0.2588，27°，0.4540，cosα，sinα
4．<，>，<，=
5．
6．
（1）
+3
（2）
7．sinA=
8．sinA=
，cosA=
，tanA=
9．119米
10．56.3千米
11．
12．
（1）4
（2）
1.2锐角三角函数的计算
（2）
1．若∠A，∠B均为锐角，且sinA=
，cosB=
，则（）
A．∠A=∠B=60°B．∠A=∠B=30°
C．∠A=60°，∠B=30°D．∠A=30°，∠B=60°
2．用计算器求锐角x（精确到1″）：
（1）sinx=0.1523，x≈______；
（2）cosx=0.3712，x≈______；
（3）tanx=1.7320，x≈______．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
．
（1）若AB=10，则BC=______，AC=_____，cosA=______；
（2）若BC=3x，则AB=______，AC=_____，tanA=______，ta
nB=______，sinB=_____．
（3）用计算器可以求得∠A≈______，∠B≈_____（精确到1″）．
4．如图，在Rt△A
BC中，∠C=90°．
（1）若AC=5，BC=12，则AB=______，tanA=_______，∠A≈______（精确到1″）；
（2）若AC=3，AB=5，则sinA=______，tan
B=______，∠A≈_______，∠B≈______（精确到1″）．
（第4题图）（第6题图）
5．已知一个小山坡的坡度为0.62，则它的坡角为______（精确到1″）．
6．如图，水坝的迎水坡AB=25米，坝高为5
米，则
坡角α≈_______（精确到1″）．
7．计算：
（1）tan230°+2sin60°+tan45°－tan60°+cos230°；
（2）cos60°－sin245°+
tan230°+cos230°－sin30°．
8．在△ABC中，∠C=90°，BC=
AC，求∠B的度数（精确到1″）．
9．要
加工形状如图的零件，请根据图示尺寸（单位：
mm）计算斜角α的度数.（精确到1″）．
10．将一副三角尺按如图放置，求上下两块三角尺的面积比S1：
S2．
11．化简：
cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．
12．已知α、β都是锐角，且cosβ+sinα=1.4
538
，cosβ－sinα=0.2058，求∠α和∠β的度数（精确到1″）．
参考答案
1．D
2．
（1）8°45′37″
（2）68°12′37″（3）59°59′57″
3．
（1）6，8，
（2）5x，4x，
，
，
（3）36°52′12″，53°7′48″
4．
（1）13，
，67°22′48″
（2）
，
，53°7′48″，36°52′12″
5．31°47′56″
6．26°33′54″
7．
（1）
（2）
8．75°57′50″
9．22°9′12″
10．2：
11．44
12．38°36′32″，33°55′18″
1.3 解直角三角形
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，则下列关系式中错误的是（ ）
A．b＝c·cosBB．b＝a·tanB
C．a＝c·sinAD．a＝
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
3．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠α，tanα＝，则t的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
4．△ABC在网格中的位置如图（每个小正方形的边长为1），AD⊥BC于点D，则下列选项中错误的是（ ）
A．sinα＝cosαB．tanC＝2
C．sinβ＝cosβD．tanα＝1
5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2B．S1＝S2
C．S1＝S2D．S1＝S2
二、填空题
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，cosB＝，则AB＝________，tanA＝________.
8．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________．
9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为________cm.
10．以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D,若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．
11．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上的一动点，N（3，0）是OB上的一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN的值最小，则点P的坐标为________．
三、解答题
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b∶c＝∶2，a＝5，求b，c，∠A，∠B.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为E，连结CE.
求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余弦值．
14．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．
（结果取整数．参考数据：
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
15．分类讨论在△ABC中，O为AC的中点，点P在AC上，若OP＝，tanA＝，∠B＝120°，BC＝2，求AP的长．
16．分类讨论在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，求△ABC的面积．
参考答案
1．A
2．C [解析]∵sinA＝＝，∴设BC＝4xcm，AB＝5xcm.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴62＋（4x）2＝（5x）2，解得x1＝2，x2＝－2（舍去），则BC＝8cm.故选C.
3．C
4．C
5．B [解析]∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.∵DE⊥AC，∴∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADE＝α.又∵DC＝AB＝4，cos∠DCE＝，∴＝，∴AC＝，∴AD＝＝.故选B.
6．C
7．10
8．
9．36[解析]∵tan∠EFC＝，∴设CE＝3kcm，则CF＝4kcm，由勾股定理，得EF＝DE＝5kcm，∴DC＝AB＝8kcm.∵∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴BF＝6kcm，∴AF＝BC＝AD＝10kcm.在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝＝＝5，解得k＝1（负值已舍去），故矩形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2（8k＋10k）＝36（cm）．
10．2[解析]如图，由题意可知AD是∠BAC的平分线．过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝2，所以DB＝DE＝2；在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，所以AB＝2×＝
2.
11．[解析]作点N关于OA的对称点N′，连结MN′交OA于点P，则点P即为所求．显然ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴△ONN′为等边三角形，MN′⊥ON.∵OM＝，则PM＝OM·tan30°＝×＝，∴点P的坐标为.
12．解：
∵sinB＝＝，∴∠B＝60°，
∴∠A＝90°－∠B＝30°.
∵sinA＝，∴c＝＝＝10.
又∵b∶c＝∶2，∴b∶10＝∶2，
∴b＝5.
13．解：
（1）∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝45°，
AB＝＝3.
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝AD·cos45°＝，
∴BE＝AB－AE＝2
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