轴对称基础概念及练习.docx

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轴对称基础概念及练习

轴对称

第一部分：

轴对称：

一、基本知识：

1.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的____________，这时，我们也说这个图形_____________________（或成轴对称）．

2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够____________，那么就说这两个图形_____________________，这条直线叫做_____________，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

注意：

轴对称图形是_______个具有___________的图形，

轴对称指_______个图形的______________关系．

3.轴对称的性质：

①成轴对称的两个图形一定___________，（而全等的两个图形不一定___________；

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是___________________

4.轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴是____________________________________

5.角是轴对称图形吗？

如果是的话，那么它的对称轴是什么？

6.点A（-3，2）关于y轴对称点的坐标是（，）关于x轴对称点的坐标是（，）

二、考点分析：

1、下列图形中，为轴对称图形的是（）

2、对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，其中，可以看作是轴对称图形的有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3、在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是轴对称图形的有（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

4、下列各图中，是轴对称图案的是（）

5、在几何图形“线段、角、三角形、平行四边形、正方形”中，不一定是轴对称图形的是__________________________________．

6、现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑，如图

（1）、

（2）所示．

图

（1）图

（2）图（3）图（4）

观察图

（1）、图

（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：

①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形．

请在图（3）、图（4）内分别设计一个新图案,使图案具有上述两个特征．

7、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）

8、等腰三角形的对称轴有（）

（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条

9、下列命题中，不正确的是（）

（A）关于直线对称的两个三角形一定全等；

（B）两个圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形；

（C）若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线；

（D）等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重合．

10、下列命题中，正确的个数是（）

①两个全等形成轴对称；

②角平分线是一个角的对称轴；

③成轴对称的两个图形中，两对对应点连线交于一点；

④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的平分线．

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

11、点P（-3,2）关于x轴对称的点A坐标为__________，关于y轴对称的点B坐标为__________，关于直线x=1的点C坐标为__________，关于直线y=2的点D坐标为__________．

12、点M（a,-5）与点N（-2,b）关于x轴对称，则a=________，b=_______．

13、已知点P（2a+b,-3a）与点P’（8,b+2），若点P与点P’关于y轴对称，则a=_______，b=________．

14、若a为整数，且点M（3a-9,10-2a）关于x轴对称的点在第四象限，则a3+1的值为_________．

15、已知点A（-2,4）、B（2,4）、C（-1,2）、D（1,2）、E（-3,1）、F（3,1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么坐标系中可找出_________组对称三角形．

16、已知点M（1-a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？

17、已知点A（2x+y-3，x-2y）关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y-4），点A关于y轴对称的点的坐标是？

18．如下图：

若正方形ABCD关于x轴与y轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点B、C、D的坐标分别为：

B（，），C（，），D（，）。

线段的垂直平分线

一、基础知识：

1、线段垂直平分线的性质

因为，所以AB＝AC.

理由：

2、线段垂直平分线的判定

因为，所以点A在线段BC的中垂线上.

理由：

1、如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝_________.

（第1题）

（第3题）（第4题）

2、如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于点E，若BE=2则A、E两点的距离是（）.

A.4B.2C.3D.

3、如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）cm.

A.3.9B.7.8C.4D.4.6

4、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：

.

①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.

5、下列说法：

①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例1、已知：

如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。

例2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E

求证：

（1）∠EAD=∠EDA;

（2）DF∥AC;（3）∠EAC=∠B

一、选择：

1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）

A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；

C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。

2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定

二、填空：

1、已知：

线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。

2、已知：

如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=。

3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。

4、如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=。

5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。

第2题第4题第5题

6、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是。

7、在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=

三、解答：

1、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到污水处理厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

2.如下图,在直线AB上找一点P,使PC=PD.

8.如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点.

（1）当AE=13cm时，BE=cm；

（2）当△BEC的周长为26cm时，则BC=cm；

（3）当BC=15cm，则△BEC的周长是cm.

9、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的三条（）的交点．

（A）高（B）中线（C）角平分线（D）边的垂直平分线

10、已知：

如图，△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△DBC的周长为15，求AC的长．

第二部分：

轴对称变换：

一、基本知识：

1.概念：

由一个平面图形得到它的____________________叫做轴对称变换．

2.性质：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形____________、____________完全一样（即两个图形____________：

对应角相等，对应边相等）．

注意：

轴对称变换是全等变换的一种，全等变换包括____________、____________、____________．

3.画法：

①找特殊点（如线段的_________、角的_________、折线的_________）；

②做特殊点关于一条直线的____________；

③依次连接所做各点，得到原图形的轴对称图形．

4.关于x轴或y轴对称的点的坐标规律：

①点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为___________；

②点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为___________．

二、考点分析：

1、下列四边形中，是以对角线所在直线为对称轴，经过轴对称变换得到的是（）

2、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（）

3、小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图，此时时间为___________．

第3题第4题第5题

4、如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于_______度．

5、要在燃气管道m上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

6、在京石高速公路m的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？

7、已知：

∠AOB＝45°，其内部一点点P关于OA、OB的对称点分别为M、N，OP=3cm，则△OMN的面积为___________．

8、已知：

如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为8厘米，求CD的长．

第三部分：

等腰三角形：

一、基本知识

1.概念：

_______________________________的三角形叫做等腰三角形．

2.性质：

①等腰三角形的______________相等，即_______________________．

②等腰三角形的_____________________、_____________________和_____________________相互重合，即______________________________．

3.结论：

等腰三角形是_______________图形，它的对称轴是________________________

_______________________________________．

4.判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即_______________________________．

（注意：

概念既可以当性质用，又可以当判定用）

5.三角形中三边之间的关系是__________________________________________________；

三角之间的关系是__________________________________________________；

边角之间的相等关系是______________________________________________；

边角之间的不等关系是______________________________________________．

二、考点分析：

㈠利用等腰三角形的性质求线段的长度、角的度数；

1、在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝．

2、已知等腰三角形底边长为5，周长不大于20，则腰长x的取值范围是．

3、等腰直角三角形斜边长为２，则斜边上的高线长为．

4、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）

（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）等边三角形（D）等腰直角三角形

5、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）

（A）30°（B）40°（C）45°（D）60°

6、如图,△ABC中,AB=AC，AC的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E，若∠A=20°,则∠DCB=______度

7、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则∠C＝，∠BDE＝，若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝．

8、等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（）

（A）100°（B）130°（C）115°（D）140°

9、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

10、如图，△ABC中，AB=AC，D在AC上，且AD=BD=BC，求△ABC的各个内角度数．

11、如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，且AE=DE=DB，BE=BC，

求∠A的度数．

㈡等腰三角形中的分类讨论；

12、已知等腰三角形两边长4和7，这三角形的周长是．

13、已知等腰三角形两内角的度数之比为1：

4，则顶角为度．

14、等腰三角形的一个外角是125°，则底角为度．

15、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则底角为度．

16、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（）

（A）15（B）15或7（C）7（D）11

17、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和9厘米两部分，则此三角形的底边长为．

18、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则∠B为度．

㈢等腰三角形中的判定；

19、下列条件不能作出唯一确定等腰三角形的是（）

（A）已知顶角和底边（B）已知顶角和底角（C）已知顶角和一腰（D）已知底边和一腰

20、如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，那么下列结论中正确的有__________．（写序号）

①△BDE和△CDF都是等腰三角形；②EF=BE+CF；

③△ADE的周长等于AB和AC的和；④BD=CD．

21、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形有__________个，它们是．

22、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且相交于F，则图中等腰三角形有__________个，它们是．

23、在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），在坐标轴上确定点P，使使△AOP为等腰三角形，则符合条件点共有____________个．

24、已知等腰△ABC中，AB=AC≠BC，求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，这样的点共有____________个．

25、已知等边△ABC，求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，这样的点共有____________个．

㈣利用等腰三角形的性质和判定证明求线段相等、角相等；

26、已知：

如图1，AB=AC，∠ABD=∠ACD，⑴求证：

BD=CD；

⑵如图2，条件不变，BD与CD相等吗？

为什么？

27、已知：

如图1，AD∥BC，AD平分∠EAC，⑴求证：

AB=AC；

⑵如图2，AB=AC，BC平分∠ABD，AC与BD平行吗？

为什么？

28、已知：

如图，△ABC中，AB＞AC，AF平分∠BAC，D是AB上一点，AD=AC，DE∥BC交AC于E，

求证：

CD平分∠EBF．

29、已知：

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AC于F。

求证：

△AEF是等腰三角形。

30、已知：

如图，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，

求证：

PD=PE．

31、已知：

△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，∠AED+∠CAE=180°

求证：

ED∥BC。

第四部分：

等边三角形：

一、基本知识：

1.概念：

_______________________________的三角形叫做等边三角形．

2.性质：

等边三角形的______________都相等，并且每一个内角都等于__________．

3.判定：

①_______________________________的三角形是等边三角形；

②_______________________________的三角形是等边三角形．

（注意：

概念既可以当性质用，又可以当判定用）

4.推论：

在__________三角形中，如果一个锐角等于__________，那么它所对的_____________________________．

二、考点分析：

㈠利用等腰三角形的性质求线段的长度、角的度数；

1、已知：

AD为等边三角形ABC的中线，在AC上取AE=AD，则∠EDC=_______度。

2、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，则∠AEB的度数为．

3、若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为．

4、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角为度．

5、如图，已知等边三角形ABC的边长为

，按图中所示的规律，用2009个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　）

（A）2009（B）2010（C）2011（D）2012

6、如图，将边长为1的正三角形

沿

轴正方向连续折叠2008次，依次得到点

的位置，则点

的横坐标为．

㈡利用等边三角形的性质和判定（特殊性）证明求线段相等、角相等；

7、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，求证：

BM=MN=NC．

8、已知：

如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．

试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

9、已知：

如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB与D，PE⊥OA与E，若OD=4，求PE的长

㈢识别等腰三角形及等边三角形中的全等三角形；

10、下面不能确定全等的是（）

（A）两个等腰直角三角形的底边相等

（B）两个等边三角形有一条边相等

（C）一个内角为100°且腰长相等的两个等腰三角形

（D）两个等腰三角形底边长的对应高相等

11、如图，等边△ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，且BD=CE，AD与BE交于点P，则∠APE的度数为（）

（A）45°（B）55°（C）60°（D）75°

12、如图，已知△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，如果每个全等三角形作为一组，图中共有全等三角形（）

（A）2组（B）3组（C）4组（D）5组

13、如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，则α等于（）

（A）90°-∠A（B）45°-

∠A（C）180°-∠A（D）90°-

∠A

14、如图，AD是△ABC的高，且△BDE和△ADC都是等腰三角形，若AB=3cm，则CE=。

15、如图，△ABC中，H是高AD和高BE的交点，HB=AC，则∠ABC=_________度。

16、如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN。

其中，正确结论的个数是（）

（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个

17、在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：

①

，②

，③

，④

．

要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出

是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）

已知：

求证：

是等腰三角形．

18、已知：

如图，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，连接AF和BE，问AF和BE的大小关系，

19、已知：

如图，A、B、C三点是直线l上的点，△ABD、△BCE都是等边三角形，AE交BD于P，CD交BE于Q，

求证：

⑴AE=DC；　⑵BP=BQ；　⑶PQ∥AC．