五下 第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题附答案.docx
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五下第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题附答案
五下第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题（附答案）
第二单元《因数和倍数》
1.整除：
被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：
整数包括自然数。
最小的自然数是0
2.因数、倍数：
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例：
12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数。
为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数是自然数（一般不包括0）。
数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：
成对地按顺序找。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：
依次乘以自然数。
一个数的最大因数=最小倍数=它本身
3.2、3、5的倍数特征
1）奇数和偶数的意义：
在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
①自然数按能不能被2整除来分：
奇数、偶数。
奇数：
不能被2整除的数，叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：
能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
②最小的奇数是1，最小的偶数是0.
③奇数、偶数的运算性质：
奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数（大减小）
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
2）数的整除特征
整除数
特征
2
末尾是0，2，4，6，8
3或9
各数位上数的和是3或9的倍数
5
末尾是0或5
2和5
个位上的数是0
2、3和5
是30的倍数的数（最大的两位数是90，最小的三位数是120）
4或25
末两位数所组成的数是4或25的倍数
8或125
末三位数所组成的数是8或125的倍数
7、11、13
末三位与前几位数的差（大减小）是7或11或13的倍数
例题：
1、从0、4、5、8、9中取出三个数字组成三位数，
①在能被2整除的数中，最大的是（984），最小的是（450）
②在能被3整除的数中，最大的是（984），最小的是（405）
③在能被5整除的数中，最大的是（980），最小的是（405）
2、在四位数21□0的方框中填入一个数，使它能同时被2、3、5整除，最多能（ 4）种填法。
4.质数和合数
①质数和合数的意义：
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质素和（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
②自然数按因数的个数来分：
质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：
只有1和它本身两个因数。
合数：
除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：
1、它本身、别的因数）。
1：
只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
0：
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
所有的奇数都是质数。
（ × ）所有的偶数都是合数（ × ）
在1，2，3……自然数中，除了质数以外都是合数。
（ × ）
两个质数的和是偶数。
（ × ）
③质数×质数=合数 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
④20以内的质数：
有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
5、最大、最小
A的最小因数是：
1； 最小的奇数是：
1；
A的最大因数是：
A；最小的偶数是：
0；
A的最小倍数是：
A；最小的质数是：
2；
最小的自然数是：
0；最小的合数是：
4
猜电话号码0592－ABCDEFG
提示：
A——5的最小倍数 B——最小的自然数 C——5的最大因数 D——它既是4的倍数，又是4的因数E——它的所有因数是1，2，3，6 F——它的所有因数是1，3 G——它只有一个因数，这个号码就是 5054631
附：
判断
（1）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数（×）
（2）1是1，2，3，4，5…的因数（√）
（3）14比12大，所以14的因数比12的因数多（×）
（4）因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6倍数．（×）
测试卷
测试卷
小学五年级奥数题及答案
一、计算题。
（共100题）
1.
一本书的页码需要1995个数字，问这本书一共有多少页？
分析与解从第1页到第9页，用9个数字；
从第10页到第99页，用180个数字；
从第100页开始，每页将用3个数字。
1995-（9＋180）=1806（个数字）
1806÷3=602（页）
602＋99=701（页）
2.
某礼堂有20排座位，其中第一排有10个座位，后面每一排都比它前面的一排多一个座位。
如果允许参加考试的学生坐在任意一行，但是在同一行中不能与其他同学挨着，那么在考试时，这个礼堂最多能安排多少名学生就试？
分析与解根据要求，第一排有10个座位，可以坐5个学生；第二排有11个座位，可以坐6个学生；第三排有12个座位也可以坐6个学生；第四排可以坐7个，第五排可以坐7个；第六、七排都可以坐8个；第八、九排都可以坐9个；?
?
第20排可以坐15个。
这样一共可以坐学生：
3.
一半真一半假A、B、C、D四人赛跑，三名观众对赛跑成绩做如下估计：
王晨说：
“B得第二名，C得第一名。
”
张旭说：
“C得第二名，D得第三名。
”
李光说：
“A得第二名，D得第四名。
”
实际上，每人都说对了一半。
同学们，你能说出A、B、C、D各是第几名吗？
分析与解先假设王晨说的“B得第二名是”正确的。
因为只能有一个人是第二名，所以“C得第二名”，与“A得第二名”就都是错误的。
这样张旭与李光说的后半句话：
“D得第三名”和“D得第四名”就应该是正确的了。
然而这两句话自相矛盾，从而可以认定原始的假设是不成立的，应全部推翻。
再假设王晨说的：
“C得第一名”是正确的，从而推出“C得第二名”是错误，而“D得第三名”是正确的，而“D得第四名”则又是错误的，因而“A得第二名”则是正确的。
在推导过程中没有出现矛盾，说明假设成立。
总之，推导的结论为：
A得第二名，B得第四名，C得第一名，D得第三名。
这题还可以用列表的方式来解答。
这种方法比较直观，学生更容易接受。
这里提供的只是一种列表方式，把三位观众的原始估计显示在表内，再根据题中条件进行推理、判断，最后推出正确结果。
4.
下面这串数是按一定规律排列的：
6、3、2、4、7、8、……
那么这串数的前1995个数的和是多少？
第1995个数除以5余几？
分析与解观察这串数的排列规律，不难发现：
从第二个数起，每个数都比它前面那个数与后面那个数的和小5，因此，这串数继续排下去为：
6、3、2、4、7、8、6、3、2、4、7、8、6、3、……
又发现6、3、2、4、7、8为一循环排列。
1995÷6=332……3（6+3+2+4+7+8）×332+（6+3+2）
=30×332+11=9971∴前1995个数的和为9971
第1995个数为：
2
2÷5=0.2
∴第1995个数除以5余2
5.
在一道减法算式中，被减数加减数再加差的和是674，又知减数比差的3倍多17，求减数。
分析与解根据题中条件，被减数＋减数＋差＝674.可以推出：
减数＋差＝674÷2＝337（因为被减数＝减数＋差）。
又知，减数比差的3倍多17，就是说，减数＝差×3＋17，将其代入：
减数＋差＝337，得出：
差×3＋17＋差＝337差×4＝320差＝80于是，减数＝80×3＋17＝257
6.
少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯或亮或暗，变幻无穷。
200个灯泡按1～200编号。
灯泡的亮暗规则是：
第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态（即亮的变暗，暗的变亮）；第4秒，凡编号为4的倍数的灯泡改变原来亮暗状态。
这样继续下去，……200秒为一周期。
当第200秒时，哪些灯是亮着的？
分析与解在解答这个问题时，我们要用到这样一个知识：
任何一个非平方数，它的全体约数的个数是偶数；任何一个平方数，它的全体约数的个数是奇数。
例如，6和18都是非平方数，6的约数有：
1、2、3、6，共4个；18的约数有1、2、3、6、9、18，共6个。
它们的约数的个数都是偶数。
又例如，16和25都是平方数，16的约数有：
1、2、4、8、16，共5个；25的约数有1、5、25，共3个。
它们的约数的个数都是奇数。
回到本题。
本题中，最初这些灯泡都是暗的。
第一秒，所有灯都变亮了；第2秒，编号为2的倍数（即偶数）的灯由亮变暗；第3秒，编号为3的倍数的灯改变原来的亮暗状态，就是说，3号灯由亮变暗，可是6号灯则由暗变亮，而9号灯却由亮变暗……。
这样推下去，很难理出个头绪来。
正确的解题思路应该是这样的：
凡是亮暗变化是偶数次的灯，一定回到最初状态，即是暗着的。
只有亮暗变化是奇数次的灯，才是亮着的。
因此，只要考虑从第1秒到第200秒这段时间，每盏灯变化次数的奇偶性就可判断灯的亮暗状态。
一个号码为a的灯，如果有7个约数，那么它的亮暗变化就是7次，所以每盏灯在第200秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶数。
我们已知道，只有平方数的全部约数的个数是奇数。
这样1～200之间，只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这14个数为平方数，因而这些号码的灯是亮着的，而其余各盏灯则都是暗着的。
用奇偶性分析解题，是我们经常用的一种解题方法，既灵活又有趣。
7.
新年快到了，五年级三个班决定互相赠送一些图书，三个班原有的图书数量各不相同。
如果五
（1）班把本班的一部分图书赠给五
（2）班和五（3）班，那么这两个班的图书数量各增加一倍；然后五
（2）班也把本班的一部分图书赠给五
（1）班和五（3）班，这两个班的图书数量也各增加一倍；接着五（3）班又把本班的图书一部分赠给五
（1）班和五
（2）班，这两个班的图书又各增加一倍。
这时，三个班的图书数量都是72本，问原来各班各有图书有多少本？
分析与解我们采用逆推与列表的方法进行分析推理。
在每次重新变化后，三个班的图书总数是不会改变的。
由此，可以从最后三个班的图书数量都是72本出发进行逆推。
（1）班、
（2）班的图书各增加1倍后是72本，
（1）班、
（2）班的图书数量，在没有增加一倍时都是72÷2＝36（本）。
现在把
（1）班、
（2）班增加的本数（各36本）还给（3）班，（3）班应是72＋36＋36＝144（本）。
依此类推，求出三个班原来各有的本数。
为了使逆推过程看得更清楚，我们采用列表的方式进行。
通过上表可以看出：
五
（1）班原有图书117本，五
（2）班原有图书63本，五（3）原有图书36本。
为了保证解答正确，可根据题意，从最后求出的各班原有图书数量出发，按题目中三次分配办法进行计算，看看每班的图书是否最终都是72本。
这样通过顺、逆两方面推导，可确保解题正确。
8.
和平里小学五
（1）班有学生40名，他们在一起做纸花，每人手中的纸从7张到46张不等，没有二人拿相同的张数。
今规定用3张或4张纸做一朵花，并要求每人必须把分给自己的纸全部用光，并尽可能地要多做一些花，问最后用4张纸做的花共有多少朵？
分析与解为了多做一些花，就需要尽量用3张纸做1朵花。
我们采用列表的方法找出用4张纸做1朵花的规律。
从上表不难看出，用4张纸做花的朵数的规律是：
1、2、0、1、2、0、1、2、0、……
40÷3＝13……1（1＋2）×13＋1＝40（朵）
9.
写出所有分母是两位数，分子是1，而且能够化成有限小数的分数。
分析与解当一个最简分数的分母只含2和5质因数时，这个分数就能化成有限小数。
所以，当分母是16、32、64、25、10、20、40、80、50时，这样的分数都能化成有限小数。
10.
筐中有72个苹果，将它们全部取出来，分成偶数堆，使得每堆中苹果的个数相同。
一共有多少种分法？
分析与解72的约数有：
1、2、3、4、6、12、18、24、36、72在这些约数中一共有8个偶约数，即可分为：
2堆、4堆、6堆、12堆、18堆、24堆、36堆和72堆，一共有8种分法。
11.
求商一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88的商是多少？
分析与解设这个六位数为23A56B.因为这个六位数是88的倍数，所以必定是8和11的倍数。
根据能被8整除的数的特征：
“一个数的末三位数能被8整除，这个数就能被8整除”，B可以取0或8.如果B=0，那么，根据能被11整除的数的特征：
“一个数，奇数位上数字和与偶数位上数字和的差被11整除，这个数就能被11整除”可以知道：
2+A+6-（3+5+0）=A是0或11的倍数。
显然，A不可能是11的倍数，因为A必须小于10.因此得到A=0所以六位数为：
230560除以88的商为：
230560÷88=2620如果B=8，那么根据能被11整除的特征，可求得A=8，于是六位数为238568.这个数与88的商为：
238568÷88=2711
12.
一个筐里有6个苹果、5个桃、7个梨。
（1）小华从筐里任取一个水果，有多少种不同的取法？
（2）小华从这三种水果各取一个，有多少种不同的取法？
分析与解
（1）只取苹果，有6种取法；只取桃，有5种取法；只取梨，有7种取法。
根据加法原理，一共有6+5+7=18种不同取法。
（2）分三步进行，第一步取一个苹果，有6种取法；第二步取一个桃，有5种取法；第三步取一个梨，有7种取法。
根据乘法原理，要取三种不同类的水果，共有6×5×7＝210种不同取法。
13.
甲、乙二人进行射击比赛。
规定每中一发记20分，脱靶一发扣去12分。
两人各打了10发子弹，共得208分，其中甲比乙多得64分，甲、乙二人各中了多少发？
分析与解根据题中条件，可以求出：
甲得：
（208+64）÷2=136（分）
乙得：
（208-64）÷2=72（分）
又知甲、乙二人各打了10发子弹，假设甲打的10发子弹完全打中，应该得20×10=200（分），比实际多得200－136=64（分），这是因为每脱靶一发比打中一发少得20+12=32（分）的缘故。
多出的64分里有几个32分，就是脱靶几发。
由此可得，甲脱靶了64÷32=2（发）
所以甲打中10-2=8（发）
列出综合算式如下：
10－[20×10－（208+64）÷2]÷（20+12）=8（发）
同理，乙打中：
10－[20×10－（208－64）÷2]÷（20+12）=6（发）
14.
猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。
小猴子3个3个地数，最后多出1个，它就把多出的一个扔在一边；它又5个5个地数，到最后还是多出一个，它又把多出的1个扔在一边；最后它7个7个地数，还是多出1个。
它数了三次，到底有多少桃子，还是不清楚。
小朋友，你知道这篮子里至少有多少个桃子吗？
分析与解本题可概括为“一个数用3除余1，用5除余2，用7除余3，这个数最小是多少？
”
我们从余数开始逆推：
由于用3除余1，所以这个数为3n+1（n为正整数）。
要使3n+1这个数继而满足用5除余2的条件，可用n=1，2，3……来试代，发现当n=2时，3×2+1=7满足条件。
由于15能被3和5整除，所以15m+7这些数（m为正整数），也能满足用3除余1，用5除余2这两个条件。
在15m+7中选择适当的m，使之用7除得到的余数为3.也是采取试代的方法，试代的结果得出：
当m=3时满足条件。
这样15×3+7=52为所求的答案，也就是说这篮桃子至少有52个。
对于这类用3、5、7三个数来除分别得到不同余数的题目，有没有一个解答的规律呢？
有。
我国有个著名的余数定理，它可以用四句诗来形象地记忆。
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，抛五去百便得知。
这四句诗叫“孙子点兵”歌，外国称它为“中国剩余定理”。
这首诗的意思是：
70乘上用3除所得的余数，21乘上用5除所得的余数，15乘上用7除所得的余数，然后把这三个乘积加起来，其和加或减105的整数倍，就可以得到所需要的数了。
现在我们回到本题，并运用上述办法求解。
由于用3除余1，用5除余2，用7除余3，所以，70×1+21×2+15×3=70+42+45=157因为要求的是最小值，所以157-105=52
15.
和平里小学五年级四个班共买了135本图书，但不知道每班各买了多少本，只知道，如果五
（1）班减少3本，五
（2）班加上3本，五（3）班增加一倍，五（4）班减少一半，那么四个班所买的图书本数就相等了。
请你帮助算一算，每个班各买了多少本？
分析与解设五（3）班买了图书x本，那么根据题意，五（3）班所买图书本数的两倍，等于五
（1）班所买图书本数减3，所以五
（1）班所买图书本数应为2x+3；同理可推得，五
（2）班所买图书本数应为2x－3，五（4）
班所买图书本数应为4x.列方程，得（2x+3）+（2x－3）+x+4x=135解方程，得x=15五
（1）班买图书2x+3=30+3=33（本）
五
（2）班买图书2x－3=30－3=27（本）
五（3）班买图书x=15（本）
五（4）班买图书4x=4×15=60（本）
16.
把前十个质数由小到大、从左向右排成一行，删掉其中十个数字，让剩下的数最大，应该怎么删？
分析与解前十个质数是：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.把前十个质数由小到大排成一行是：
2357111317192329一共是十六个数字。
删去其中十个数字，则剩下六个数字，即是个六位数。
要使这个六位数最高位是9是不可能的。
从左向右看，第一个数字9的前面最大的数字是7，应选7作为剩下的六位数的最高位的数字，而将它前面的数字2、3、5删去。
7的后面当然是取9最大，将其前的七个数字1、1、1、3、1、7、1删去。
于是得到所求的最大的数是792329.
17.
在下面13个8之间的适当位置添上＋、－、×、÷运算符号或括号，使得下式成立：
8888888888888=1995
分析与解
先找一个接近1995的数，如：
8888÷8＋888=1999这个数比1995大4，这样，就把原来的问题转化成找出利用剩下的5个8添上适当的运算符号，得出结果是4的算式。
因为（8＋8＋8＋8）÷8=41999－4=1995所以，这个等式为8888÷8＋888－（8＋8＋8＋8）÷8=1995
18.
一个机床厂，今年第一季度生产车床198台，比去年同期的产量2倍多36台，去年第一季度生产多少台?
解：
设去年第一季度产量为x台。
2x+36=198
x=81
19.
有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。
这批零件共有多少个？
解答：
甲和乙的工作时间比为4：
5，所以工作效率比是5：
4工作量的比也5：
4，把甲做的看作5份，乙做的看作4份。
那么甲比乙多1份，就是20个。
因此9份就是180个，所以这批零件共180个
20.
在下面的数表中，上、下两行都是等差数列。
上、下对应的两个数字中，大数减小数的差最小是几？
解答：
1000-1=999997-995=992每次减少7，999/7=12……5所以下面减上面最小是51333-1=13321332/7=190……2所以上面减下面最小是2因此这个差最小是2。
21.
如图，正方形ABCD的边长是12，BE=2CE，DF=EF，三角形BEF的面积是（）。
解答：
连结BD，三角形BCD的面积是12×12÷2=72，三角形BDE的面积是72÷3×2=48，三角形BEF的面积是48÷2=24。
22.
如图，已知正方形ABCD的边长是4，E、P、F分别是AD、CE、BP的中点，△DBF的面积是（）。
解答：
如图，连接PD和BE。
因为△BCD的面积是4×4÷2=8，△BCE的面积也是8，
因为E是AD的中点，所以△DEC的面积是4×4÷2÷2=4，
又因为P是CE的中点，所以△DPC的面积是4÷2=2，△PBC的面积是8÷2=4。
从而△DBP的面积是8－4－2=2，所以△DBF的面积为1。
23.
有一个直角梯形ABCD（图11），已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？
解答：
连接DB（图12）。
已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。
已知AB=8厘米，BC=6厘米，三角形ABD的面积等于8×6÷2=24（平方厘米）。
三角形BDE的面积是：
24-17.4=6.6（平方厘米）。
而三角形BDE的面积等于ED×BC÷2即ED×6÷2=6.6所以ED长是2.2厘米。
24.
一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
解答：
先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.30÷（5-3）＝15（秒）.
因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，，105，150，195，……
再看看A与B什么时候到达同一位置.
第一次是出发后
30÷（10-5）=6（秒），
以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
90÷（10-5）＝18（秒），
A与B到达同一位置，出发后的秒数是
6，24，42，，78，96，…
对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
答：
3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
请思考，3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？
25.
光明乡一共有30个村，每3个村都不在一条直线上，每两村之间架一条电线，一共要架多少条电线？
解答:
共有30个村，每3个村都不在一直线上，所以任意一村都与其他29个村架一条电线，30村一共可以架29×30=870（条），但是这样算，把每条电线都计算了两次，因此，最多可以架电线：
29×30÷2=435（条）
26.
绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速
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