青岛中考探究题型大全.docx
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青岛中考探究题型大全
探究题》青岛中考真题
23.（10分）（2014青岛）数学问题：
计算一+丄+—+…+（其中m,n都是正整数，且m》2,TT23n
探究问题：
为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为.
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分
根据第n次分割图可得等式：
一++—+…计=1-
9n3nn
探究二：
计算;+++…+
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为■;
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为：
+-;
33Z
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
—+++…+,最后空白部分的面积是一'.
332333n3n
根据第n次分割图可得等式：
_+二+—「+•••+=1--,
332333n3n
两边同除以2,得「+_!
-+—+•••+T=■-——
332333n22X3n
第1次号割第2次分割第3次分割
2
3
1
jfai
q
3*
2
3
1
2
3*
2
3
2
R
2_
■n
r-r
第丹次分割
丄
探究三：
计算一+―+丄+…+.
442434n
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积
并写出探究过程）
第科次分割
解决问题：
计算“飞+厶+…+「
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式：
所以，
111,—+—+—+•••+n23
aIdID
J_=
n
拓广应用：
计算二2+=_+「_+•••+1:
55253511
23.（10分）（2013青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2
发现并验证了平方差公式和完全平方公式.
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化
圏①图②
研究速算】提出问题：
47X43,56X54,79X71,…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的
算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47X43为例：
（1）画长为47,宽为43的矩形，如图3,将这个47X4的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面.
（2）分析：
原矩形面积可以有两种不同的表达方式：
47X4的矩形面积或（40+7+3）X40勺矩形与右
上角3X7的矩形面积之和，即47X43=（40+10）X40+3X7=5X4X100+3X7=2021.
用文字表述47X43的速算方法是：
十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100,加上个位数字3与7的积，构成运算结果.
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）.
研究方程】
提出问题：
怎样图解一元二次方程x2+2x-35=0（x>0）?
几何建模：
（1）变形：
x（x+2）=35.
（2）画四个长为x+2,宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：
图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2,宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积.
即（x+x+2）2=4x（x+2）+22
■/x（+2）=35
•••（x+x+2）2=4X35+2
/•（2x+2）2=144
•/x>
•x=5
归纳提炼：
求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x>0,b>0,c>0）的解.
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的
长）
研究不等关系】
提出问题：
怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y>0）?
几何建模：
（1）画长y+3,宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：
2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：
图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）;阴影部分面积可以表示为（y+3）x1画
点部分的面积可表示为y+2,由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）>（y+3）+（y+2）,即
（y+3）（y+2）>2y+5
归纳提炼：
当a>2,b>2时，表示ab与a+b的大小关系.
根据题意，设a=2+m,b=2+n（m>0,n>0）,要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）
图③
图⑤1
23.（10分）（2012青岛）问题提出：
以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：
以厶ABC的三个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.
探究二：
以厶ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不
重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①厶ABC的内部，再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种情况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部.不妨假设点Q在厶PAC内部，如图②；
另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上.不妨假设点Q在PA上，如图③.
显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个不重叠的小三角形.
探究三：
以厶ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把△ABC分割成
个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图.
探究四：
以厶ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成__个
互不重叠的小三角形.
探究拓展：
以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点可把四边形分割成个
互不重叠的小三角形.
问题解决
以n边形的n个顶点和它内部的
m个点，共（m+n）个顶点可把△ABC分割成
互不重叠的小三角形
实际应用：
以八边形的8个顶点和它内部的
2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不
23.（10分）（2011青岛）
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一
定的转化，其中作差法”就是常用的方法之一.所谓作差法”：
就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N,若M-N>0,贝UM>N;若M-N=0,贝UM=N;若M—NV0,贝UMvN.
问题解决
如图1,把边长为a+b（b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两
个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解：
由图可知：
M=a2+b2,N=2ab.
•••M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2.
■/a丰b,/a-b）2>0.
•M-N>0.
•M>N.
类比应用
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b>c）
图1图2
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b>a>c>0）,售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？
哪种方法用绳最长？
请
说明理由
06@7
23.（10分）（2010青岛）问题再现：
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见•在八年级课题学习平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究•
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面•如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现
在一个顶点0周围围绕着4个正方形的内角.
试想：
如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角•
问题提出：
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1:
是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：
我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于
分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点•具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周
围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角
验证1:
在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角•根据题
意，可得方程：
90x+'•,整理得：
2x+3y=8,
8
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为*•
结论1:
镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以
同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌
猜想2:
是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
若能，请按照上述方法进
行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由•
验证2:
2:
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，
相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案•
问题拓广：
并写出验
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案证过程•
猜想3:
验证3:
结论3:
23•（10分）（2009青岛）我们在解决数学问题时，经常采用转化”或化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题•
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用消元”的
方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究
多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题•
问题提出：
如何把一个正方形分割成n（n>9）个小正方形？
为解决上面问题，我们先来研究两种简单的基本分割法
基本分割法1：
如图①，
把一个正方形分割成
4个小正方形
即在原来1个正方形的基础上增加了
3个正
方形•
基本分割法2：
如图②，
把一个正方形分割成
6个小正方形
即在原来1个正方形的基础上增加了
5个正
方形•
图②图③图④图⑤图⑥
问题解决：
有了上述两种基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n>9）个小正方形•
（1）把一个正方形分割成9个小正方形•
一种方法：
如图③，把图①中的任意1个小正方形按基本分割法2"进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形.
另一种方法：
如图④，把图②中的任意1个小正方形按基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形.
（2）把一个正方形分割成10个小正方形.
方法：
如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按基本分割法1"进行分割，就可增加3X2个小正方形，从而分割成4+3X2=10（个）小正方形.
（3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
（4）把一个正方形分割成n（n>9个小正方形.
方法：
通过基本分割法1”、基本分割法2"或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次基本分割法1",就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依此类推，即可把一个正方形分割成n（n>9）个小正方形.
从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组
合把正方形分割成n（n>9）个小正方形.
类比应用：
仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n>9）个小正三角形
（1）基本分割法1：
把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；
（2）基本分割法2：
把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）；
（3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画
（只写出分割方法，不用画
图）
23.（10分）（2008青岛）实际问题：
某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班
级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：
为解决上面的实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红，黄，白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：
即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多
少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不
相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是
1+3=4（如图①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有
3个是同色的呢？
我们只需在
（1）的基础上，再从袋中摸出
3个小球，就可确保至少有
3个小球同色，
即最少需摸出小球
的个数是：
1+3X2=7（如图②）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有
4个是同色的呢？
我们只需在
（2）的基础上，再从袋中摸出
3个小球，就可确保至少有
4个小球同色，
即最少需摸出小球
的个数是：
1+3X3=10（如图③）：
••
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有
10个是同色的呢？
我们只需在（9）
的基础上，再从袋中摸出
3个小球，就可确保至少有
10个小球同色，
即最少需摸出小球
的个数是：
1+3X
（10-1）=28（如图⑩）
（g>……逼）
红就黄靈白红或黃或白虹盛黄或曰
圏①图②图③
红或黃或白9个
图⑩
模型拓展
在不透明的口袋中装有红
，黄，白，蓝，绿五种颜色的小球各
20个（除颜色外完全相
同），现从袋中随机摸球
（1）若要确保摸出的小球至少有
2个同色，则最少需摸出小球的个数是
（2）若要确保摸出的小球至少有
10个同色，则最少需摸出小球的个数是
（3）若要确保摸出的小球至少有
n个同色（nv20）,则最少需摸出小球的个数是
模型拓展二：
在不透明口袋中装有
m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球
（1）若要确保摸出的小球至少有
2个同色，则最少需摸出小球的个数是
（2）若要确保摸出的小球至少有
n个同色（nv20）,则最少需摸出小球的个数是
问题解决：
（1）请把本题中的实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型
（2）根据
（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生？
23.（10分）（2007青岛）提出问题：
如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与
△ABC和厶DBC的面积之间有什么关系
探究发现：
为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
•/AP=AD,△ABP^D^ABD的高相等，
2
二淞ABP^—S^ABD・
•/PD=AD—AP=—AD,△CDF^D^CDA的高相等，2
CDF=—S^CDA
2
•SaPB（=S四边形ABCD―SAABp—SACDP
=S四边形ABCD-S^ABD——CDA
22
=S四边形ABCD—£（S四边形ABCD—S^DBC）~（S四边形ABCD—S^ABC）
=DBC^4S^ABC.
（2）当AP=—AD时，探求Sapbc与S^abc和S^dbc之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=[ad时，Sapbc与Saabc和Sadbc之间的关系式为：
6
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求pbc与S^abc和S^dbc之间的关系，写出求解过n
程；
问题解决：
当AP=^AD
（1）时，S^pbc与abc和S^DBC之间的关系式为
rjn
23.（10分）（2006青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：
数缺形时少直观，形少数时难入微;数形
结合百般好，隔离分家万事休”•数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联
系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透•
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题
简单化，抽象问题具体化,化难为易，获得简便易行的成功方案•
例如：
求1+2+3+4+・・+n的值，其中n是正整数.
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需
对n的奇偶性进行讨论.
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性
质来求1+2+3+4+-+n的值，方案如下：
如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,
2,3，…，n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的
值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平
行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n
（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为,即1+2+3+4+…+n=二，.
（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+2n-1）的值，其中n是正整
数.（要求：
画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+2n-1）的值，其中n是正整数.（要求：
画出图形，并
利用图形做必要的推理说明）
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