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1、青岛中考探究题型大全探究题青岛中考真题23 .（10分）（2014青岛）数学问题：计算一 +丄+ （其中m , n都是正整数，且m2 , TT 2 3 n探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来 ，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为.第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分根据第n次分割图可得等式：一 + +计=1 -9 n 3 nn探究二：计算;+ + +第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为;第2次分割，把上次分割图中

2、空白部分的面积继续三等分 ，阴影部分的面积之和为 ：+-;3 3Z第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分 ，所有阴影部分的面积之和为+ + + ,最后空白部分的面积是 一.3 32 33 3n 3n根据第n次分割图可得等式：_+二+ + =1 -,3 32 33 3n 3n两边同除以 2,得+ _!-+ + T = -3 32 33 3n 2 2X 3n第1次号割 第2次分割 第3次分割231jfaiq3*23123*232R2_ nr-r第丹次分割丄探究三：计算一+丄+ .4 42 43 4n（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在

3、图上标注阴影部分面积,并写出探究过程）第科次分割解决问题：计算“飞+厶+（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式： 所以，111, + + + n 2 3a Id IDJ_=n拓广应用：计算二2 +=_+_+ 1 :5 52 53 51123 .（ 10分）（2013青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较 ，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式 .这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化圏 图研究速算】 提出问题：47X43, 56X 54, 79X 71,是一些十位数字相同，且个位数字之

4、和是 10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法 ？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积 ，以47X 43为例：(1)画长为47,宽为43的矩形，如图3,将这个47 X 4的矩形从右边切下长 40，宽3的一条，拼接到 原矩形上面.(2) 分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式 ：47 X 4的矩形面积或 (40+7+3 )X 40勺矩形与右上角 3X7 的矩形面积之和，即 47X43= ( 40+10 )X 40+3X 7=5X4X 100+3X 7=2021.用文字表述47X 43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100 ,加上个位数字3与7的 积，构成运算结果

5、.归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10的两位数相乘的速算方法是 (用文字表述) .研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程 x2+2x - 35=0 (x0)?几何建模：(1)变形：x ( x+2 ) =35 .(2)画四个长为x+2 ,宽为x的矩形，构造图4(3) 分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式 ，(x+x+2 ) 2或四个长x+2 ,宽x的矩形面 积之和，加上中间边长为 2的小正方形面积.即(x+x+2 ) 2=4x ( x+2 ) +2 2/ x (+2 ) =35(x+x+2 ) 2=4 X 35+2/(2x+2 ) 2=144/ x x=5归纳提炼：

6、求关于x的一元二次方程 x (x+b ) =c ( x 0 , b 0, c0)的解.要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤 (用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长)研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示 (y+3 )( y+2 )与2y+5的大小关系(其中y 0)?几何建模：(1)画长y+3 ,宽y+2的矩形，按图5方式分割(2)变形：2y+5= ( y+3 ) + (y+2 )(3) 分析：图5中大矩形的面积可以表示为 (y+3 )( y+2 );阴影部分面积可以表示为 (y+3 )x 1画点部分的面积可表示为 y+2 ,由图形的部分与整体的关系可知 (y+3 )(

7、y+2 )( y+3 ) + (y+2 ),即(y+3 ) ( y+2 ) 2y+5归纳提炼：当a2, b2时，表示ab与a+b的大小关系.根据题意，设a=2+m , b=2+n ( m 0, n 0),要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建 模步骤(用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长 )图图123 .（10分）（2012青岛）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的 m个点，共（m+n ）个点作为 顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形 ？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略 ，先从简单和具体的情形入手 ：探究一：以厶ABC的三个顶点和它内部的 1个

8、点P，共4个点为顶点，可把 ABC分割成多少个互不重叠 的小三角形？如图，显然，此时可把 ABC分割成3个互不重叠的小三角形.探究二：以厶ABC的三个顶点和它内部的 2个点P、Q ,共5个点为顶点，可把 ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图厶ABC的内部，再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图分割成的某个小三角形内部 .不妨假设点Q在厶PAC内部，如图；另一种情况，点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上 .不妨假设点Q在PA上，如图.显然，不管哪种情况，都可把 ABC分割成5个不重叠的小三角形.探究三：以厶ABC的三个顶点和它内部的

9、3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把 ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图.探究四：以厶ABC的三个顶点和它内部的 m个点，共（m+3 ）个顶点可把 ABC分割成 _ _个互不重叠的小三角形.探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的 m个点，共（m+4 ）个顶点可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形.问题解决以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n ）个顶点可把 ABC分割成互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不23 .( 10 分)(2011青岛)问题提出我们在分析解决某些数学问题时 ，

10、经常要比较两个数或代数式的大小 ，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中作差法”就是常用的方法之一.所谓作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确 定它们的大小，即要比较代数式 M、N的大小，只要作出它们的差 M - N ,若M - N 0,贝U M N ;若 M - N=0 ,贝 U M=N ;若 M N V 0 ,贝 U M v N .问题解决如图1,把边长为a+b (b)的大正方形分割成两个边长分别是 a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和 M与两个矩形面积之和 N的大小.解：由图可知：M=a2+b2, N=2ab .M - N=a 2+b 2- 2ab= (a

11、- b) 2./ a丰 b, /a- b) 20.M - N 0.MN.类比应用(2)试比较图2和图3中两个矩形周长 M1、N1的大小(b c)图1 图2联系拓广小刚在超市里买了一些物品 ，用一个长方体的箱子 打包”，这个箱子的尺寸如图 4所示(其中bac 0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由06 723 .（ 10 分）（2010青岛） 问题再现： 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见 在八年级课题学习 平面图形的镶 嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把

12、正多边 形的镶嵌作为研究问题的切入点 ，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面 如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点0周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面 ，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面 ，可能设计出几种不同的组合方案 ？问题解决：猜想1 :是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌 ？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决 、从平面图形的镶嵌中可以发现 ，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点 具体地说，

13、就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证1 :在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角 根据题意，可得方程：90x+ , 整理得：2x+3y=8 ,8我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 * 结论1 :镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角 ，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想2 :是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌 ？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证2 : 2 : 上面，我们探究了同时

14、用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况 ，仅仅得到了一部分组合方案 ，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广：,并写出验请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案 证过程猜想3 : 验证3 : 结论3 : 23 （ 10分）（2009青岛）我们在解决数学问题时，经常采用 转化”或 化归”）的思想方法，把待解 决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题 譬如，在学习了一元一次方程的解法以后 ，进一步研究二元一次方程组的解法时 ，我们通常采用消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程 ；再譬如，在学习了三

15、角形内角和定理以后 ，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题问题提出：如何把一个正方形分割成 n （n9）个小正方形？为解决上面问题，我们先来研究两种简单的 基本分割法基本分割法1：如图，把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形基本分割法2：如图，把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形图 图 图 图 图问题解决：有了上述两种 基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成 n (n9)个小正方形(1)把一个正方形分割成 9个小正方形一种方法：如图，把图中的任意1个小正方形按

16、基本分割法2进行分割，就可增加5个小正方形， 从而分割成4+5=9 (个)小正方形.另一种方法：如图，把图中的任意1个小正方形按 基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方 形，从而分割成6+3=9 (个)小正方形.(2) 把一个正方形分割成 10个小正方形.方法：如图，把图中的任意2个小正方形按基本分割法1进行分割，就可增加3X2个小正方形，从 而分割成4+3X 2=10 (个)小正方形.(3) 请你参照上述分割方法，把图给出的正方形分割成 11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即 可，不用说明分割方法)(4)把一个正方形分割成 n ( n 9 个小正方形.方法：通过 基本分割法1 ”、基本

17、分割法2或其组合把一个正方形分割成 9个、10个和11个小正方形， 再在此基础上每使用 1次 基本分割法1,就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成 12个、13 个、14个小正方形，依此类推，即可把一个正方形分割成 n (n9)个小正方形.从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法 ，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成 n (n9)个小正方形.类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成 n （n9）个小正三角形（1） 基本分割法1：把一个正三角形分割成 4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；（2） 基本分割法2：把一个正三角形分割成 6个小正三角

18、形（请你在图b中画出草图）；（3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成 9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画（只写出分割方法，不用画图）23 .（ 10分）（2008青岛）实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是 40人.为了解学生 课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有 10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生 ？建立模型：为解决上面的 实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型 ：在不透明的口袋中装有红，黄，白三种颜色的小球各 20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随 机摸出的小球至少有 10个是同色

19、的，则最少需摸出多少个小球 ？为了找到解决问题的办法 ，我们可把上述问题简单化 ：（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有 2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？假若从袋中随机摸出 3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出 1个小球就可确保至少有 2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是1+3=4 （如图）；（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3X 2=7 （如图）（3）若要确保从口袋中摸出

20、的小球至少有4个是同色的呢？我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3X 3=10 （如图）：（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3X(10 - 1) =28 (如图)（g逼） s)-红就黄靈白 红或黃或白 虹盛黄或曰圏 图 图红或黃或白 9个图模型拓展在不透明的口袋中装有红，黄，白，蓝，绿五种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出

21、小球的个数是（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是（3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n v 20）,则最少需摸出小球的个数是模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是（2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n v 20）,则最少需摸出小球的个数是问题解决：（1）请把本题中的 实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生 ？23 .（ 10分）（2007青岛）提出问题：如图，在四边形ABCD中

22、，P是AD边上任意一点， PBC与 ABC和厶DBC的面积之间有什么关系探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：/ AP= AD , ABPD ABD 的高相等，2二淞 ABP S ABD/ PD=AD AP=AD , CDFD CDA 的高相等， 2CDF= S CDA2Sa PB(=S 四边形 ABCD SA ABp SA CDP=S 四边形 ABCD -S ABD CDA2 2=S 四边形 ABCD ( S 四边形 ABCD S DBC) ( S 四边形 ABCD S ABC)=DBC 4S ABC.(2)当AP= AD时，探求Sa pbc与S abc和S d

23、bc之间的关系，写出求解过程；(3)当 AP= ad 时，Sa pbc与 Sa abc和 Sa dbc之间的关系式为：6（4） 一般地，当AP= AD （n表示正整数）时，探求pbc与S abc和S dbc之间的关系，写出求解过 n程；问题解决：当AP=AD（ 1）时，S pbc与 abc和 S DBC之间的关系式为rj n23 .（ 10分）（2006青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过 ：数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休” 数学中，数和形是两个最主要的研究对象 ，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透数形结合的基本思想，就是在研

24、究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察 ，斟酌问题的具体情形， 把图形性质的问题转化为数量关系的问题 ，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题 ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,化难为易，获得简便易行的成功方案例如：求1+2+3+4+n 的值，其中n是正整数.对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法 （首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实 ，那就非常的直观.现利用图形的性质来求1+2+3+4+- +n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为 1 ,2, 3，n个小圆圈排

25、列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子 1+2+3+4+n的值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边 ，与原三角形组成一个平行四边形 .此时，组成平行四边形的小圆圈共有 n行，每行有（n+1 ）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 n（n+1 ）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 ,即1+2+3+4+n=二， .（1）仿照上述数形结合的思想方法 ，设计相关图形，求1+3+5+7+ 2n - 1）的值，其中n是正整数.（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明 ）(2)试设计另外一种图形，求1+3+5+7+ 2n - 1)的值，其中n是正整数.(要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明 )