高考模拟湖南师大附中届高三摸底考试 文数word版有答案.docx
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高考模拟湖南师大附中届高三摸底考试文数word版有答案
湖南师大附中2019届高三摸底考试
数 学（文科）
得分：
______________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合M＝{x
≤x－1≤4}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．2个B．3个C．1个D．无穷多个
2．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设i为虚数单位，m∈R，“复数z＝（m2－1）＋（m－1）i是纯虚数”是“m＝±1”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则其渐近线的方程为
A．2
y±x＝0B．2
x±y＝0
C．8x±y＝0D．x±8y＝0
5．下列函数的最小正周期为π的是
A．y＝cos2xB．y＝|sin
|
C．y＝sinxD．y＝tan
6．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
7．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ax－a－x＋2（a>0，a≠1），若g
（2）＝a，则f
（2）＝
A．2B.
C.
D．a2
8．已知向量m＝（λ＋1，1），n＝（λ＋2，2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ＝
A．－4B．－3C．－2D．－1
9．已知某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是
，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是
A．y＝x3B．y＝
x
C．y＝3xD．y＝3－x
10．设x，y满足约束条件
，若目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）的最大值为12，则
＋
的最小值为
A．4B.
C.
D.
11．过点P
作圆C：
＋
＝1
的切线，切点分别为A、B，则
·
的最小值为
A.
B.
C.
D．2
－3
12．已知函数f
＝
（b∈R）．若存在x∈
，使得f（x）＞－x·f′（x），则实数b的取值范围是
A.
B.
C.
D.
选择题答题卡
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得 分
答 案
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．
14．在△ABC中，若∠B＝60°，sinA＝
，BC＝2，则AC＝________．
15．已知函数f
＝
，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f
＝b有三个不同的零点，则m的取值范围是________．
16．给出如下定理：
“若Rt△ABC斜边AB上的高为h，则有
＝
＋
”．在空间四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，类比上述定理，得到的正确结论是________________．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝2cos
cos（2π－x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈
时，求函数y＝f（x）＋cos2x的最大值和最小值．
18.（本小题满分12分）
若数列{an}是递增的等差数列，其中的a3＝5，且a1、a2、a5成等比数列．
（Ⅰ）设bn＝
，求数列{bn}的前n项的和Tn.
（Ⅱ）是否存在自然数m，使得
对一切n∈N*恒成立？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离．
20.（本小题满分12分）
已知圆M：
（x＋
）2＋y2＝36，N（
，0），点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.
（Ⅰ）当点P在圆M上运动时，试证明|QM|＋|QN|为定值，并求出点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）对任意实数x，都有x≤f（x）≤
（x＋1）2恒成立．
（Ⅰ）证明：
f
（1）＝1；
（Ⅱ）若f（－1）＝0，求f（x）的表达式；
（Ⅲ）在题（Ⅱ）的条件下设g（x）＝f（x）－
x，x∈[0，＋∞），若g（x）图象上的点都位于直线y＝－
的上方，求实数m的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝
，直线l的极坐标方程为ρ＝
.
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4－5:
不等式选讲
已知函数f（x）＝
，g（x）＝af（x）－|x－2|，a∈R.
（Ⅰ）当a＝0时，若g（x）≤|x－1|＋b对任意x∈（0，＋∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当a＝1时，求函数y＝g（x）的最小值．
炎德·英才大联考湖南师大附中
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试
数学（文科）参考答案
一、选择题
1．B 【解析】由M＝{x
≤x－1≤4}＝{x|－3≤x≤5}，则M∩N＝
，有3个元素，故选B.
2．B
3．A 【解析】因为复数z＝（m2－1）＋（m－1）i是纯虚数，则
，显然m＝－1，所以，“复数z＝（m2－1）＋（m－1）i是纯虚数”是“m＝±1”的充分不必要条件．故答案选A.
4．B 【解析】双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得
＝3＝
，∴
＝2
，则其渐近线的方程为：
2
x±y＝0，故选B.
5．A
6．D 【解析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB.侧面ACBD为直角梯形，DA⊥AB.该几何体的体积V＝
×
×2＝
.故答案选D.
7．B
8．B
9．C 【解析】由程序框图可知，当输入的x的值为5时，第一次运行，x＝5－2＝3；第二次运行，x＝3－2＝1；第三次运行，x＝1－2＝－1，此时x≤0，退出循环，要使输出的y的值为
，只有C中的函数y＝3x符合要求．
10．D 【解析】由不等式组作出可行域如图，由a>0，b>0，可知当直线z＝ax＋by经过点P（4，6）时，z取得最大值，由已知得4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以
＋
＝
＋
＝
＋
＋
≥
，当且仅当
＝
，即a＝b＝
时取得等号，故
＋
的最小值为
，故选D.
11．C 【解析】
·
＝（
）2cos∠APB＝（PC2－1）×（2cos2∠APC－1）＝（PC2－1）（1－
）＝PC2＋
－3，∵PC2＝（t＋1）2＋（3－t）2＝2t2－4t＋10≥8，∴PC2＋
－3≥8＋
－3＝
.故选C.
12．C 【解析】f
＋xf′
>0
′>0，设g
＝xf
＝lnx＋
，若存在x∈
，使得f
＋xf′
>0，则函数g
在区间
上存在子区间使得g′
>0成立，g′
＝
＋2
＝
，设h
＝2x2－2bx＋1，则h
>0或h
>0，即8－4b＋1>0或
－b＋1>0，得b<
，故选C.
二、填空题
13.
14．3
【解析】由正弦定理得，
＝
，即
＝
，所以AC＝6×
＝3
.
15．（3，＋∞） 【解析】函数y＝
为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋4m
的对称轴为x＝m，且向右单调递增．故当x≤m时函数f
先减后增，当时函数f
单调递增，要f
＝b有三个不同的零点则必须满足m>m2－2m2＋4m，解得m>3.
16.
＝
＋
＋
【解析】如图，连接CO，延长交AB于点D，连PD，
由已知可得，PC⊥PD，PO⊥CD，PA⊥PB，PD⊥AB，
由定理，得
＝
＋
＝
＋
＋
.
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）因为f（x）＝2cos
cos（2π－x）＝2sinxcosx＝sin2x.（4分）
所以函数f（x）的最小正周期为π.（6分）
（Ⅱ）因为y＝f（x）＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝
sin（2x＋
）．（8分）
由0≤x≤
≤2x＋
≤
，从而－
≤sin（2x＋
）≤1.（10分）
所以当x∈
时，f（x）的最大值为
，最小值为－1.（12分）
18．【解析】（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意
（2分）
∴
∴an＝2n－1（3分）
则bn＝
＝
＝
（
－
）（4分）
所以Tn＝
（
－
）＋
（
－
）＋…
（
－
）＝
（1－
）＝
（6分）
（Ⅱ）Tn＋1－Tn＝
>0，∴{Tn}单调递增．（7分）
∴Tn≥T1＝
.（8分）
Tn＝
（1－
）＝
－
<
（9分）
要使得
对一切n∈N*恒成立，则
，∴
≤m<
（11分）
∵m是自然数，∴m＝2.（12分）
19．【解析】（Ⅰ）因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.（2分）
因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE.（5分）
于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.（6分）
（Ⅱ）方法一：
连结BD交AC于点M，则点M是BD的中点，
所以点D与点B到平面ACE的距离相等．
因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离．（8分）
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.
又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形．
因为AB＝2，所以BE＝2sin45°＝
.（9分）
在Rt△CBE中，CE＝
＝
.（10分）
所以BF＝
＝
＝
.
故点D到平面ACE的距离是
.（12分）
方法二：
过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点．又AB＝2，所以EG＝1.（8分）
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥EC.
又
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