211 直线的倾斜角与斜率吴永标.docx

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211直线的倾斜角与斜率吴永标

《直线的倾斜角与斜率》教学方案

教师姓名

吴永标

课型

新授

课时数

1（40分钟）

课题

北师大版（必修2）第二章第一节第一课时:

直线的倾斜角和斜率

教材分析

本节内容作为解析几何的门槛课，对于以后解析几何的学习是至关重要的，教材以导数的形式给出斜率的比值定义，这是本节课的难点，也是一个重点其对于后面章节中曲线的弦长公式，导数的定义的学习起一个铺垫。

斜率是后继内容展开的主线，直线的方程，两直线的关系等等都要用到它。

对于正切定义斜率，由于初中讲过锐角的正切，可以在锐角情况稍加提出，不必作过多的陈述。

有了斜率的比值定义了，推导就比较简单了。

教学目标

1．知识与技能

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

（2）理解直线倾斜角的唯一性，理解直线斜率的存在性.

（3）理解斜率的“比值”定义

（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式，会用公式求斜率。

2．过程与方法

（1）以现实生活中倾斜物体实例，结合解析几何的背景历史引入课题，引导帮助学生将数学中的形的问题转变为数的问题，通过坡度的定义引入斜率的定义，再通过斜率的定义推导直线斜率坐标公式.

（2）经历用代数方法研究直线问题的过程；在从直观到抽象，从几何到代数的过程中，初步掌握解析几何的初步思想，让学生体会数学中的数与形的结合。

3．情感、态度与价值观

（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力，感受用坐标研究直线的价值.

（2）以现实生活中“倾斜”物体实例，结合解析几何的背景历史引入课题，通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神，理解学科与学科之间的联系。

教学重点

直线倾斜角与斜率的定义，直线斜率的坐标运算公式

教学难点

倾斜角概念的形成，斜率定义的理解。

教学资源

多媒体教学

教学方法

演示法、问题驱动法、练习法

教学内容与步骤

师生互动

设计意图

一、课堂引入

现实生活中充满“倾斜”的量，如何刻画这种倾斜？

17实际法国数学家笛卡尔首次将坐标系引入平面几何，用坐标的思想研究几何问题，实现了“数与行”的结合。

二、探索新知

（1）直线位置的确定

1、给出直线上一个点P，能确定一条直线吗？

（不能）

2、给出直线与x轴正方向所成的角,能确定一条直线吗？

3、给出直线上一个点P以及直线与x轴正方向所成的角能确定直线吗？

比如：

1=45°，P1（-2,0）:

（2）倾斜角定义的讲解

1、引入倾斜角的定义：

一般地，平面直角坐标系内，对于一条与x轴相交的直线，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，倾斜角通常用表示。

规定：

当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°

倾斜角的范围：

0≤<180

每条直线都有倾斜角

2、以楼梯回顾初中的坡度定义：

坡比（度）=

当水平长度为1时，铅直高度等于坡度

（3）直线斜率的定义（分四类讲解）

1、对于过原点，倾斜角为（0<<90）的直线斜率的定义。

2、对于过原点，倾斜角为（90<<180）的直线斜率的定义。

例1：

如图过原点的直线上存在两点A（1，2），B（2，m）

（1）求的斜率;

（2）求m的值。

3、不过原点（≠0、90）的一般情形

4、=0、=90斜率的讲解

例2判断题

（1）所有直线都有倾斜角与斜率。

（）

（2）如图给出的是运动物体的速度与时间的图像（V-T图），则物体的加速度的几何意义即直线l的斜率。

（）

（3）斜率公式给出了求斜率的一种方法，反映了斜率是垂直变化量和水平变化量的比。

（）

（4）斜率坐标公式的推导

例3已知一次函数y=2x+2，请给出满足表达式的两点坐标，然后求出直线的斜率k。

例4、元芳说：

“过点（2，1），（a，3）的直线的斜率”,同学你怎么看？

（5）探究斜率与倾斜角的变化情况。

（课外拓展思考）如图P为△OAB边BA上一动点（包括端

点A、B），试求OP的斜率和倾斜角的范围。

（6）知识小结

1、直线确定两个要素：

一个点和一个方向（角）。

2、直线倾斜角的定义：

逆时针、正方向。

倾斜角的范围：

0≤<180。

3、斜率的定义：

4、直线两点的斜率公式：

教师讲述生活中的倾斜与解析几何的历史

通过旋转加强一点确定不了直线的理解

通过平移直线让学生发觉一个角是不能确定一条直线的。

通过解释并演示直线确定的过程让学生理解确定直线的方法：

一点+一方向（角）

通过幻灯片演示定义，用flash动画演示倾斜角度的定义，结合黑板讲解。

结合定义引导学生发现特殊情形

让学生归纳倾斜角的范围并发觉每条直线都有倾斜角

引导学生回忆坡度的定义，以及坡度的几何意义：

刻画坡的倾斜度

讲解斜率定义的本质：

比值（竖直变化量与水平变化量之比）

继续揭示斜率定义的本质：

比值（竖直变化量与水平变化量之比），但要注意变化量的正与负，其影响了斜率的正负

学生先练老师然后与学生一起讲解（第二问可以尝试问学生）。

通过平移讲解特殊与一般的关系

通过前面斜率比值定义揭示特殊情形的斜率情况

学生口答

老师引导学生进行公式的推导。

学生先算，老师再拿两个学生的答案总结：

k的坐标公式中两点的任意性。

学生口述，老师点解。

几何画板演示，学生自己总结。

让学生课外探究。

老师回顾

以实际例子结合历史背景引入，让学生体会实际生活中的“形”如何用数学中的“数”来刻画

利用动画演示加深印象，加强理解

通过平移直线容易让学生发现问题的答案

通过两个提问以及一个实例确定直线确定的方法：

一点+一方向（角）

用动画演示让学生有一个更直观的感觉。

引导法教学让学生学会观察与发现。

以实际楼梯以及初中坡度的定义任意让学生过度到倾斜

类比坡度引入斜率的定义

有特殊到一般，学生容易理解并接受。

通过进一步的解释定义达到比值定义的理解。

用一个练习加强学生斜率定义的理解

由特殊到一般是数学的基本思想。

特殊情形是学生学习的一个盲点与难点需要特别的加以讲解

给三个有关斜率的判断题加深定义的准确性的理解。

其中例2让学生理解加速度的几何意义，体会不同学科之间的联系。

由比值定义引导学生推导公式，让学生体会“数与形”的结合

通过不同学生的答案的“相同性”可以加深学生的两点任意性的理解。

用时髦的网络用语增强课堂的气氛，让学生注意参数的分类讨论思想。

让学生观察，归纳，加强学生的观察归纳能力，对倾斜角和斜率的关系有一个清楚的认识。

（课外探究）让学生体会区间内k与的增减性以及边界情况的应用。

总结新知形成完整的知识结构。

课后作业：

（1）总结本节课的学习心得体会。

学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。

（2）课后习题：

①课本63页习题1、4、5

②已知点P（，1）,点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为.

1.学生课外总结归纳

2.合理分层练习

板书设计

三、斜率的坐标公式

《直线的倾斜角与斜率1》教案说明

鹰潭市余江一中：

吴永标

本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。

教案的设计考虑了以下几方面内容：

一、教学内容的数学本质

（1）直线的应用

直线作为平面几何的基本元素，在生活技术和自然科学研究中首先要作为被研究的对象，它是由几何到代数必经之路，16世纪开始，由于制造业和航海业的迅速发展，产生了许多迫切需要解决的问题，如航海中船的定位、速度问题等等，在这种形势下笛卡尔解析几何确立，如今的航天、导弹、卫星定位都有直线的影子。

如果把解析几何看成是我们科学发展的“必经路”那直线就是“铺路砖”。

（2）内容理解

北师大教材侧重于由直观、归纳、理解的过程，本节也不例外，数学的本质是由现实到理论，由形到数的过程，如何把直线的“形”度量并表示出来是这解课的最终目标，倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜度的量，它们之间以及与坐标之间是有密切联系的，而如何建立、推导相互间的关系，是这节课的主要任务。

二、教学目标解析

1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程；

2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想；

3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；

4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

三、教学内容与地位作用解析

本节课是北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修2）第二章§2.1.1的内容。

1、内容分析

本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一个公式（斜率计算公式）

直线的倾斜角是反映直线倾斜大小量，它也是确定直线位置的一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程度。

本节中，直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要几何要素。

过已知两点的直线唯一确定，即直线倾斜角唯一确定，即直线斜率唯一确定。

从而在直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联系，所以可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。

直线斜率公式为：

（

），在公式的推导中渗透了分类讨论、数形结合等重要数学思想。

2、地位作用分析

本节课是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离不开生活，数学是自然有用的，而且使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。

从知识点及研究方法上看，倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题，而斜率在建立直线方程，研究直线的几何性质时起着重要铺垫的作用。

综上，本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方法，明确方向，承前启后的作用。

3、与其他知识、学科的联系及应用。

直线是后面圆、圆锥曲线学习的基础，其涉及曲线弦长的求解，是联系曲线之间的主要元素，而本节内容中斜率的比值定义更是后面导数学习的铺垫，其渗透着变化量比值思想。

物理学科是很多高中生学习的一个难点，而物理中的运动加速度，位移，胡克定理等等都是与直线息息相关的知识内容，而通过本节课的学习，给学生上述内容的理解为无疑会是一个助推器。

数学源于生活，应用于生活，航天、建筑、数据分析都是以直线为基本元素。

四、教学问题诊断分析

1、对于直线的确定，初中学生基本还是停留在两点确定直线的认识上，如何拓展直线确定的方法需要逐步的引入所需的两个要素，其中这个方向要加以解释，特别是正方向的强调，至关重要，老师加以引导学生是容易理解的。

2、倾斜角的概念：

如何理解倾斜角？

是教学中易忽略的，也是学生很容易误解的地方，通过必要的教学手段是应该的（flash动画）通过动画演示，加以讲解可以使学生自然而正确地理解定义，对于0

的情形要及时地指出来。

3、对于斜率，北师大版斜率的定义是比值定义，这个是不容易理解的！

所以对于斜率的讲解我们可以尝试由特殊至一般，分几种情况来进行讲解，这样学生容易接受与理解，对于（0

90

）情形学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来,而0

及90

时可以特殊认识，钝角情形要注意斜率中竖直变化量为负数的强调，这跟坡度的定义就不一样了，老师要加以引导。

角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。

3、斜率坐标公式。

首先，怎样将两点坐标与斜率的定义相联系，这是一个难点，可提供学生探究发现的机会，应放手让学生独立解决;使学生在公式的推导过程中，培养研究问题的独立性、条理性、严谨性。

学生在套用斜率公式时很容易忽略分母不为0的讨论，这个要加以强调。

五、本节课的教法特点以及预期效果分析

1．教学方法

采用了“引导发现法”、“探究学习”及“自主探索”的模式，充分体现了学生的主体地位，教师充当的是合作者、引导者和组织者的角色，引导学生观察、发现、类比和归纳，充分发掘学生的自主能力，组织学生进行探究式学习，在交流合作中获取知识。

教学中多处设置学生自主探究的环节，通过自主探究，使学生亲历了知识发生和发展的过程，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，通过师生之间的交流合作以及同学之间的交流合作，使学生获取了知识，主动完成了知识的建构。

2．教学中的预期效果分析

1、知识内容：

两个概念，一个公式的应用再加一个位置的确定是本节的任务，这也是学生需要掌握的。

会判断直线的倾斜角，会用斜率的定义求解斜率，会用斜率公式是这节课的最终目标。

2、数学方法：

通过本节课的教学，希望对学生的思维品质的培养进一步加深﹑“数形结合”、“分类讨论思想”初步巩固与确立。