考研数学三真题与解析.docx
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考研数学三真题与解析
2019年考研数学三真题解析
一、选择题1
—8小题.每小题
4分，共32分.
1.当x0时,
若X
tanx与x
k是同阶无穷小，则
k（
）
（A）1
（B）2
（C）
3
（D）4
【答案】（C）
【详解】当x
0时,
tanxx
1
捫o（x3），所以xtanx
1x3o（x3）
3
，所以k3
2.已知方程X5
5x
k0有三个不同的实根，则
k的取值范围是（）
（A）
（,4）
（B）（4,）
（C）
（4,0）
（D）（4,4）
【答案】（D）
【详解】设f（x）x5
5xk，则f（
）
f（）,f（x）5x455（x2
1）（x1）（x1）,
令f（x）
0得xi
1,x21且f（
1）
20,f
（1）20,也就是函数在x!
1处取得极大值
f
（1）4
k，在X2
1处取得极小值
f
（1）
k4;
f
（1）4k0
由于方程有三个不同实根，必须满足''，也就得到k（4,4）.
f
（1）k20
3.已知微分方程
yaybyc6的通解为y（G
C2x）exex，则
a,b,c依次为（
）
（A）1,0,1
（B）1,0,2（C）2,1,3
（D）2,1,4
【答案】（D）
【详解】
（1）由非齐次线性方程的通解可看出*r2
1是特征方程r2
arb
0的实根，
从而确定
a2,b1;
（2）显然，y*
x
e是非齐次方程的特解，代入原方程确定
c4.
4.若级数nun
绝对收敛，Vn条件收敛，则（
）
n1
n1n
（A）
unvn条件收敛（B）unvn绝对收敛（C）un
vn收敛
（D）u
nVn发散
n1
n1
n1
n1
（注：
题目来自网上，我感觉选项（C）应该有误差，否则（A），（B）选项显然没有（C）选项优越，若（A），（B）中有一个正确，则（C）一定正确•题目就不科学了.
答案】（B）
【详解】由于Vn条件收敛，则limVn0，也就是有界；
n1nnn
从而，unvnnunMnun，由正项级数的比较审敛法，unvn绝对收敛.
5•设A是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，若线性方程组Ax0基础解系中只有两个向量，则r（A*）（）
【答案】（A）
所以r（A*）0•
【答案】（C）
【答案】（C）
【答案】（A）
【详解】由于随机变量
X与Y相互独立，且均服从正态分布
N（,
2），则X
Y~N（0,22），从而
P{XY
1}P{1XY1}
只与2有关.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
1
9.lim
n12
1
n（n1）
【答案】e1
解:
lim
n
1
（n
1）
lim1
nn1
10.曲线
yxsinx
2cosx（
【答案】
（,2）
【详解】
yxsinx
2cosx,
）的拐点坐标是
2
xcosx
sinx,y
xsinx,ysinxxcosx;
xsinx0得x10,x2
）0,所以（，2）是曲线的拐点;
而对于点
（0,0），由于f（0）0,而
f⑷（0）
0，所以不是曲线的拐点.
11.已知函数f（X）r~dt，则
12
0x2f（x）dx
【答案】122
18
【详解】
（1）用定积分的分部积分:
12
0xf（x）dx
3
f（x）dx3
^x3f（x）|0
x31x4dx
0
1
12
1,1x4d（1
0
x4）4
18
（2）转换为二重积分:
12
0x2f（x）dx
。
仏：
」1t4dt
0&
t4dt0x2dx
1t3、.1t4dt
0
12,2
18
12.以Pa,Pb分别表示
代B两个商品的价格.设商品
A的需求函数
2
Qa500Pa
PaPb
2PB，则当
Pa10,Pb20时，商品A的需求量对自身价格弹性
AA（AA0）
【答案】0.4
【详解】Qa500PaPaPb2P；，当Pa10,FB
20时,
Qa1000则边际需求
Qa
Pa
2PaPb,
商品A的需求量对自身价格弹性为AA詈
FaQaQaPa
卫400.4.
P{F（X）E（X）1}
10
1
0
13.已知矩阵A11
1
b1.
若线性方程组
Ax
b有无穷多解，则a
01
a21
a
【答案】1.
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换
:
1
0
10
1
01
0
1010
（A,b）1
1
11
0
10
1
0101
0
1a2
1a
0
1a21
a
00a21a1
显然，当且仅当a1时，
r（A）
r（A,b）2
3线性方程组
Ax
b有无穷多解.
1
令f（x）0得到捲1k丄.
1时，f（x）0，当1x0时，f
（x）0，当0
1
—时，f（X）0;
e
故x1
1是函数的极小值点，极小值为f（
1）1e1；
0是函数的极大值点，极大值为f（0）
1
丄是函数的极小值点，极小值为
e
f（$
e
（本题满分10）
设函数f（u,v）具有二阶连续的偏导数，函数zxyf（xy,xy）,
2z
2
z
~2
y
【详解】-z
x
yfi（x
y,x
y）f2（x
y,x
z
y），x
y
fi（x
y,xy）f2（xy,xy）
11
12
21
22
112f12
f22，
11
f22，
17.（本题满分10分）
设函数y（x）是微分方程
xy
112f12f22；
（1）求y（x）的表达式;
（2）设平面区域D{（x,y）|1
2z
2
z
~~2
y
3f11
22-
1
2.x
x2
e2满足条件y
（1）
x2,0y
【详解】
（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程.
先求解对应的线性齐次方程
xy
0的通解:
x2
再用常数变易法求
xy
y（x）｝，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
e2通解
2*；x
x2
Ce2，其中C为任意常数;
x2
设yC（x）e2为其解，代入方程，
x2
C（x）e2
子亠（x）
1
2.x
C（x）
x2
.xC1，也就是通解为：
y（••.xC1）e2
x2
把初始条件
y
（1）“e代入,
（2）旋转体的体积为Vx
得C1
2
1y（x）2dx
0,从而得到y（x）
22
exdx
1
18.（本题满分10分）求曲线yexsinx（x
【详解】先求曲线与x轴的交点：
令exsinx
R.
尹4e）.
0）与x轴之间形成图形的面积.
0得xk,k0,1,2,L
当2kx（2k1）时，yexsinx0；当2k
x（2k2）时，yexsinx0.
由不定积分exsinxdx
（sin
xcosx）C可得
2k
exsinxdx
2k
所求面积为
12k
e
2
（1e
2k2
2k
exsinxdx
12k
e
2
（1e）
sinxdx
2k
02k
1
e
02
2k
2k
（1
19.（本题满分10分）
an
sinxdx
k0
1
e
02
2k
2k
exsinxdx
（1e）
2k
e（1
k0
）22（1
）2）1e2
11e
21e
0xnCdx（n
0,1,2,L）
n1
（1）证明：
数列｛an｝单调减少，且an——an
n2
（n2,3,L
（2）求极限
lim旦
nan1
1
【详解】
（1）证明：
anoxn■.1x2dx，an1
1x2dx（n0,1,2,L）
（0,1）时，显然有
n1n
xx，an
1an
1（x
0\
xn）、彳
dx0，所以数列｛an｝单调减少;
先设
则当
2sinnxdx0
n2时，
In
02cosndx,n
0,1,2,L
In
02sinnxdx
2sinn
0
1xdcosx（n
1）
02sin
xcos2xdx
（n
1）（In2In）
也就是得到In
sint,t
an
1
n
x
0
同理,
an
综合上述,
（2）由（
'1x2dx
In
2,n
0,1,L
02sinntcos
tdt
02sinndt
02sin…tdt
In
1
In
n2
1
In
n1
可知对任意的正整数n，
均有
an
an2
an
1）的结论数列｛an｝单调减少，且an
（n
1
n2%
2（n
2,3,L）
2,3丄）；
an
2an1
an
an1
令n，由夹逼准则，可知
liman
nan1
1.
20.（本题满分11分）
1
1
1
已知向量组I:
11,2
0,3
2;
4
4
a23
1
0
1
向量组n：
11,2
2,
33.若向量组i和向量组n等价，求常数a的值，并将
a3
1a
a23
r（1,2,3）r（1,2,3）
3用1,2,3线性表示.
【详解】向量组i和向量组n等价的充分必要条件是
1
1
1
1
0
1
（1,2,3；1,2,3）
0
1
1
0
2
2
0
0
a21
a1
1a
a21
（k2）2k3，其中k为任意常数;
（2）当a1时，继续进行初等行变换如下:
显然，当a
1且a1时，r（1,2,3）
r（1,2,3；1,
3（2k3）1
2,3）
1
0
1
1
0
1
1
0
1
同时1,2,3
0
2
2
0
2
2
0
1
1，r（1,2,3）3，也就是
1
1
a1
0
1
a
0
0
a1
r（1,2,3）
「（1,2,3）「（1,2,3；
;1,
2,
3）2，
两个向量组等价.
这时，3可由
1,2,3线性表示，表示法唯一：
31
2
3-
2
2
1
2
1
0
21.（本题满分
11分）已知矩阵A2
x
2
与B
0
1
0相似
0
0
2
0
0
y
【详解】
（1）由矩阵相似的必要条件可知:
A
B
，即
2（2X4）2y，解得X3
trA
tr
B
4x1yy2
（1）求x,y之值；
（2）求可逆矩阵P，使得P1APB.
21
（2）解方程组EA
32
（2）
（2）
（1）0得矩阵A的三个特征值
02
2,21,32；
分别求解线性方程组
（iE
A）x
0
（i1,2,3）得到分属三个特征值12,21,32的线性无关
1
1
1
的特征向量为：
1
2
2
1
32.
0
0
4
1
1
1
2
令R1,2,3
2
1
2，
则R可逆，且1AP1;
0
0
4
2
同样的方法，可求得属于矩阵
B
的三个特征值
12,21,32的线性无关的特征向量为
11
0
10,23
3
0
.
00
14
1
1
0
2
令B1,2,3
0
3
0，
则F2可逆，且
F21BF1;
0
0
1
2
11
由前面RARP2BP2，可知令PRP2
111
212，就满足P1APB•
22•（本题满分11分）设随机变量X,Y相互独立,
X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为:
P{Y1}p,P{Y
1}1p,（0p1）•令Z
XY•
（1）求Z的概率密度;
（2）p为何值时，X,Z不相关;
（3）此时,
X,Z是否相互独立.
【详解】
（1）显然X的概率密度函数为fx（x）
x
e,x
0,x
先求Z
XY的分布函数:
Fz（z）P{Zz}P{XYz}
P{X
（1
（1
乙丫
P）P{X
）Fx（z）
P{X乙丫1}
pP{Xz}
z））
1}
z}
P（1Fx（
再求Z
XY的概率密度:
fz（z）（Fz（z））pfx（z）
（1
P）fx（Z）
z
pe,
0,
（1
P）e
z
z
z
（2）显然E（X）1,D（X）1;E（Y）12p;
由于随机变量X,Y相互独立，所以E（Z）E（XY）
E（X）E（Y）
2p;
E（XZ）E（X2Y）E（X2）E（Y）24p;COV（X,Z）E（XZ）
E（X）E（Z）12p;
要使X,Z不相关，必须COV（X,Z）E（XZ）
E（X）E（Z）12p
0,也就是p
0.5时X,Z不相关;
（3）X,Z显然不相互独立，理由如下：
设事件
A{X1}，事件B
{Z1}，则
P（A）
P{X1}
dxe
P（B）
P{Z1}P{X
1,Y
1,Y1}1
P（AB）
P{X1,Z1}
P{X
1,XY1}
P（X1,Y
11
e;
2
1
}P{X1}P{Y
x
1}pe1
，当
p0.5时，显然P（AB）
P（A）P（B），也就是
X,Z显然不相互独立.
23•（本题满分11分）设总体X的概率密度为f（x）
A害
x，其中是已知参数,
是未知
0,x
参数，A是常数，Xi,X2丄,Xn是来自总体X的简单随机样本.
（1）求常数A的值；
（2）求
2
的最大似然估计量.
【详解】
（1）由f（x）dx
A
1可知e
（x）2
"2~
dx
2A0
2A1
所以A
似然函数为
L（X1,X2,LXn；
2）
i
f（Xi，
1
An
ne
n
（Xi
i1
2
）2
x
取对数，得
InL（X1,X2,L,Xn；2）
nInA
2"（
2）
解方程
dIn
L（X1,X2,L,Xn；2）
d（
2）
1
2~2
2（）
0,
其他
（Xi
1
）2
量为?
2
（Xi
（Xi
i1
）20，得未知参数2的最大似然估计
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