考研数学三真题与解析.docx

1、考研数学三真题与解析2019年考研数学三真题解析一、选择题 18小题.每小题4分，共32分.1.当x 0时,若Xtanx 与 xk是同阶无穷小，则k ()(A) 1(B) 2(C)3(D) 4【答案】（C）【详解】当x0时,tan x x1捫 o(x3)，所以 x tanx1 x3 o(x3)3，所以k 32.已知方程X55xk 0有三个不同的实根，则k的取值范围是（ ）(A)(,4)(B)(4,)(C)(4,0)(D) ( 4,4)【答案】（D）【详解】设f（x） x55x k，则 f (),f( ) , f (x) 5x4 5 5(x21)(x 1)(x 1),令 f (x)0得xi1,x

2、2 1 且 f (1)20, f （1） 20 ,也就是函数在x!1处取得极大值f ( 1) 4k，在 X21处取得极小值f (1)k 4;f（ 1） 4 k 0由于方程有三个不同实根，必须满足 ，也就得到k （ 4, 4）.f（1） k 2 03.已知微分方程y ay by c6的通解为y (GC2x)e x ex，则a, b, c依次为（)(A) 1,0,1(B) 1,0,2 (C) 2,1,3(D) 2,1,4【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出 * r21是特征方程r2ar b0的实根，从而确定a 2, b 1 ;（2）显然，y*xe是非齐次方程的特解，代入原方程确

3、定c 4 .4.若级数 nun绝对收敛， Vn条件收敛，则（)n 1n 1 n(A)unvn条件收敛 （B） unvn绝对收敛 （C） unvn收敛(D) unVn发散n 1n 1n 1n 1（注：题目来自网上，我感觉选项（ C）应该有误差，否则（A），（ B）选项显然没有（C）选项优越，若 （A），（ B）中有一个正确，则（C） 一定正确题目就不科学了.答案】（B）【详解】由于 Vn条件收敛，则lim Vn 0，也就是有界；n 1 n n n从而，unvn nun M nun，由正项级数的比较审敛法， unvn绝对收敛.5设A是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，若线性方程组 Ax 0基础解系中只有

4、两个向量， 则r(A*)()【答案】(A)所以 r(A*) 0 【答案】(C)【答案】(C)【答案】(A)【详解】由于随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(,2)，则 XY N(0, 2 2)，从而PX Y1 P 1 X Y 1只与2有关.二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）19. limn 1 21n (n 1)【答案】e1解: limn1(n1)lim 1n n 110.曲线y xsin x2cos x (【答案】(,2)【详解】y xsinx2cos x ,）的拐点坐标是2xcosxsin x , yxsin x , y sin x xcosx

5、 ;xsinx 0 得 x1 0,x2）0 ,所以（，2）是曲线的拐点;而对于点(0,0)，由于 f (0) 0 ,而f （0）0，所以不是曲线的拐点.11.已知函数f（X） r dt，则1 20x2f(x)dx【答案】1 2218【详解】（1）用定积分的分部积分:1 20x f (x)dx3f (x)dx3x3f (x)|0x31 x4dx01121,1 x4d(10x4) 418（2）转换为二重积分:1 20x2f(x)dx。仏：1 t4dt0&t4dt 0x2dx1t3、.1 t4dt01 2,21812 .以Pa,Pb分别表示代B两个商品的价格.设商品A的需求函数2Qa 500 PaP

6、aPb2PB，则当Pa 10,Pb 20时，商品A的需求量对自身价格弹性AA ( AA 0)【答案】0.4【详解】Qa 500 Pa PaPb 2P；，当 Pa 10, FB20时,Qa 1000则边际需求QaPa2Pa Pb ,商品A的需求量对自身价格弹性为AA詈Fa Qa Qa Pa卫 40 0.4.PF(X) E(X) 1 1 01013.已知矩阵A 1 11,b 1 .若线性方程组Axb有无穷多解，则a0 1a2 1a【答案】1.【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:101 010 101 0 1 0(A, b) 111 101 010 1 0 101 a21 a01 a2 1

7、a0 0 a2 1 a 1显然，当且仅当a 1时，r(A)r(A,b) 23线性方程组Axb有无穷多解.1令f (x) 0得到捲 1k 丄.1 时，f (x) 0，当 1 x 0时，f(x) 0，当 01时，f (X) 0 ;e故x11是函数的极小值点，极小值为 f (1) 1 e 1 ；0是函数的极大值点，极大值为 f (0)1丄是函数的极小值点，极小值为ef($e(本题满分10)设函数f (u, v)具有二阶连续的偏导数，函数z xy f (x y, x y),2z2z2y【详解】-zxy fi(xy, xy) f2(xy,xzy)， xyfi(xy,x y) f2(x y,x y)111

8、2212211 2 f12f22，11f22，17.(本题满分10分)设函数y(x)是微分方程xy11 2 f12 f22 ；(1)求y(x)的表达式;(2)设平面区域 D ( x, y)|12z2z2y3 f1122 -12.xx2e2满足条件y(1)x 2,0 y【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程.先求解对应的线性齐次方程xy0的通解:x2再用常数变易法求xyy(x)，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.e2 通解2 *；xx2Ce2，其中C为任意常数;x2设y C(x)e2为其解，代入方程，x2C (x)e2子亠(x)12 .x,C(x)x2.x C1，也就是通解为： y

9、(. x C1 )e2x2把初始条件y(1) “e 代入,(2)旋转体的体积为Vx得C121 y(x)2dx0 ,从而得到y(x)2 2ex dx118.(本题满分10分)求曲线y e x sinx (x【详解】先求曲线与x轴的交点：令e xsinxR.尹4 e).0)与x轴之间形成图形的面积.0得 x k , k 0,1,2, L当 2k x (2k 1)时，y e xsinx 0 ；当 2kx (2k 2)时，y e xsinx 0 .由不定积分 e x sin xdx(sinx cosx) C 可得2ke x sin xdx2k所求面积为12ke2(1 e2k 22ke xsin xdx

10、12ke2(1 e )sin xdx2k0 2k1e022k2k(119.(本题满分10分)ansin xdxk 01e022k2ke xsin xdx(1 e )2ke (1k 0)2 2(1)2 )1 e21 1 e21 e0xn Cdx (n0,1,2,L )n 1(1)证明：数列an单调减少，且an ann 2(n 2,3,L(2)求极限lim旦n an 11【详解】(1)证明：an o xn . 1 x2dx， an 11 x2dx (n 0,1,2,L)(0,1)时，显然有n 1 nx x，an1 an1(x0 xn)、彳dx 0，所以数列an单调减少;先设则当2 sinn xdx

11、 0n 2时，In02cosn dx,n0,1,2,LIn02si nnxdx2 sinn01 xd cosx (n1)02sinx cos2 xdx(n1)(In 2 In)也就是得到Insint,tan1nx0同理,an综合上述,(2)由( 1 x2dxIn2,n0,1,L02sin ntcostdt02sinndt02sin tdtIn1Inn 21Inn 1可知对任意的正整数 n，均有anan 2an1)的结论数列an单调减少，且an(n1n 2%2 (n2,3,L )2,3丄)；an2an1anan 1令n ，由夹逼准则，可知lim ann an 11 .20.(本题满分11分)11

12、1已知向量组I: 1 1 , 20 , 32 ;44a2 3101向量组n： 1 1 , 22 ,3 3 .若向量组i和向量组n等价，求常数 a的值，并将a 31 aa2 3r( 1, 2, 3) r( 1, 2, 3)3用1 , 2 , 3线性表示.【详解】向量组i和向量组n等价的充分必要条件是111101 (1, 2, 3； 1 , 2, 3)01102200a2 1a 11 aa2 1(k 2) 2 k 3，其中k为任意常数;(2)当a 1时，继续进行初等行变换如下:显然，当a1 且 a 1 时，r ( 1 , 2, 3)r ( 1, 2,3； 1,3 (2k 3) 12, 3)1011

13、01101同时1, 2, 3022022011 ， r( 1, 2, 3) 3，也就是11a 101a00a 1r( 1,2,3)（1,2,3） （1,2,3；;1,2,3）2，两个向量组等价.这时，3可由1 , 2, 3线性表示，表示法唯一：3 123-22121021 .（本题满分11分）已知矩阵A 2x2与B010相似00200y【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知:AB，即2( 2X 4) 2y，解得 X 3trAtrB4 x 1 y y 2（1）求x,y之值；（2）求可逆矩阵P，使得P 1AP B .2 1（2）解方程组 E A3 2 (2)( 2)( 1) 0得矩阵A的三个特征值

14、0 22, 2 1, 3 2 ；分别求解线性方程组(iEA)x0（i 1,2,3）得到分属三个特征值 1 2, 2 1, 3 2的线性无关111的特征向量为：12,21,3 2 .0041112令 R 1,2, 3212 ，则R可逆，且1AP 1 ;0042同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值1 2, 2 1, 3 2的线性无关的特征向量为1 101 0 , 2 3,30.0 0141102令 B 1,2,3030，则F2可逆，且F21BF 1 ;00121 1由前面R AR P2 BP2，可知令P RP21 1 12 1 2 ，就满足 P 1AP B 22 (本题满分 11分)设随机变量

15、 X,Y相互独立,X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为:PY 1 p , PY1 1 p, (0 p 1) 令 ZXY (1)求Z的概率密度;(2) p为何值时，X,Z不相关;(3)此时,X,Z是否相互独立.【详解】(1)显然X的概率密度函数为 fx(x)xe , x0, x先求ZXY的分布函数:Fz(z) PZ z PXY zPX(1(1乙丫P)PX)Fx(z)PX 乙丫 1pPX zz)1zP(1 Fx(再求ZXY的概率密度:fz(z) (Fz(z) pfx( z)(1P) fx(Z)zpe ,0,(1P)ezz,z(2)显然 E(X) 1,D(X) 1; E(Y) 1 2p ;由于随

16、机变量 X,Y相互独立，所以 E(Z) E(XY)E(X)E(Y)2p ;E(XZ) E(X2Y) E(X2)E(Y) 2 4p; COV(X,Z) E(XZ)E(X)E(Z) 1 2p ;要使X,Z不相关，必须COV(X,Z) E(XZ)E(X)E(Z) 1 2p0,也就是p0.5时X,Z不相关;(3) X,Z显然不相互独立，理由如下：设事件A X 1，事件 BZ 1，则P(A)PX 1dx eP(B)PZ 1 PX1,Y1,Y 1 1P(AB)PX 1,Z 1PX1,XY 1P(X 1,Y1 1e ;21 PX 1 PYx1 pe1，当p 0.5 时，显然 P(AB)P(A)P(B)，也就

17、是X , Z显然不相互独立.23(本题满分11分)设总体X的概率密度为f (x)A害,x ，其中是已知参数,是未知0, x参数，A是常数，Xi,X2丄,Xn是来自总体 X的简单随机样本.(1)求常数A的值；(2)求2的最大似然估计量.【详解】(1)由 f(x)dxA1可知 e(x )22dx2A02A 1所以A似然函数为L(X1,X2 ,L Xn；2)if (Xi，1Annen(Xii 12)2,x取对数，得In L(X1,X2,L ,Xn； 2)n In A2(2)解方程d InL(X1,X2,L ,Xn； 2)d(2)1222()0,其他(Xi1)2量为?2(Xi(Xii 1)2 0，得未知参数 2的最大似然估计