概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第三章.docx
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概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第三章
第三章多维随机变量及其分布
3.1二维随机变量及其分布
习题1设(X,Y)的分布律为
求a.解答:
由分布律性质
可知
解得a=
习题2
(1)2.
(1)P{a解答:
P{a(2)P{0(3)P{X>a,Y≤b}.解答:
P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).
习题3
(1)设二维离散型随机变量的联合分布如下表:
试求:
(1)P{1/2解答:
P{1/2(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};
解答:
P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
=0+1/16+0+1/4=5/16.
(3)F(2,3).
解答:
F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=1/4+0+0+1/16+1/4+0=9/16.
习题4设X,Y为随机变量,且P{X≥0,Y≥0}=3/7,P{X≥0}=P{Y≥0}=4/7,
求P{max{X,Y}≥0},P{min{X,Y}<0}
解答:
=4/7+4/7-3/7=5/7.
习题5(X,Y)只取下列数值中的值:
(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12,请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.
解答:
(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有1/6+1/3+1/12+5/12=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:
{X=-1,Y=0},{X=0,Y=1/3},{X=0,Y=1},{X=2,Y=1/3},{X=2,Y=1}
均为不可能事件,其概率必为零.因而得到下表:
(见课后答案)
(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}=0+1/6+5/12=7/12,
同样可求得P{Y=1/3}=1/12,P{Y=1}=1/3,
关于的Y边缘分布见下表:
(见课后答案)
习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布
其概率密度为
求P{X≤Y}.
解答:
由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知P{X≤Y}=P{X>Y},
故P{X≤Y}=1/2.
习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.
解答
(1)由
确定常数k.
所以k=1/8.
(2)
(3)
(4)
习题8已知X和Y的联合密度为
试求:
(1)常数c;
(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).
解答:
(1)由于
(2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1;
设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=
设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4
最后,设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4
函数F(x,y)在平面各区域的表达式(见课后答案)
习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求边缘概率密度
解答:
=
习题10
设(X,Y)在曲线
y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.
解答:
区域G的面积
由题设知(X,Y)的联合分布密度为
从而
即
即
3.2条件分布与随机变量的独立性
习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为
(1)求Y的边缘分布律;
(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};(3)判定X与Y是否独立?
解答:
(1)由(X,Y)的分布律知,Y只取0及1两个值
.P{Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=7/15+7/30=0.7
P{Y=1}=
(2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,P{y=1∣x=0}=13.
(3)已知P{x=0,y=0}=715, 由
(1)知P{y=0}=0.7, 类似可得P{x=0}=0.7.
因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以x与y不独立.
习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为
(1)求边缘分布律;
(2)求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.
解答:
(1)边缘分布律为
X
5152535455
pk
0.180.150.350.120.20
对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.
对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加,可得P{Y=j}.
Y
5152535455
pk
0.280.280.220.090.13
(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,k=51,52,53,54,55.
列表如下:
k
5152535455
P{X=k∣Y=51}
6/287/285/285/285/28
习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示,试求:
(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;
(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.
X\Y
012
012
1/41/8001/301/601/8
解答:
由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为
X
012
pk
3/81/37/24
Y
012
pk
5/1211/241/8
故
(1)在Y=1条件下,X的条件分布律为
X∣(Y=1)
012
pk
3/118/110
(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律为
Y∣(X=2)
012
pk
4/703/7
习题4已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={3x,0(1)边缘概率密度函数;
(2)条件概率密度函数.
解答:
(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0(2)对∀y∈(0,1),fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y对∀x∈(0,1),fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0习题5X与Y相互独立,其概率分布如表(a)及表(b)所示,求(X,Y)的联合概率分布,P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.
X
-2-101/2
pi
1/41/31/121/3
表(a)
Y
-1/213
pi
1/21/41/4
表(b)
解答:
由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),
从而(X,Y)的联合概率分布为
X\Y
-1/2
1
3
-2-101/2
P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}
P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}
P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}
亦即表
X\Y
-1/213
-2-101/2
1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12
P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,
P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.
习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:
55∼8:
00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.
解答:
由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它,
因为X与Y相互独立,所以X与Y的联合密度为:
fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,
故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.
习题7
设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布,且X与Y相互独立,求(X,Y)的联合概率密度函数.
解答:
由题意知,随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22, fY(y)=12πe-y22
因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.
习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞X与∣X∣是否相互独立?
解答:
若X与∣X∣相互独立,则∀a>0,各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},
而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},
⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)
但当a>0时,两者均不成立,出现矛盾,故X与∣X∣不独立.
习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,
(1)求X与Y的联合概率密度;
(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.
解答:
(1)由题设易知fX(x)={1,0又X,Y相互独立,故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,000,其它;
(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},
故如图所示得到:
P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy
=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]
=1-2π[Φ
(1)-Φ(0),
又Φ
(1)=0.8413, Φ(0)=0.5, 于是Φ
(1)-Φ(0)=0.3413, 所以
P{a有实根}=1-2π[Φ
(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.
3.3二维随机变量函数的分布
习题1设随机变量X和Y相互独立,且都等可能地取1,2,3为值,求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.
解答:
由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0(iP{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),
于是,随机变量U和V的联合概率分布为
V\概率\U
1
2
3
1
1/9
2/9
2/9
2
0
1/9
2/9
3
0
0
1/9
习题2设(X,Y)的分布律为
X\Y
-112
-12
1/101/53/101/51/101/10
试求:
(1)Z=X+Y;
(2)Z=XY;(3)Z=X/Y;(4)Z=max{X,Y}的分布律.
解答:
与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型,本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意,Z的相同值的概率要合并.
概率
1/101/53/101/51/101/10
(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}
(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222
于是
(1)
X+Y
-20134
pi
1/101/51/21/101/10
(2)
XY
-20134
pi
1/21/51/101/101/10
(3)
X/Y
-2-1-1/212
pi
1/51/53/101/51/10
(4)
max{X,Y}
-112
pi
1/101/57/10
习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布,且
U={0,X≤Y1,X>Y, V={0,X≤2Y1,X>2Y,求U与V的联合概率分布.
解答:
依题(U,V)的概率分布为P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=∫01dx∫x112dy=14,
P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,
P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y P{U=1,V=1}
=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,
即
U\V
01
01
1/401/41/2
习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.
解答:
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.
当z<0时,FZ(z)=P(∅)=0;
当z≥0时,FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ
=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.
故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.
Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.
习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,
(1)问X和Y是否相互独立?
(2)求Z=X+Y的概率密度.
解答:
(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0
\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,
由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,
所以X与Y不独立.
(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.
当{x>0z-x>0 即 {x>0x当z≤0时,fZ(z)=0;当z>0时,fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.
于是,Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.
习题6设随机变量X,Y相互独立,若X服从(0,1)上的均匀分布,Y服从参数1的指数分布,求随机变量Z=X+Y的概率密度.
解答:
据题意,X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.
由0当z≤0时,有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;
当z>0时,fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,
即fZ(z)={0,z≤01-e-z,01.
习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0(1)试确定常数b;
(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y);(3)求函数U=max{X,Y}的分布函数.
解答:
(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1,
所以b=11-e-1,从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0(2)由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0(3)因为f(x,y)=fX(x)fY(y),所以X与Y独立,故
FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u),
其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成,L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0, ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,
其中α>0,β>0,α≠β, 试求系统L的寿命Z的概率密度.
解答:
设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}
=1-[1P{X由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,
故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,
从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.
习题9设随机变量X,Y相互独立,且服从同一分布,试证明:
P{aa}]2-[P{X>b}]2.
解答:
设min{X,Y}=Z,则P{aFZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}
=1-[P{X>z}]2,
代入得P{ab}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.
复习总结与总习题解答
习题1在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种试验:
(1)放回抽样;
(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下:
X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就
(1),
(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.
解答:
(1)有放回抽样,(X,Y)分布律如下:
P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536;P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,
P{X=0,Y=1}=10×212×12=536,P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,
(2)不放回抽样,(X,Y)的分布律如下:
P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566,P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,
P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,
Y\ X
01
01
45/6610/6610/661/66
习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布,随机变量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),
求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.
解答:
因为Y服从参数为1的指数分布,X1={0,若Y≤11,若Y>1,所以有
P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,P{X1=0}=1-e-1,
同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,
因为P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2,
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,
P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,
故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示:
X1\slashX2
0
1
P{X1=i}
0
1-e-1
0
1-e-1
1
e-1-e-2
e-2
e-1
P{X2=j}
1-e-2
e-2
习题3在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装3只橘子,2只苹果,3只香蕉.今从袋中随机抽出4只,以X记橘子数,Y记苹果数,求(X,Y)的联合分布.
解答:
X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.
P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,
P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,
P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,
P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,
P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,
P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以,(X,Y)的联合分布如下:
X\Y
0123
012
03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700
习题4设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处:
X\Y
y1
y2
y3
pi⋅
x1
1/8
x2
1/8
p⋅j
1/6
1
解答:
由题设X与Y相互独立,即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3),p⋅1-p21=p11=16-18=124,
又由独立性,有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16
故p1⋅=1