最新高考数学专题训练试题及答案优秀名师资料.docx

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最新高考数学专题训练试题及答案优秀名师资料

2014年高考数学专题训练试题及答案

一、填空题

1（在梯形ABCD中，AD?

BC，AD,2，BC,5，点E、F分别在AB、CD上，且EF

AE3若,，则EF的长为________（?

AD，EB4

PAAD2解析:

如图所示～延长BA、CD交于点P～?

AD?

BC～?

,～PBBC5PA2AE3AE3PA14PA14ADPA14?

.又?

～?

AD?

EF～?

,.又AB3EB4AB7AE9PE23EFPE23

23AD,2～?

EF,.7

23答案:

2（一直角三角形的两条直角边之比是1?

3，则它们在斜边上的射影的比是________（

解析:

如图～在直角三角形ABC中～

BC?

AC,1?

3～

作CD?

AB于D.2由射影定理得BC,BD?

AB～2AC,AD?

AB～2BCBD1则,,.2ACAD9

故它们在斜边上的射影的比是1?

答案:

3（如图，在直角三角形ABC中，?

BAC,90?

，AB,4，AC,3，过点A作AD?

BC，

垂足为D，过点D作DE?

AC，垂足为E，则DE,________.

22解析:

由勾股定理得:

BC,AB，AC,5.2AC9由射影定理得:

CD,,.BC5

由三角形面积相等得:

AB?

AC12AD,,.BC5

AD?

DC36又由三角形面积相等得:

DE,,.AC25

36答案:

（2011?

高考陕西卷）如图，?

B,?

D，AE?

BC，?

ACD,90?

，且AB,6，AC,4，AD

12，则BE,________.

解析:

AC,4～AD,12～?

ACD,90?

～222?

CD,AD,AC,128～

CD,82.

又?

AE?

BC～?

B,?

D～

ABE?

ADC～

ABBE?

～ADCD

6×82AB?

CDBE,,,42.?

AD12

答案:

如图，在直角梯形ABCD中，上底AD,3，下底BC,33，与两底垂直的腰AB,6，

在AB上选取一点P，使?

PAD和?

PBC相似，这样的点P有________个（解析:

设AP,x.

ADAP

（1）若?

ADP?

BPC～则,～BPBC

3x2即,～所以x,6x，9,0～解得x,3.6,x33

ADAP

（2）若?

ADP?

BCP～则,～BCBP

3x3即,～解得x,～26,x33

所以符合条件的点P有两个（

答案:

两

6（如图，四边形ABCD中，DF?

AB，垂足为F，DF,3，AF,2FB,2，延长FB到E，

使BE,FB，连接BD，EC.若BD?

EC，则四边形ABCD的面积为________（解析:

过点E作EN?

DB交DB的延长线于点N～

在Rt?

DFB中～DF,3～FB,1～则BD,10.

由Rt?

DFB?

Rt?

ENB～

ENBE知,～DFBD

310所以EN,.又BD?

EC～所以EN为?

BCD底边BD上的高～故S,S四边形?

ABCDABD10

1111310，S,AB?

DF，BD?

EN,×3×3，×10×,6.?

BCD222210答案:

二、解答题

7（（2013?

南通调研）如图，在直角梯形ABCD中，DC?

AB，CB?

AB，AB,AD,a，CD

a,，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长（2

解:

连结DE～由于E是AB的中点～

a故BE,.2

a又CD,～AB?

DC～CB?

AB～2

四边形EBCD是矩形（

a在Rt?

ADE中～AD,a～F是AD的中点～故EF,.28.

AD1如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且,，AE,BE，求证:

AC3

AED?

CBD.

证明:

三角形ABC是正三角形～

AB,BC,AC～

AEAE1?

,～ABBC2

AD1AD1?

～?

.AC3CD2

ADAE?

.CDBC

又?

A,?

C,60?

～

AED?

CBD.

9（如图，在梯形ABCD中，AB?

CD，且AB,2CD，E、F分别是AB、BC的中点，

EF与BD相交于点M.若DB,9，求BM的长（解:

E是AB的中点～?

AB,2EB.

AB,2CD～?

CD,EB.

又AB?

CD～?

四边形CBED是平行四边形（

DEM,?

BFM～,,?

CB?

DE～?

EDM,?

FBM～,,

DMDE?

EDM?

FBM～?

.BMBF?

F是BC的中点～?

DE,2BF.

DM,2BM～?

BM,DB,3.3

10.

如图，?

ABC中，AB,AC，AD是中线，P为AD上一点，CF?

AB，BP的延长线交2AC、CF于E、F两点，求证:

PB,PE?

PF.证明:

如图～连接PC.

易证PC,PB～?

ABP,?

ACP.?

CF?

AB～

F,?

ABP.

从而?

F,?

ACP.

又?

EPC为?

CPE与?

FPC的公共角～

CPPE从而?

CPE?

FPC～?

.FPPC2?

PC,PE?

PF.又PC,PB～2?

PB,PE?

PF～命题得证（

11（如图，AB?

CD，AB,AC,AD,5，BC,6.

（1）求证:

CAB,2?

DBA;

（2）求BD的长（

解:

（1）证明:

AB,AC,AD～

点B～C～D在以点A为圆心～AB为半径的圆上～

CAB,2?

BDC.

AB?

CD～?

DBA,?

BDC～?

CAB,2?

DBA.

（2）延长BA交?

A于点E～连结ED～?

AB,AC,AD,5～BC,6～

易知ED,6～

EB,10是?

A的直径～?

ED?

DB～222222?

BD,EB,ED,10,6,8～

BD,8.

12.

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE?

CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一

点，且?

BFE,?

（1）求证:

ABF?

EAD;

（2）若AB,4，?

1,30?

，AD,3，求BF的长（

（1）证明:

AB?

CD～?

1,?

2.解:

又?

BFE,?

C～?

BFE，?

BFA,?

C，?

D～?

BFA,?

D～

ABF?

EAD.

843

（2）?

AE,,.sin60?

BFABAB33又,～?

BF,?

AD,.ADAEAE2

113（如图，?

ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE,CD.2

（1）求证:

ABF?

CEB;

（2）若?

DEF的面积为2，求?

ABCD的面积（解:

（1）证明:

四边形ABCD是平行四边形～?

A,?

C～AB?

CD～?

ABF,?

CEB～?

ABF?

CEB.

（2）?

四边形ABCD是平行四边形～

AD?

BC～AB?

CD～

DEF?

CEB～?

DEF?

ABF.

DEDESS?

DEFDEF22,,,,?

～,.,CE,,AB,SS?

CEBABF

11又?

DE,CD,AB～22

CE,DE，CD,DE，2DE,3DE.

SDEDES?

11DEFDEF22,,,,?

,～,,.,3DE,,2DE,94SS?

CEBABF

S,2～?

S,18～S,8.?

DEFCEBABF

S,S，S,S,8，18,2,24.?

ABCDABFCEBDEF?

14.

如图，在等腰三角形ABC中，AB,AC，底边BC上的高AD,10cm，腰AC上的高BE

12cm.

AB5

（1）求证:

;BD3

（2）求?

ABC的周长（

解:

（1）证明:

在?

ADC和?

BEC中～?

ADC,?

BEC,90?

～?

C,?

C～?

ADC?

BEC～

ACAD105?

,,.BCBE126

AD是等腰三角形ABC底边BC的高线～?

BC,2BD.又AB,AC～

ACAB5AB5?

,～?

.BC2BD6BD3

（2）设BD,x～则AB,x.3

在Rt?

ABD中～?

ADB,90?

～222根据勾股定理～得AB,BD，AD～

5222?

（x）,x，10～解得x,7.5.3

BC,2x,15～AB,AC,x,12.5～3

ABC的周长为40cm.

一、选择题

1（（2012?

高考北京卷）如图，?

ACB,90?

，CD?

AB于点D，以BD为直径的圆与BC

交于点E，则（）

A（CE?

CB,AD?

B（CE?

CB,AD?

AB2C（AD?

AB,CD2D（CE?

EB,CD2解析:

选A.在直角三角形ABC中～根据直角三角形射影定理可得CD,AD?

DB～再根2据切割线定理可得CD,CE?

CB～所以CE?

CB,AD?

DB.二、填空题

2（如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD?

AB，垂足为D，

已知AD,2，CB,43，则CD,________.222解析:

根据射影定理得CB,BD×BA～即（43）,BD（BD，2）～得BD,6.又CD,

AD×BD,12～所以CD,12,23.

答案:

3（（2012?

高考天津卷）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF,3，FB

3,1，EF,，则线段CD的长为________（2

CFAF解析:

由相交弦定理可得CF?

FE,AF?

FB～得CF,2.又因为CF?

DB～所以,～DBAB

8422得DB,～且AD,4CD～由切割线定理得DB,DC?

DA,4CD～得CD,.33

4答案:

如图，四边形ABCD内接于?

O，BC是直径，MN与?

O相切，切点为A，?

MAB,35?

，则?

D,________.

解析:

连接BD（图略）～由题意知～?

ADB,?

MAB,35?

～?

BDC,90?

～故?

D,?

ADB，?

BDC,125?

答案:

125?

（2012?

高考广东卷）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足?

ABC,30?

，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA,________.

解析:

如图～连接OA.由?

ABC,30?

～得?

AOC,60?

～在直角三角形AOP中～OA,1～于是PA,OAtan60?

答案:

（2012?

高考陕西卷）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF?

DB，垂足为F，若AB,6，AE,1，则DF?

DB,________.2,AE?

EB,1×5,5.又易知?

EBD与?

FED相似～得DF?

DB解析:

由相交弦定理可知ED2,ED,5.

答案:

三、解答题

如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD,2，DE?

AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长（

解:

连接OD～DB～则OD?

DC.

11在Rt?

OED中～OE,OB,OD～所以?

ODE,30?

.22

在Rt?

ODC中～?

DCO,30?

由DC,2～

23则OD,DCtan30?

123又?

CDB,?

COD,30?

～所以?

CDB,?

DCO～所以BC,BD,OD～所以BC,.238.

（2013?

泉州调研）如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD?

CE于点D，若AD,1，?

ABC,30?

，求圆O的面积（

解:

CE是?

O的切线～则?

ACD,?

ABC,30?

AD在Rt?

ACD中～,sin30?

～则AC,2.AC

又在Rt?

ABC中～?

ABC,30?

～则AB,2AC,4.

42,,?

圆O的面积S,π,4π.,2,

（2012?

高考江苏卷）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD,DC，连接AC，AE，DE.

求证:

E,?

证明:

连接OD～

因为BD,DC～O为AB的中点～

所以OD?

AC～于是?

ODB,?

B.因为OB,OD～所以?

ODB,

B,?

C.于是

因为点A～E～B～D都在圆O上～且D～E为圆O上位于AB异侧的两点～所以?

E和

B为同弧所对的圆周角～故?

E,?

C.所以

10.

如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作?

O，交斜边AB于点D，E为BC

边的中点，连接DE.请判断DE是否为?

O的切线，并证明你的结论（解:

DE是?

O的切线（证明如下:

如图～连接OD、CD～则OD,OC～

OCD,?

ODC.又AC为?

O的直径～?

ADC,90?

三角形CDB为直角三角形（

1又E为BC的中点～?

DE,BC,CE～2

ECD,?

EDC.

又?

OCD，?

ECD,90?

～?

ODC，?

EDC,90?

～即?

ODE,90?

～?

DE为?

O的切线（

11.

在?

ABC中，AB,AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D，

连结CP.

PCPD

（1）求证:

;ACBD

（2）若AC,3，求AP?

AD的值（

解:

（1）证明:

A、B、C、P四点共圆～

CPD,?

ABC.

又?

D,?

D～

PCPD?

DPC?

DBA～?

～BABD

PCPD又?

AB,AC～?

.ACBD

（2）?

AB,AC～

ABC,?

ACB,?

CPD.

APC，?

CPD,180?

～

ACB，?

ACD,180?

APC,?

ACD.

APACAPC?

ACD～?

ACAD2?

AP?

AD,AC,9.

12.

如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，?

ACB的平分线分

D.别交AE、AB于点F、

（1）求?

ADF的度数;

（2）若AB,AC，求的值（BC

解:

（1）?

AC为圆O的切线～

B,?

EAC.

又CD是?

ACB的平分线～?

ACD,?

DCB～?

B，?

DCB,?

EAC，?

ACD～

即?

ADF,?

AFD.

又?

BE为圆O的直径～?

BAE,90?

～

ADF,（180?

BAE）,45?

（2）?

B,?

EAC～?

ACE,?

BCA～

ACAE?

ACE?

BCA～?

.BCBA

又?

AB,AC～?

B,?

ACB～

B,?

ACB,?

EAC～

由?

BAE,90?

及三角形内角和定理知～?

B,30?

在Rt?

ABE中～

ACAE3,,tanB,tan30?

.BCBA3

13.

如图，?

O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为?

O上一点，AE,

AC，DE交AB于点F，且AB,2BP,4.

（1）求PF的长度;

（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度（

解:

（1）连接OC～OD～OE～由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系～结合题中条

件弧长AE等于弧长AC可得?

CDE,?

AOC.

又?

CDE,?

P，?

PFD～?

AOC,?

P，?

OCP～

从而?

PFD,?

OCP～故?

PFD?

PCO～

PFPD?

.由割线定理知～PC?

PD,PA?

PB,12～PCPO

PC?

PD12故PF,,,3.PO4

（2）若圆F与圆O内切～设圆F的半径为r～

因为OF,2,r,1～即r,1.2所以OB是圆F的直径～且过P点圆F的切线为PT～则PT,PB?

PO,2×4,8～即PT,22.

14.

（2012?

高考课标全国卷）如图，D，E分别为?

ABC边AB，AC的中点，直线DE交?

ABC的外接圆于F，G两点（若CF?

AB，证明:

（1）CD,BC;

（2）?

BCD?

GBD.

证明:

（1）因为D～E分别为AB～AC的中点～

所以DE?

BC.又已知CF?

AB～故四边形BCFD是平行四边形～所以CF,BD,AD.而CF?

AD～连接AF～所以四边形ADCF是平行四边形～故CD,AF.因为CF?

AB～所以BC,AF～故CD,BC.

（2）因为FG?

BC～故GB,CF.

由

（1）可知BD,CF～所以GB,BD～所以?

BGD,?

BDG.由BC,CD知～?

CBD,?

CDB.

而?

DGB,?

EFC,?

DBC～故?

BCD?

GBD.

一、选择题

1（圆ρ,5cosθ,53sinθ的圆心坐标是（）

4ππ,,,,,5，,,5，A.B.,3,,3,

π5π,,,,5，,5，C.D.33,,,,

553,,222222,,x,解析:

选A.ρ,5ρcosθ,53ρsinθ～x，y,5x，53y,0～，,5～y，,2,2,,

555π,,,,～,35～?

圆心的直角坐标为～注意圆心在第四象限～化为极坐标为～注意ρ<0,22,,3,

4π,,,5～,时点在极角终边的反向延长线上～?

与表示同一个点（,3,

x,t,,2（（2013?

湖南六校联考）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程y,t,,

为ρ,2cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为（）

12A.B.22

12C.D.44

解析:

选B.将直线l的参数方程化为普通方程得:

x,y,0～将ρ,2cosθ的两边同乘以22222ρ得ρ,2ρcosθ～即x，y,2x～即（x,1），y,1～即圆心的坐标为（1,0）～故圆心到直线x

12,y,0的距离d,,.2221，，,1，

二、填空题

3（（2012?

高考陕西卷）直线2ρcosθ,1与圆ρ,2cosθ相交的弦长为________（22解析:

直线的方程为2x,1～圆的方程为x，y,2x,0～圆心为（1,0）～半径r,1～圆心

|2,1|1l1222,,,,到直线的距离为d,,，～解得l,3.,～设所求的弦长为l～则12,2,,2,22，0

答案:

4（在极坐标系中，P，Q是曲线C:

ρ,4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________（22222解析:

由曲线C:

ρ,4sinθ得ρ,4ρsinθ～x，y,4y,0～x，（y,2）,4～即曲线C:

ρ,4sinθ在直角坐标系下表示的是以点（0,2）为圆心、以2为半径的圆～易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长～因此线段PQ长度的最大值是4.

答案:

5（（2012?

高考湖南卷）在极坐标系中，曲线C:

ρ（2cosθ，sinθ）,1与曲线C:

ρ,a（a>0）12的一个交点在极轴上，则a,________.222解析:

曲线C的直角坐标方程为2x，y,1～曲线C的直角坐标方程为x，y,a～12

22,,C与x轴的交点坐标为～此点也在曲线C上～代入解得a,.～01222,,

2答案:

π7π2,,,,θ，2，6（（2013?

贵阳调研）已知直线的极坐标方程为ρsin,，则点A到这条直,4,,4,2

线的距离为________（

解析:

转化为直角坐标来解～直线方程化为x，y,1,0～点A化为（2～,2）～再用

2公式可求得点到直线的距离为.2

2答案:

π7（（2013?

江西九校联考）在极坐标系中，曲线C:

ρ,2cosθ，曲线C:

θ,，若曲线124C与C交于A、B两点，则线段AB,________.12

ρ,2cosθ～,,解析:

曲线C与C均经过极点～因此极点是它们的一个公共点（由得,π12θ,～,,4

ρ,2～,,即曲线C与C的另一个交点与极点的距离为2～因此AB,2.,12πθ,～,,4

答案:

8（（2012?

高考湖北卷）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建

x,t，1,π,已知射线θ,与曲线立极坐标系（（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的24y,，t,1，,,

中点的直角坐标为________（

π解析:

记A（x～y）～B（x～y）～将θ,转化为直角坐标方程为y,x（x?

0）～曲线的直角1122422坐标方程为y,（x,2）～联立上述两个方程得x,5x，4,0～?

x，x,5～故线段AB的中12

55,,～点坐标为.,22,

55,,，答案:

22,

三、解答题229（设过原点O的直线与圆（x,1），y,1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线（

ππ22,,,?

θ?

解:

圆（x,1），y,1的极坐标方程为ρ,2cosθ～设点P的极坐标为（ρ～θ）～11,22,

点M的极坐标为（ρ～θ）～?

点M为线段OP的中点～?

ρ,2ρ～θ,θ～将ρ,2ρ～θ,θ代1111入圆的极坐标方程～得ρ,cosθ.

1ππ1,,,,,?

θ?

～0?

点M轨迹的极坐标方程为ρ,cosθ～它表示原心在点～半径为的,22,,2,2圆（

π210（在极坐标系下，已知圆O:

ρ,cosθ，sinθ和直线l:

ρsin（θ,）,.42

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程;

（2）当θ?

（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标（222解:

（1）圆O:

ρ,cosθ，sinθ～即ρ,ρcosθ，ρsinθ～圆O的直角坐标方程为:

x，y22,x，y～即x，y,x,y,0～

π2,,θ,直线l:

ρsin,～即ρsinθ,ρcosθ,1～,4,2

则直线l的直角坐标方程为y,x,1～

即x,y，1,0.22,,x，y,x,y,0x,0,,,,

（2）由～得～x,y，1,0y,1,,,,

π,,1～.故直线l与圆O公共点的极坐标为,2,

π2,,θ,11（（2013?

泉州质检）已知圆O和圆O的极坐标方程分别为ρ,2，ρ,22ρcos,12,4,2.

（1）把圆O和圆O的极坐标方程化为直角坐标方程;12

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程（222解:

（1）由ρ,2知ρ,4～所以x，y,4,

π2,,θ,因为ρ,22ρcos,2～,4,

ππ2,,cosθcos，sinθsin所以ρ,22ρ,2～,44,22所以x，y,2x,2y,2,0.

（2）将两圆的直角坐标方程相减～

得经过两圆交点的直线方程为x，y,1.化为极坐标方程为ρcosθ，ρsinθ,1～

π2,,θ，即ρsin,.,4,2

π5π12（在极坐标系中，如果A（2，），B（2，）为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C44

的极坐标（ρ?

0,0?

θ,2π）（

ππ解:

A（2～）～?

ρ,2～θ,～44

π?

x,ρcosθ,2cos,2～4

πy,ρsinθ,2sin,2～4

即A点的直角坐标为（2～2）（

5同理可求B点的直角坐标～x,2cosπ,,2～4

5y,2sinπ,,2～即B（,2～,2）（4

设C点的直角坐标为（x～y）～

y,x,6x,,6～,,1～,,,x则或,解之得,,yy,,6,6～22,,,,x，y,12～

即C点的直角坐标为（6～,6）或（,6～6）（当x,6～y,,6～即C在第四象限时～222,ρ,x，y,12～,,tanθ,,1～,,

ρ,23～,,?

7θ,π.,,4

当x,,6～y,6～即C在第二象限时～

ρ,23～222,,ρ,x，y,12～,,,?

3tanθ,,1～,,θ,π～,,4

73,,,,23～π23～π即点C的极坐标是或.,4,,4,

x,2cosφ,,13（（

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