条件概率与独立事件高中数学北师大版选修23教学案.docx
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条件概率与独立事件高中数学北师大版选修23教学案
§3
条件概率与独立事件
条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：
试求P（A），P（B），P（A∩B）．
提示：
P（A）＝，P（B）＝，P（A∩B）＝.
问题2：
任取一件产品，已知其质量合格（即B发生），求它的长度（即A发生）也合格概率．
提示：
若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P（A|B）＝.
问题3：
如何理解问题2?
提示：
在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生．
问题4：
试探求P（B），P（A∩B），P（A|B）间的关系．
提示：
P（A|B）＝.
条件概率
（1）概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P（A|B）．
（2）公式
P（A|B）＝（其中，A∩B也可记成AB）．
（3）当P（A）>0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A）＝.
独立事件
有这样一项活动：
甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱里摸出白球}．
问题1：
事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：
不影响．
问题2：
试求P（A），P（B），P（AB）．
提示：
P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝＝.
问题3：
P（AB）与P（A），P（B）有什么关系？
提示：
P（AB）＝P（A）·P（B）＝×＝.
问题4：
P（B|A）与P（B）相等吗？
提示：
相等，由P（B|A）＝＝，可得P（B|A）＝P（B）．
独立事件
（1）概念：
对两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称A，B相互独立．
（2）推广：
若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
（3）拓展：
若A1，A2，…，An相互独立，则有
P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．
1．由条件概率的定义知，P（B|A）与P（A|B）是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P（B|A），其值不一定等于P（B）．
2．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
条件概率
[例1] 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．
求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率，
（2）取两次，第二次取得一等品的概率；
（3）取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
[思路点拨] 由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．
[精解详析] 记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.
（1）取两次，两次都取得一等品的概率，
P（A1A2）＝P（A1）·P（A2|A1）＝×＝.
（2）取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，
则P（A2）＝P（A2）＋P（A1A2）＝×＋×＝.
（3）取两次，已知第二次取得一等品，
则第一次取得二等品的概率为P（|A2）＝＝＝.
[一点通] 求条件概率一般有两种方法：
一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P（B|A）＝，其中n（AB）表示事件AB包含的基本事件个数，n（A）表示事件A包含的基本事件个数．
二是直接根据定义计算，P（B|A）＝，特别要注意P（AB）的求法．
1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P（A|B）＝（ ）
A. B.
C.D.
解析：
P（B）＝，P（A∩B）＝，P（A|B）＝＝＝.
答案：
C
2．已知P（A|B）＝，P（B）＝，则P（AB）＝________.
解析：
∵P（A|B）＝，
∴P（AB）＝P（A|B）P（B）＝×＝.
答案：
3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解：
设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P（A）＝0.20，P（B）＝0.18，P（AB）＝0.12.
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P（A|B）＝＝≈0.67.
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P（B|A）＝＝＝0.60.
独立事件的判断
[例2] 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩．
[思路点拨] 先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件（男，女），（女，男）是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P（A），P（B）及P（AB）的概率，最后分析P（AB）是否等于P（A）P（B）．
[精解详析]
（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，
它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为.
∵A＝{（男，女），（女，男）}，
B＝{（男，男），（男，女），（女，男）}，
AB＝{（男，女），（女，男）}，
∴P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝.
∴P（A）P（B）＝≠P（AB）．
∴事件A，B不相互独立．
（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，
显然有P（AB）＝＝P（A）P（B）成立，
从而事件A与B是相互独立的．
[一点通]
（1）利用相互独立事件的定义（即P（AB）＝P（A）·P（B））可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．
（2）判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
4．若A与B相互独立，则下面不是相互独立事件的是（ ）
A．A与B．A与
C.与BD.与
解析：
当A，B相互独立时，A与，与B以及与都是相互独立的，而A与是对立事件，不相互独立．
答案：
A
5．从一副扑克牌（52张）中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立．
解：
抽到老K的概率为P（A）＝＝，抽到红牌的概率P（B）＝＝，故P（A）P（B）＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P（AB）＝＝，从而有P（A）P（B）＝P（AB），因此A与B互为独立事件.
独立事件的概率
[例3] （10分）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则
（1）三人都合格的概率；
（2）三人都不合格的概率；
（3）出现几人合格的概率最大？
[思路点拨] 若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．
[精解详析] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.（3分）
设恰有k人合格的概率为Pk（k＝0,1,2,3）．
（1）三人都合格的概率：
P3＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝××＝.（5分）
（2）三人都不合格的概率：
P0＝P（）＝P（）P（）P（）＝××＝.（7分）
（3）恰有两人合格的概率：
P2＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）
＝××＋××＋××
＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
结合
（1）
（2）可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大．（10分）
[一点通]
（1）公式P（AB）＝P（A）P（B）可以推广到一般情形：
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．
（2）求相互独立事件同时发生的概率的程序：
①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．
6．先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为________．
答案：
7．（北京高考改编）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
解：
（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
（2）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．
则C＝A∪B，A，B独立．
根据投篮统计数据，P（A）＝，P（B）＝.
P（C）＝（A）＋P（B）
＝×＋×
＝.
所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
8．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
（1）第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；
（2）第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率．
解：
记“第一次取出的2个球都是白球”事件为A，“第二次取出的2个球都是红球”为事件B，“第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球”为事件C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
（1）P（AB）＝P（A）P（B）＝·＝·＝.
故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率是.
（2）P（CA）＝P（C）P（A）＝·＝·＝.
故第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是.
1．计算条件概率要明确：
（1）准确理解条件概率的概念：
条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；
（2）要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；
②两事件独立，则不一定互斥（或对立）；
③两事件互斥（或对立），则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
独立事件
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个或两个以上
1．抛掷一颗骰子一次，A表示事件：
“出现偶数点”，B表示事件：
“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是（ ）
A．相互互斥事件
B．相互独立事件
C．既相互互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不独立事件
解析：
A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝＝×，所以A与B是相互独立事件．
答案：
B
2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
由题意知：
P（AB）＝，P（B|A）＝，
∴P（A）＝＝＝.
答案：
B
3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为（ ）
A．0.02B．0.08
C．0.18D．0.72
解析：
设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P（A）＝0.8，P（B|A）＝0.9，由条件概率公式，得
P（AB）＝P（B|A）·P（A）＝0.9×0.8＝0.72.
答案：
D
4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ）
A.B.
C.D.
解析：
设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P（）＝P（）P（）＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P（）＝.
答案：
D
5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：
甲、乙两人都未能解决为
＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题．
∴P＝1－＝.
答案：
6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
解析：
令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，
B＝{选出的4个球中最大号码为6}，依题意可知
n（A）＝C＝84，n（AB）＝C＝6，
∴P（B|A）＝＝＝.
答案：
7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：
（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
（2）从2号箱取出红球的概率是多少？
解：
“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B.
P（B）＝＝，
P（）＝1－P（B）＝，
（1）P（A|B）＝＝，
（2）∵P（A|）＝＝，
∴P（A）＝P（A∩B）＋P（A∩）＝P（A|B）P（B）＋P（A|）P（）＝×＋×＝.
8．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率．
解：
（1）设“第i次按对密码”为事件Ai（i＝1,2），则事件A＝A1＋（1A2）表示不超过2次就按对密码．
因为事件A1与1A2互斥，由概率加法公式，得
P（A）＝P（A1）＋P（1A2）＝＋＝.
（2）用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，
则A|B＝A1|B＋（1A2）|B.
∴P（A|B）＝P（A1|B）＋P（（1A2）|B）
＝＋＝.
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