原子物理学习题标准答案褚圣麟很详细.docx
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原子物理学习题标准答案褚圣麟很详细
1．原子的基本状况
1.1解：
根据卢瑟福散射公式：
ctg240
Mv
2
K
2b
4
0
b
2
2Ze
Ze
得到：
2
ctg
2
79
（1.60
10
19
2
ctg
150
15
Ze
）
2
3.97
米
b
0K
（4
8.85
1012）
（7.68
106
10
4
1019）
式中K
21Mv2是
粒子的功能。
1.2已知散射角为的粒子与散射核的最短距离为
12Ze
rm（）
40Mv
2
1
2（1
）
，
sin
2
试问上题
粒子与散射的金原子核之间的最短距离
rm多大？
1
）2Ze
2
1
解：
将1.1题中各量代入rm
的表达式，得：
rmin
（
2（1
）
4
0Mv
sin
2
910
9
479
（1.6010
19
）2
（1
1
）
3.02
10
14
米
7.68
106
1.60
10
19
sin75
1.3若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核
可能达到的最
解：
当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。
当入射粒子的动能全部转化为两
粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：
1
Mv
2
Kp
Ze2
，故有：
rmin
4
Ze
2
2
4
0rmin
0
Kp
9109
79
（1.60
10
19）2
1.141013
米
106
1.60
10
19
由上式看出：
rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核
代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为
1.141013米。
1/14
1.7能量为3.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为1.05102公斤/米2的银
箔上，粒
解：
设靶厚度为t'。
非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的
厚度t'，而是t
t'
/sin60，如图1-1
所示。
因为散射到
与
d
之间d
立体
角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：
dn
Ntd
（1）
20o
n
2
而d为：
d
（
1
）2（ze
2）2d
（2）
60°
4
0
Mv
sin
4
2
t,
把
（2）式代入
（1）式，得：
t
2
60o
dn
Nt（
1
）2（ze
2）2d
⋯⋯（3）
图1.1
n
4
0
Mv
sin
4
2
式中立体角元d
ds/L2,t
t'/sin600
2t'/3,
200
N为原子密度。
Nt'为单位面上的原子数，Nt'
/mAg（AAg/N0）1，其中
是单位面积式
上的质量；mAg是银原子的质量；AAg是银原子的原子量；N0是阿佛加德罗常数。
将各量代入（3）式，得：
dn
2
N0（
1
）2（ze2
2
）2
d
n
3
AAg
40
Mv
sin
4
2
由此，得：
Z=47
第二章原子的能级和辐射
2.1试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。
解：
电子在第一玻尔轨道上即年n=1。
根据量子化条件，
pmvrn
h
2
2/14
v
nh
h
15
赫兹
2a12ma12
2ma12
可得：
频率
6.5810
速度：
v
2a1
h/ma1
2.188
106米/秒
加速度：
wv2/r
v2/a1
9.046
1022米/秒2
2.3用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基
跃迁时，会出现那些波长的光谱线？
解：
把氢原子有基态激发到你n=2,3,4⋯⋯等能级上去所需要的能量是：
E
hcRH（12
12）
其中hcRH13.6电子伏特
1
n
E1
13.6
（1
1）10.2
电子伏特
22
E2
13.6
（1
12）12.1
电子伏特
3
E3
13.6
（1
12）
12.8
电子伏特
4
其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。
可见，具有
12.5电子伏特能量的
电子不足以把基态氢原子激发到n4的能级上去，所以只能出现n3的能级间的跃迁。
跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
1
RH（12
12）5RH/36
1
2
3
16565A
1
RH（12
12）
3RH
2
1
2
4
21215A
1
RH（12
12）
8RH
3
1
3
9
31025A
He
1
H1
1
Li
1
H
4
1
1
9
2.5试问二次电离的锂离子Li从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可
能使处于基态的一次电离的氦粒子He的电子电离掉？
解：
Li由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：
3/14
He的电离能量为：
vHe
4hcRHe（12
1）
4hcRHe
1
hvLi
27RLi
27
1
m/MHe
hvHe
16RHe
16
1
m/MLi
由于MHe
MLi,所以1m/MHe
1
m/MLi，
从而有hvLi
hvHe，所以能将
He
的电子电离掉。
2.9Li原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
解：
与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。
锂光谱的主线系是锂原子的价
电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。
一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li
离
子电离成Li
离子时，有E1
Rhc
Rhc
Rhc
5.35电子伏特
0.5951）
2
（1
0.5951）2
（1
Li是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此
Li
Li时，电离能E3为：
E3
Z2Rhc
Z2RRhc122.4电子伏特。
12
设Li
Li
的电离能为E2。
而Li
Li
需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有
E2
EE1
E375.7电子伏特
2.10具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？
答：
设原子的磁矩为，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z，于
是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为F
ZB，其中B是磁场沿Z方向的梯度。
ZZ
对均匀磁场，B0，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场
Z
的取向服从空间量子化规则。
对于非均磁场，
受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。
B0原子在磁场中除做上述运动外，还
Z
2.11史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为B103特
Z
4/14
解：
银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。
其轨道为抛物线；在
L2区域粒子不受力作惯性运动。
经磁场区域L1后向外射出时粒子的速度为v'，出射方向与
v
入射方向间的夹角为。
与速度间的关系为：
tg
v
粒子经过磁场L1出射时偏离入射方向的距离S为：
S1B（L1）2Z⋯⋯
（1）
2mZv
将上式中用已知量表示出来变可以求出Z
v
at,a
f
B,t
L1/v
m
mZ
v
Z
BL1
m
Zv
BL1L2
S'
L2tg
Z
m
Z
v2
S
d
d
Z
BL1L2
S'
2
m
Z
v2
2
把S代入
（1）式中，得：
d
Z
BL1L2
Z
BL12
2
m
Z
v2
2m
Zv2
整理，得：
Z
BL1
（L1
2L2）
d
2m
Zv
2
2
由此得：
Z0.93
10
23焦耳/特
第三章量子力学初步
3.1波长为1A的X光光子的动量和能量各为多少？
解：
根据德布罗意关系式，得：
h
6.631034
6.63
10
24
千克米秒
1
动量为：
p
1010
能量为：
E
hv
hc/
6.63
1034
3108/1010
1.986
1015焦耳。
3.2经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长
?
用上述电压加速的质
5/14
子束的德布罗意波长是多少？
解：
德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：
h/2meV对于电子：
m
9.111031公斤，e
1.601019库仑
把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：
12.25
12.25
A
A0.1225A
V
10000
对于质子，m1.67
1027公斤，e
1.601019库仑，代入波长的表示式，得：
6.626
10
34
2.862
103
A
2
1.67
1027
1.60
1019
10000
3.3
电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来
12.25A的电子德
V
布罗意波长与加速电压的关系式应改为：
12.256
（10.48910V）A
其中V是以伏特为单位的电子加速电压。
试证明之。
证明：
德布罗意波长：
h/p
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：
K2
2Km0c2
p2c2
而被电压V加速的电子的动能为：
K
eV
p2
（eV）2
2m0eV
c2
p
2m0eV
（eV）2/c2
因此有：
h/p
h
1
2m0eV
eV
1
2
2m0c
一般情况下，等式右边根式中eV/2m0c2一项的值都是很小的。
所以，可以将上式的根
式作泰勒展开。
只取前两项，得：
6/14
h
（1
eV
2）
h
（10.489106V）
2m0eV
4m0c
2m0eV
由于上式中h/2m0eV12.25A，其中V以伏特为单位，代回原式得：
V
12.256
（10.48910V）A
由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意
波长变短。
第四章碱金属原子
4.1已知Li原子光谱主线系最长波长6707A，辅线系系限波长3519A。
求锂原
子第一激发电势和电离电势。
解：
主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。
辅线系系限波长是电子
从无穷处向第一激发态跃迁产生的。
设第一激发电势为V1，电离电势为V，则有：
eV1
hc
V1
hc
1.850伏特
e
eV
hc
hc
V
hc
11
（
）5.375伏特。
e
4.2
Na原子的基态3S。
已知其共振线波长为5893
A，漫线系第一条的波长为
8193A，
基线系第一条的波长为
18459A，主线系的系限波长为
2413
A。
试求
、
、
、
4F
各
3S
3P
3D
谱项的项值。
解：
将上述波长依次记为
pmax,dmax,fmax,p,
即pmax5893A,dmax8193A,fmax18459A,p2413A
容易看出：
7/14
T3S
~
1
4.14410
6
米
1
v
P
T3P
1
1
2.447
106米1
P
pmax
T3D
T3p
1
1.227
106米1
dmax
T4F
T3D
1
0.685
106米1
fmax
4.3K原子共振线波长
7665A，主线系的系限波长为
2858A。
已知K原子的基态4S。
试求4S、4P谱项的量子数修正项
s,
p值各为多少？
解：
由题意知：
pmax
7665A,p
~
P
2858A,T4svP1/
由T4S
R
2，得：
4
sRk/T4S
s）
（4
设RKR,则有s
1
1
2.229,T4P
P
Pmax
与上类似
p4
R/T4P
1.764
4.4
Li原子的基态项
2S。
当把Li原子激发到3P态后，问当3P激发态向低能级跃迁
时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？
答：
由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中n相同而l不同的能级有
很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n有关，而且与角量子数l有关，
可以记为EE（n,l）。
理论计算和实验结果都表明l越小，能量越低于相应的氢原子的能
量。
当从3P激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：
l1，可能产生四条光谱，分
别由以下能级跃迁产生：
3P3S;3S2P;2P2S;3P2S。
第五章多电子原子
5.1He原子的两个电子处在2p3d电子组态。
问可能组成哪几种原子态?
用原子态的
符号表示之。
已知电子间是LS耦合。
解：
因为l11,l22,s1s2
1
，
2
8/14
Ss1
s2或s1
s2;
Ll1
l2,l1
l2
，
l2,
1,l1
S
0,1;L
3,2,1
所以可以有如下
12个组态：
L
1,S
0,1P1
L
1,S
1,3P0,1,2
L
2,S
0,1D2
L
2,S
1,3D1,2,3
L
3,S
0,1F3
L
3,S
1,3F2,3,4
5.2已知He原子的两个电子被分别激发到2p和3d轨道，器所构成的原子态为3D，
问这两电子的轨道角动量pl1与pl2之间的夹角，自旋角动量ps1与ps2之间的夹角分别为多
少？
解：
（1）已知原子态为3D，电子组态为2p3d
L2,S1,l11,l22
因此，
pl1
l1（l1
1）h
2
2
pl2
l2（l2
1）
6
PL
L（L
1）
6
PL
2
pl1
2
pl2
2
2pl1pl2
cosL
cosL
2
2
pl2
2
1
（PL
pl1
）/2pl1pl2
2
3
L
10646'
（2）
s1
s2
1
p1
p2
s（s1）h
3h
2
2
PS
S（S
1）h
2h
而
9/14
PS
2
ps1
2
ps2
2
2ps1ps2
coss
cos
s
（PS
2
ps1
2
ps2
2）/2ps1ps2
1
3
S7032'
5.3锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是4s4s。
当其中有一个被
激发，考虑两种情况：
（1）那电子被激发到
5s态；
（2）它被激发到4p态。
试求出LS耦
合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。
画出相应的能级图。
从（
1）和
（2）情
况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？
解：
（1）组态为4s5s时l1l20,s1s2
1，
2
L
0,S
0,1
S
时，
J
L
0,
单重态
1
0
S0
S
时
;J
1,
三重态3
S1
1
根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的
5种跃迁：
51S0
41P1,53S1
43P0;
53S1
43P1;53S1
43P2
41P141S0
所以有5条光谱线。
（2）外层两个电子组态为4s4p时：
l1
0,l21,s1
s21，
2
L
1,S
0,1
S
0时，J
L
1,单重态1P1;S
1时;J
2,1,0,三重态3P2,1,0
根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁，
1
1
1
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