学习k12精品高中数学人教A版必修一练习321 几类不同增长的函数模型.docx

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学习k12精品高中数学人教A版必修一练习321几类不同增长的函数模型

3.2　函数模型及其应用

3.2.1　几类不同增长的函数模型

【选题明细表】

知识点、方法

题号

指数函数、对数函数、幂函数模型的比较

1,2,5

图象信息迁移问题

3,8

应用函数模型解决问题

4,6,7

1.下面对函数f（x）=lo

x,g（x）=（

）x与h（x）=

在区间（0,+∞）上的递减情况说法正确的是（　C　）

（A）f（x）递减速度越来越慢,g（x）递减速度越来越快,h（x）递减速度越来越慢

（B）f（x）递减速度越来越快,g（x）递减速度越来越慢,h（x）递减速度越来越快

（C）f（x）递减速度越来越慢,g（x）递减速度越来越慢,h（x）递减速度越来越慢

（D）f（x）递减速度越来越快,g（x）递减速度越来越快,h（x）递减速度越来越快

解析:

观察函数f（x）=lo

x,g（x）=（

）x与h（x）=

在区间（0,+∞）上的图象（如图）可知:

函数f（x）的图象在区间（0,1）上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间（1,+∞）上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g（x）的图象在区间（0,+∞）上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h（x）的图象在区间（0,1）上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间（1,+∞）上,递减较慢,且越来越慢.故选C.

2.（2018·烟台高一期末）在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.

x

0.50

0.99

2.01

3.98

y

-1.01

0.01

0.98

2.00

则x,y最合适的函数是（　D　）

（A）y=2x（B）y=x2-1

（C）y=2x-2（D）y=log2x

解析:

根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,

y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.

3.一高为h0、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时,水的体积为V,则函数V=f（h）的大致图象可能是（　B　）

解析:

水深h越大,水的体积V就越大,当水深为h0时,体积为V0.

所以排除A,C.

当h∈[0,h0]时,可将水“流出”设想成“流入”,每当h增加1个Δh时,根据鱼缸形状可知,函数V的变化,开始其增量越来越大,经过中截面后增量越来越小,故V关于h的函数图象是先凹后凸,故选B.

4.据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2000年的湖水量为m,从2000年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是（　A　）

（A）y=0.

·m（B）y=（1-0.

）·m

（C）y=0.950x·m（D）y=（1-0.150x）·m

解析:

设湖水量每年为上年的q%,则（q%）50=0.9,

所以q%=0.

所以x年后湖水量y=m·（q%）x=m·0.

.故选A.

5.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

…

y1

2

4

8

16

32

64

128

256

…

y2

1

4

9

16

25

36

49

64

…

y3

0

1

1.585

2

2.322

2.585

2.807

3

…

其中,关于x呈指数函数变化的函数是　　　　. 

解析:

从表格可以看出三个变量y1,y2,y3都随x的增大而变大,但增长速度不同,其中y1的增长速度最快,画出它的散点图（图略）知变量y1关于x呈指数函数变化.

答案:

y1

6.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售.若此时厂家同时出售A,B产品各一件,则相对于没有调价时的盈亏情况是（　D　）

（A）不亏不赚（B）赚5.92元

（C）赚28.96元（D）亏5.92元

解析:

设A,B两产品的原价分别为a元,b元,则a=

=16,b=

=

36,16+36-23.04×2=5.92,所以比原价亏5.92元,故选D.

7.某汽车制造商在2017年初公告:

公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:

年份

2014

2015

2016

产量

8（万）

18（万）

30（万）

如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:

二次函数模型f（x）=ax2+bx+c（a≠0）,指数函数模型g（x）=a·bx+c（a≠0,b>0,b≠1）,哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?

解:

建立年产量y与年份x的函数,

可知函数图象必过点（1,8）,（2,18）,（3,30）.

①构造二次函数模型f（x）=ax2+bx+c（a≠0）,

将点坐标代入,

可得

解得a=1,b=7,c=0,

则f（x）=x2+7x,

故f（4）=44,与计划误差为1.

②构造指数函数模型g（x）=a·bx+c（a≠0,b>0,b≠1）,

将点坐标代入,可得

解得a=

b=

c=-42,

则g（x）=

·（

）x-42,

故g（4）=

·（

）4-42=44.4,

与计划误差为1.4.

由①②可得,二次函数模型f（x）=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.

8.据气象中心观察和预测:

发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示,过线段OC上一点T（t,0）作横轴的垂线l交梯形OABC于另一点D,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.

（1）当t=4时,求s的值;

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;

（3）若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?

如果不会,请说明理由.

解:

（1）由图象知,点A的坐标为（10,30）,故直线OA的解析式为v=3t,当t=4时,D点坐标为（4,12）,

所以OT=4,TD=12,

所以s=

×4×12=24（km）.

（2）当0≤t≤10时,此时OT=t,TD=3t,

所以s=

t×3t=

t2,

当10

所以s=

×10×30+30（t-10）=30t-150;

当20

因为B,C的坐标分别为（20,30）,（35,0）,

所以直线BC的解析式为v=-2t+70,

此时D点坐标为（t,-2t+70）,

所以TC=35-t,TD=-2t+70,

所以s=

（10+35）×30-

（35-t）（-2t+70）=-（35-t）2+675,

所以s=

（3）法一　由

（2）知,当10

当20

故当沙尘暴发生30h后它将侵袭到N城.

法二　因为当t=20时,s=30×20-150=450（km）,

当t=35时,s=-（35-35）2+675=675（km）,而450<650<675,

所以N城会受到侵袭,且侵袭时间t应在20h至35h之间,

由-（35-t）2+675=650,解得t=30或t=40（不合题意,舍去）.

所以在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城.

【教师备用】在固定电压差（电压为常数）的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为（　D　）

（A）60安（B）240安（C）75安（D）135安

解析:

由已知,设比例常数为k,则I=k·r3.

由题意,当r=4时,I=320,故有320=k×43,

解得k=

=5,所以I=5r3.

故当r=3时,I=5×33=135（安）,故选D.

【教师备用】在某种金属材料的耐高温实验中,温度y（℃）随着时间t（min）变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:

现给出下列说法:

①前5min温度增加越来越快;

②前5min温度增加越来越慢;

③5min后温度保持匀速增加;

④5min后温度保持不变.

其中说法正确的是（　C　）

（A）①④（B）②④（C）②③（D）①③

解析:

前5min温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;

5min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故②③正确.故选C.

【教师备用】如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲,乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:

（1）骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;

（2）骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;

（3）骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;

（4）骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.

其中正确信息的序号是　　　　. 

解析:

看时间轴易知

（1）正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此

（2）正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故（3）正确,（4）错误.

答案:

（1）

（2）（3）

【教师备用】画出函数f（x）=

与函数g（x）=

x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞）上的大小关系.

解:

函数f（x）与g（x）的图象如下.

根据图象易得:

当0≤x<4时,f（x）>g（x）;

当x=4时,f（x）=g（x）;当x>4时,f（x）

【教师备用】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f（x）的图象大致是（　D　）

解析:

设该林区的森林原有蓄积量为a,

由题意可得ax=a（1+0.104）y,

故y=log1.104x（x≥1）.

函数为对数函数,

所以函数y=f（x）的图象大致为D中图象.

故选D.

【教师备用】某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:

强度（J）

1.6×1019

3.2×1019

4.5×1019

6.4×1019

震级（里氏）

5.0

5.2

5.3

5.4

注:

地震强度是指地震时释放的能量.地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y=algx+b（其中a,b为常数）.利用散点图可知a的值等于　　　　. 

（取lg2=0.3进行计算）

解析:

由模拟函数及散点图得

两式相减得a（lg3.2-lg1.6）=0.2,alg2=0.2,a=

.

答案:

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止尔！

因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。