完整版Matlab学习系列16数值计算线代篇.docx
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完整版Matlab学习系列16数值计算线代篇
16.数值计算一线代篇
一、行列式
det（A）――矩阵A的行列式;
inv（A）矩阵A的逆；
rank（A）矩阵A的秩;
B（:
i）=b――将向量b赋给矩阵B的第i行；
[A,eye（5）]――在矩阵A右端，拼接5阶单位矩阵；
[U,s]=rref（A）――对矩阵A作行变换，U返回A的最简行阶梯形
A的秩;
代码:
formatshortg%省略小数位多余的0
A=[123;221;343];
B=rref（[A,eye（3）]）
%对矩阵[A,I]进行初等行变换,得到最简行阶梯矩阵B
if（rank（B（:
1:
3））==3）
%判断B的前3列是否为单位阵，若是取出后3列，即A逆
A仁B（:
4:
6）
else
disp（'A不可逆'）;
end
运行结果：
13-2
-1
-1
例2解方程
代码:
symsx;
A=[3211;322-xA21;5132;7-xA2132];
D=det（A）
f=factor（D）%对行列式D进行因式分解
X=solve（D）%求方程“D=0”的解
运行结果：
D=-3*（xA2-1）*（xA2-2）
f=-3*（x-1）*（x+1）*（xA2-2）
-1
2A（1/2）-2A（1/2）
二、向量组的线性相关性
例3向量组
2
4
3
4
7
1
3
2
1
6
1
亠52
丄53
亠54
-55
3
1
3
15
7
5
3
4
17
0
求它的秩和一个最大线性无关组，并用来表示其它向量
代码：
A=[2-135;4-313;3-234;4-11517;7-6-70]';
%formatrat;%使用分数表示
rref（A）
运行结果：
ans=
1
0
0
2
1
0
1
0
-3
5
0
0
1
4
-5
0
0
0
0
0
可见，向量组的秩是3，1,2,3是一个最大线性无关组；并且
4213243，515253
注：
也可以用[R,s]=rref（A）;length（s）得到秩。
三、线性方程组的通解
null（A,‘r——返回齐次线性方程组Ax=0的基础解系，选项’r'返回有理数解，否则按分数显示；
x0=inv（A）*b——若A-1存在，直接可以得到Ax=b的一个特解x0,
否则只能按求解理论求解;
subs（A,k,n）,将矩阵或式A中的k用n代替
例4求下列方程组的通解：
2x14x2x34x416x52
3x16x22x36x423%7
3x16x24x36x419xs23
x12x25x32x419x543
代码:
symsx;
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];
b=[-2;7;-23;43];
[R,s]=rref（[A,b]）
[m,n]=size（A）;
xO=zeros（n,1）;%将特解x0初始化为零向量
运行结果:
R=1
0
0
0
s=13
x0=3
20293
01028
00000
00000
0
0
x=-2-2-9
100
00-2
010
001
例5已知齐次线性方程组
（1
2k）N
3x2
3x3
3x4
0
3x1
（2
3X3
3x4
0
3x1
3x2
（2
3x4
0
3x13x23（（11k）x4
求出其基础
问当k取何值时方程组有非零解？
在有非零解的情况下,解系。
代码：
symsk;
A=[1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k];
D=det（A）
K=solve（D）%解方程“X0”即要求的k值
fori=1:
4
Ak=double（subs（A,k,K（i）））;
%用K（i）替换矩阵A中的k,得到的是符号矩阵，
%再用double函数转化为数值矩阵
x=null（Ak,'r'）
end
运行结果：
D=2*kA4-31*kA3+30*kA2+161*k+98
K=-1
-1
7/2
14
x=-1-1
10
01
00
x=-1-1
10
01
00
x=-0.5
-1
-1
1
x=0.2
0.4
0.4
四、基变换
设Rn中的两组基向量U和V（都是nxn矩阵），若向量w在以
U为基的坐标系内的坐标为Wu（nx1数组），在以V为基的坐标系内的坐标为wv（nxi数组），则在基准坐标系内的坐标应分别为U*wu和V*Wv，这两者应该相等，即
U*Wu=V*Wv
所谓基坐标的变换，就是已知Wu，求出Wv.将上式两边均左乘
V-1，得到
Wv=V
'*U*Wu
故坐标变换矩阵为P:
=V-1
*U.
例6已知R4中的两组
寸基向量为
1
1
-1-1
2
0
-2
1
2
-1
2-1
1
1
1
3
-1
1
10，
0
2
1
1
0
1
11
1
2
2
2
求从U到V的坐标变换矩阵P.
代码：
U=[11-1-1;2-12-1;-1110;0111];
V=[20-21;1113;0211;1222];
P=inv（V）*U%从U到V的基变换矩阵
wu=[1234]';
wv=P*wu
%已知某向量在U坐标系下坐标为WU,求它在V坐标系下的坐标
运行结果：
P=01-11
-1
1-11-1
wv=3
1
4
-2
五、特征值与特征向量
变换可以用矩阵表示。
矩阵A的特征向量是指，经过矩阵A（左乘）变换后不发生方向改变的那些向量；特征值是指在经过这些变换后特征向量的伸缩的倍数。
对于实对称矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交。
矩阵（变换）A的所有特征向量组成了该矩阵（变换）的一组基，可以理解为坐标系的坐标轴，可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转，称为基变换。
例如，在主成分分析中，通过在拉伸最大的方向设置基，忽略一些小的量，可以极大的压缩数据而减小失真。
矩阵（变换）的所有特征向量作为空间的基之所以重要，是因为在这些方向上矩阵（变换）可以拉伸向量而不必扭曲和选择它，使得计算大为简单。
2.Matlab实现
orth（A）返回矩阵A的列向量组构成空间的标准正交基；
P=poly（A）返回矩阵A的特征多项式，P是行向量，元素为
多项式系数；
roots（P）――求多项式P的零点；
r=eig（A）――r为列向量，元素为矩阵A的特征值；
[V,D]=eig（A）――矩阵D为A的特征值（从小到大排列）所构成的对角矩阵，V的列向量为A的特征向量，与D中特征值一一对应
（VtAV=D，VT=V-1），D也是矩阵A的相似对角化矩阵；
[V,D]=schur（A）――矩阵D为对称矩阵A的特征值所构成的对角阵，V的列为A的单位特征向量，与D中特征值一一对应；例7求下列矩阵的特征值和特征向量：
222019
216911
8461
0847
代码：
formatshortg
A=[123;213;112];
%特征多项式法
%P=poly（A）;
%lamda1=roots（P）lamda2=eig（A）[V,D]=eig（A）inv（V）*A*V
-0.0000
V=0.6396
0.7071
-0.5774
0.6396
-0.7071
-0.5774
0.4264
-0.0000
0.5774
D=
5.0000
0
0
0
-1.0000
0
0
0
-0.0000
ans=
5.0000
-0.0000
0
-0.0000
-1.0000
-0.0000
-0.0000
0.0000
0
例8（人口迁徙模型）设某大城市的总人口是固定的。
人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。
每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。
假如开始时有30%的居民
住在市区，70%的居民住在郊区，问：
（1）10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？
30年、50年后又如何？
（2）无限增加时间，该比例最终是否会趋于稳定？
问题分析：
该问题可以用矩阵乘法来描述。
（1）把人口变量用市区Xc和郊区Xs两个分量表示，一年以后，市
区人口为Xci=（1-0.06）Xco+O.O2xso，郊区人口Xsi=O.O6xco+（1-0.02）Xso,用矩阵乘法来表示：
对于
（2）,借助矩阵A的特征值和特征向量，因为A作用在其特
征向量上只改变值大小（为其特征值的倍数）而不改变方向。
为此先求出A的特征值入，2及特征向量Vi,V2；将X0用特征向量
Vi,V2作为坐标系表示出来（即做以［Vi,V2］为基坐标的基变换），
X0=o/什pV2
从而，
xkAkx0Ak（v1v2）Akv,Akv21kv1；v2
令k趋于x,判断Xk是否存在极限。
代码：
x0=[0.3;0.7];
A=[0.940.02;0.060.98];
x仁A*x0
x10=AA10*x0
x50=AA50*x0
[V,D]=eig（A）
V（:
1）=V（:
1）./V（2,1）;
V（:
2）=V（:
2）./V（1,2）%对V做初等变换化简
k=inv（V）*x0%求x0用特征向量作为坐标系的表示
%x0在原坐标系I中的表示为x0,
%则基坐标变换到在坐标系V的表示为x=P*x0=inv（V）*l*x0
symsn;
xn=k
（1）*D（1,1）An*V（:
1）+k
（2）*D（2,2）an*V（:
2）;
%xn=-0.05*（0.92）an*v1+0.25*1An*v2
limit（xn,n,inf）
0.7040
x10=0.2717
0.7283
x50=0.2508
0.7492
V=-0.7071-0.3162
0.7071-0.9487
D=0.92000
01.0000
V=-1.00001.0000
1.00003.0000
k=-0.0500
0.2500
ans=1/4
3/4
最终得到：
无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数
0.25/0.75.
六、二次型例9用正交变换法将下列二次型化为标准型（保持几何形状不变）
f（x1,x2,x3）
x122x223x324x1x24x2x3
代码:
A=[1-20;-22-2;0,-2,3];%输入二次型的矩阵A
[V,D]=eig（A）
%或用[V,D]=schur（A）,结果相同；V为正交变换矩阵，即Y=VX
symsy1y2y3;
f=[y1,y2,y3]*D*[y1;y2;y3]
运行结果：
V二
-0.6667
-0.6667
0.3333
-0.6667
0.3333
-0.6667
-0.3333
0.6667
0.6667
D=-1.00000
0
02.00000
005.0000
f=-y1A2+2*y2八2+5*y3A2
注：
XtAX二YtVtAVY二YtDY
七、用矩阵做图形变换
图形变换是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等变
换，其实质是改变图形的各个顶点的坐标。
图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进行运算来实现，称为
矩阵变换法：
原图形、一变换后图形
一变换一
顶点坐标*占“二顶点坐标矩阵矩阵矩阵
注：
也可以用变换矩阵左乘实现，上式两边转置即可，即:
btat=ct.
F面只介绍二维图形的矩阵变换，代码示例是类似的省略之
X1
y1
X2
y2*
M
M
Xn
ynn2
（1）缩放变换
a
X
y门
0
若a=d则为等比例缩放；若
xy1
II
ab_x2y2
cd22MM
Xnynn2
1.基本变换
0axdy
d
a=1，则x方向不变；若a=0,则图
形压缩为y轴上的线段例10已知三角形的三个顶点坐标，绘制三角形并进行缩放变换。
代码:
ABC=[44;13;31];%三角形的三个顶点
E=[ABC（1,1）,ABC（1,2）];%为了让图形封闭，在末尾补上起始点
ABC=[ABC;E]
subplot（1,2,1）
plot（ABC（:
1）,ABC（:
2）,'r'）;%将各个顶点连线，绘制三角形
axis（[0,5,0,5]）;
%放缩变换
a=0.6;
d=1.2;
T=[a0;0d];%变换矩阵
ABC1=ABC*T;%对原顶点做变换得到新的顶点
subplot（1,2,2）
plot（ABC1（:
1）,ABC1（:
2）,'g'）;%绘制变换后的三角形
运行结果：
（2）对称变换
关于原点的对称变换
关于x轴的对称变换
关于y轴的对称变换
关于直线y=x的对称变换
关于直线y=-x的对称变换
（3）错切变换（延x轴或y轴一个方向移动，另一个方向不变）
1延x轴方向错切
10
Xyc1xcyy
变换后，平行于X轴的直线变换后仍平行于x轴；平行于y轴的直线
变换后，y=0的点不动（不动点），y工0的点沿x方向平移了cy,形成
与y轴夹角为B的直线，且tg§=cy/y=c.
2延y轴方向错切
（4）绕坐标原点的旋转变换
变换矩阵为
cossinT
sincos
逆时针方向旋转时角度B取正值；顺时针方向旋转时角度B取负值
2.平移变换
2X2变换矩阵是不能实现平移变换的，为此需要扩展一维
100
xy1010xlym1
lm1
注：
补上一维的常数，称为齐次坐标表示法；若常数=1,称为标
准齐次坐标表示法。
若坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示，应将
其化为标准齐次坐标表示，方法是所有项都除以齐次项：
同除以s
xys
例11已知三角形的三个顶点坐标，绘制三角形并进行平移变换。
代码：
为了让图形圭寸闭，在末尾补上起始点
将各个顶点连线，绘制三角形
E=[ABC（1,1）,ABC（1,2）];%
ABC=[ABC;E]subplot（1,2,1）
plot（ABC（:
1）,ABC（:
2）,'r'）;%
axis（[0,5,0,5]）;
%平移变换
ABC1=[ABC,ones（length（ABC）,1）];
%加上一列1扩维，变成标准齐次坐标表示
1=1;
m=0.5;
T=[100;010;lm1];%平移变换矩阵
ABC2=ABC1*T;%做平移变换
subplot（1,2,2）
plot（ABC2（:
1）,ABC2（:
2）,'g'）;
axis（[0,5,0,5]）
运行结果:
5
5
'rrr
1r*
4.5
・・
4.5
・
4
--
4
--
3.5
--
3.5
--
3
--
3
--
2.5
-・
2.5
2
・・
2
}、"1
1.5
■\-
1.5
-
1
--
1
0.5
・・
0.5
・
0
jU■II
0
ii1■1
012345
012345
注：
三维变换矩阵还具备更多的功能，总结如下:
3.组合变换
一些复杂的变换都可以分解为若干基本变换的组合，二维组合变
换矩阵T=TiXT2X-XTm,其中Ti是基本变换矩阵，具有不可交换性。
例如，
（1）绕坐标原点以外的任意一点P（xo,yo）旋转B角的旋转变换可分解为：
①平移变换一一将旋转中心P平移到坐标原点；
100
T1010
X0y。
1
②旋转变换绕坐标原点旋转B角；
cossin0
T2sincos0
001
3平移变换——使旋转中心P回到原来的位置
100
T3010
x0y01
于是，组合变换矩阵为：
T=T1*T2*T3.
（2）关于任意直线的对称变换
设直线方程为：
Ax+By+C=0（A半0,B半0）,直线在x轴上的截
距为-C/A，在y轴上的截距为-C/B,直线与x轴的夹角a=arctg（A/B）.
可分解为：
100
T1010
C/A01
②旋转变换——绕坐标原点旋转
-a角，使直线与X轴重合;
cos（）
sin（
）0
T2sin（）
cos（
）0
0
0
1
3关于x轴做对称变换;
100
T3010
001
4旋转变换绕坐标原点旋转a角;
cossin0
T2sincos0
001
5平移变换——沿x方向平移-C/A，使直线回到原位置
100
T1010
C/A01
于是组合变换矩阵为：
T=T1*T2*T3*T4*T5.
注：
（1）可见前面的二维变换矩阵都可以统一地在三维矩阵中实
现；
（2）以上介绍的二维图形的矩阵变换，类似地可以推广到三维空
间图形的矩阵变换
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