考研数学之高数知识点.docx

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考研数学之高数知识点

考研数学之必备知识点

函数极限连续

1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。

2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。

掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。

3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最.大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：

lim（sinx/x）=1，lim（1+1/x）=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。

难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。

02一元函数微分学

1、理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，理解函数可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。

了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的一阶、二阶导数。

会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。

3、理解并会用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。

4、理解函数极值的概念，掌握函数最.大值和最小值的求法及简单应用，会用导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形水平铅直和斜渐近线。

5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。

6、掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法，重点是导数和微分的概念，平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系，一阶微分形式的不变性，分段函数的导数。

罗必塔法则函数的极值和最.大值、最小值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。

难点是复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。

03一元函数积分学

1、理解原函数和不定积分和定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分。

4、理解变上限积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼兹公式。

5、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

6、掌握用定积分计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力等）。

重点是原函数与不定积分的概念及性质，基本积分公式及积分的换元法和分部积分法，定积分的性质、计算及应用。

难点是第二类换元积分法，分部积分法。

积分上限的函数及其导数，定积分元素法及定积分的应用。

04向量代数与空间解析几何

1、理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

05多元函数微分学

1、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

2、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。

3、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

4、掌握多元复合函数偏导数的求法，会求隐函数的偏导数。

5、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求多元函数的最.大值和最小值及一些简单的应用问题。

重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全微分的概念及计算复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算。

空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数极值。

难点是多元复合函数的求导法，二函数的泰勒公式。

06多元函数积分学

1、理解二重积分与三重积分的概念，了解重积分的性质。

2、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；掌握计算两类曲线积分的方法；掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

4、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。

5、会用重积分、曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量。

重点是利用直角坐标、极坐标计算二重积分。

利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。

两类曲线积分的概念、性质及计算，格林公式。

两类曲面积分的概念、性质及计算，高斯公式。

难点是化二重积分为二次积分、改换二次积分的积分次序以及三重积分计算。

第二类曲面积分与斯托克斯公式。

07无穷级数

1、掌握级数的基本性质及其级数收敛的必要条件，掌握几何级数与p级数的收敛性；掌握比值审敛法，会用正项级数的比较与根值审敛法。

2、会用交错级数的莱布尼兹定理，了解绝对收敛和条件收敛的概念及它们的关系。

3、会求幂级数的和函数以及数项级数的和，掌握幂级数收敛域的求法。

4、掌握e的x次方、sinx、cosx、ln（1+x），（1+x）的a次方的马克劳林展开式，会用它们将简单函数作间接展开；会将定义在[-L，L]上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦函数。

重点是数项级数的概念与性质，正项级数的审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛的概念。

幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，将函数展成傅立叶级数。

难点是求幂级数的和函数，将函数展成幂级数、傅立叶级数。

08常微分方程

1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。

2、会用降阶法解y（n）=f（x），y″=f（x，y），y″=f（y，y'）类的方程；理解线性微分方程解的性质和解的结构。

3、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

4、会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

重点是微分方程的概念，变量可分离方程，一阶线性微分方程及二阶的常系数线性微分方程的解法。

难点是由实际问题建立微分方程及确定定解条件。

09口诀

口诀1：

函数概念五要素，定义关系最核心。

口诀2：

分段函数分段点，左右运算要先行。

口诀3：

变限积分是函数，遇到之后先求导。

口诀4：

奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。

口诀5：

单调增加与减少，先算导数正与负。

口诀6：

正反函数连续用，最后只留原变量。

口诀7：

一步不行接力棒，最终处理见分晓。

口诀8：

极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。

口诀9：

幂指函数最复杂，指数对数一起上。

口诀10：

待定极限七类型，分层处理洛必达。

口诀11：

数列极限洛必达，必须转化连续型。

口诀12：

数列极限逢绝境，转化积分见光明。

口诀13：

无穷大比无穷大，最高阶项除上下。

口诀14：

n项相加先合并，不行估计上下界。

口诀15：

变量替换第一宝，由繁化简常找它。

口诀16：

递推数列求极限，单调有界要先证，

两边极限一起上，方程之中把值找。

口诀17：

函数为零要论证，介值定理定乾坤。

口诀18：

切线斜率是导数，法线斜率负倒数。

口诀19：

可导可微互等价，它们都比连续强。

口诀20：

有理函数要运算，最简分式要先行。

口诀21：

高次三角要运算，降次处理先开路。

口诀22;导数为零欲论证，罗尔定理负重任。

口诀23：

函数之差化导数，拉氏定理显神通。

口诀24：

导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。

口诀25：

寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。

口诀26：

寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。

口诀27：

端点、驻点、非导点，函数值中定最值。

口诀28：

凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。

口诀29：

数字不等式难证，函数不等式先行。

口诀30：

第一换元经常用，微分公式要背透。

口诀31：

第二换元去根号，规范模式可依靠。

口诀32：

分部积分难变易，弄清u、v是关键。

口诀33：

变限积分双变量，先求偏导后求导。

口诀34：

定积分化重积分，广阔天地有作为。

口诀35：

微分方程要规范，变换，求导，函数反。

口诀36：

多元复合求偏导，锁链公式不可忘。

口诀37：

多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。

口诀38：

多重积分的计算，累次积分是关键。

口诀39：

交换积分的顺序，先要化为重积分。

口诀40：

无穷级数不神秘，部分和后求极限。

口诀41：

正项级数判别法，比较、比值和根值。

口诀42：

幂级数求和有招，公式、等比、列方程。