动能定理的典型例题.docx

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动能定理的典型例题

“动能定理”的典型例题

【例1】质量为m=2kg的物体，在水平面上以v1=6m/s的速度匀速向西运动，若有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s内物体的动能增加了[]

A．28JB．64JC．32JD．36JE．100J

【分析】物体原来在平衡力作用下西行，受向北的恒力F作用后将做类似于平抛的曲线运动（见图）．物体在向北方向上的加速度

2s后在向北方向上的速度分量

故2s后物体的合速度

所以物体在2s内增加的动能为

也可以根据力对物体做动能定理来计算．由于在这个过程中，可以看作物体只受外力F作用，在这个力方向上的位移

外力F对物体做的功

W=Fs=8×8J=64J，

故物体动能的增加

【答】B．

【说明】由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷．

有的学生认为，物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变，向北方向上受到外力后，向北方向上的动能增加了

即整个物体的动能增加了64J，故选B．

必须注意，这种看法是错误的．动能是一个标量（不同于动量），不能分解．外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的，它没有分量式（不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式）．上述计算结果的巧合是由于v2与v1互成90°角的缘故．

【例2】一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s（见图），不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求摩擦因数μ．

【分析】以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即Ek2=Ek1=0．可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系．

【解】物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功（支持力不做功），设斜面倾角为α，斜坡长L，则重力和摩擦力的功分别为

WG=mgsinαL，

Wf1=-μmgcosαL．

在平面上滑行时仅有摩擦力做功（重力和支持力不做功），设平面上滑行距离为s2，则

Wf2=-μmgs2．

整个运动过程中所有外力的功为

W=WG+Wf1+Wf2，

=mgsinαL-μumgcosαL-μmgs2．

根据动能定理，

W=Ek2-Ek1，

式中s1为斜面底端与物体初位置间水平距离，故

【说明】本题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解．物体沿斜面下滑时的加速度

物体在平面上滑行时的加速度

比较这两种解法，可以看到，应用动能定理求解时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化（如从斜面到平面的运动情况的变化），显得更为简捷．

本题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法．

厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加[]

A．1×103NB．2×103N

C．4×103ND．条件不足，无法判断

【分析】矿砂落入车

厢后，受到车厢板摩擦力f的作用，使它做加

速运动，经时间△t后矿砂的速度达到车厢的速度v=2m/s,这段时间内矿砂的位移

因此选△t内落下的矿砂△m为研究对象，以将接角车箱板和达到速度v=2m/s两时刻为始末两状态时，动能增量

由功与动能变化的关系得

在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用f′，其大小也为4×103N，方向与原运动方向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为

【答】C．

【说明】常有人误认为矿砂落入车厢内，矿砂的位移就是车厢的位移

s=v

t，于是得车厢应增加的牵引力大小为

这是不正确的，因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度v=2m/s运动的过程中，车厢和矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出现的滑动摩擦力．也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全转化为矿砂的动能，其中有一部分消耗在克服摩擦做功而转化为热能．

!

iedtxx（`stylebkzd',`1107P02.htm'）【例4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体，如图a所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H．车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．

【分析】汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速度的变化和上升高度，由动能定理即得．

【解】以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0．随着车的加速拖动，重物上升，同时速度也不断增加．当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量（图b），即

于是重物的动能增为

在这个提升过程中，重物受到绳中拉力T、重力mg．物体上升的高度和重力的功分别为

于是由动能定理得

即

所以绳子拉力对物体做的功

【说明】必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效果确定．车子向左运动时，绳端（P）除了有沿绳子方向的运动趋势外（每一瞬间绳处于张紧的状态），还参予了绕O点的转动运动（绳与竖直方向间夹角不断变化），因此还应该有一个绕O点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向．所以车子运动到B点时的速度分解图应如图6所示，由此得拉绳的速度Vb1（即提升重物的速度vQ）与车速vB的关系为

【例5】在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图所示．设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则[]

A．F：

f=1：

3B．F：

f=4：

1

C．W1：

W2=1：

1D．W1：

W2=1：

3

【分析】在t=0～1s内，汽车在牵引力F和摩擦力f共同作用下作匀加速运动，设加速度为a1．由牛顿第二定律

F-f=ma1．

在t=l～4s内，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设加速度为a2，则

-f=ma2．

由于两过程中加速度大小之比为

在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知，

∴WF=Wf1+Wf2=Wf。

即全过程中牵引力做功（W1=WF）和汽车克服摩擦力做功（W2=Wf）相等．

【答】B．C．

【说明】为了比较两个功的关系，还可以从全过程考虑：

因为汽车在始、末两状态都处于静止，则

EK=0，所以整个过程中各个力做功之和

W=0，于是立即可得W1=Wf（即W1=W2）．

这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在

EK=0的情况，往往更为简捷，请加以体会．

【例6】质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为[]

【分析】设小球通过最低点A的速度为v1，绳子张力T1=7mg．在最低点时，由绳子张力和小球重力的合力提供向心力，

设小球恰通过最高点的速度为v2，此时绳子张力T2=0，正好由小球重力提供向心力，即

小球由最低点运动到最高点B过程中，小球重力和空气阻力都对小球做负功，根据力对小球做的动能定理，由

【答】C．

【例7】在光滑水平面上有一静止的物体．现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体．当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J．则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少?

【分析】物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零．根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后对全过程中应用动能定理即可得解．或者根据两个力作用时间相同、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系，即可得解．

【解】方法1物体从静止起受水平恒力F甲作用，做匀加速运动，经一段时间t后的速度为

间t后回到原处．整个时间内物体的位移为零．

设在F甲作用下物体的位移为s，对全过程由动能定理得

所以，恒力甲和乙做的功分别为

方法2设恒力F甲作用时间t，使物体通过位移s后的速度为v1，恒力F乙物体回到原点的速度为v2，作用时间也是t．前、后两段相同时间t内的位移大小相等，由

得v2=2v1，

已知Ek2=32J，故Ek1=8J．

根据动能定理可知，恒力F甲和F乙做的功分别为

W甲=Ek1=8J，

W乙=Ek1=32J－8J=24J．

【说明】本题可以利用v-t图，更直观地得到启发，设F甲作用时间t后物体的速度为v1，这就是匀加速运动的末速度．接着在F乙作用下物体作匀减速运动，物体先按原方向运动，设经时间t0后速度减小为零，然后反向运动．因此，物体运动过程的v-t图如图所示．

物体回到原点，意味着图线上下方与t轴间的面积相等．设甲、乙两力作用时的加速度大小分别为a1、a2则

v1=a1t，v2=a2（t2-t0），

联立

（1）、

（2）两式得

所以两力做功之比

【例8】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等．在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变．

（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？

（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？

（3）求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H．

【分析】下落至加速度为零时，AO、BO两绳的合力应等于重力mg，此时∠AOB=120°，于是即可算出下落距离和C、D两端上升距离，克服C端恒力的功即可求出．

在物块的下落过程中，AO、BO两绳中拉力不断变化．开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值vm；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至v=0时，达下落的最大距离H．由于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离．

【解】

（1）物块下落时受到三个力的作用：

重力mg、绳AO、BO的拉力F．当绳拉力的向上合力R等于重力mg时，物块下落的加速度为零．由于F恒为mg、所以a=0时，三力互成120°夹角．如图所示，于是，由图可知，下落距离

（2）物块下落h时，C、D两端上升距离

所以物块克服C端恒力F做功

（3）由上面的分析可知，物块下落h时的速度就是最大速度．根据动能定理

得最大速度

当物块下落最大距离H时，C、D两端上升的距离为

同理，由

mgH-2Fh″=0,

【例9】质量为m的物体A以速度v0在平台上运动，滑到与平台等高、质量为M的静止小车B上．小车B在光滑水平地面上，物体A与B之间动摩擦因数为μ．不计A的体积，为使A在小车B上不致滑出，试问小车B的长度L至少为多少（见图）？

【分析】A滑上B后，A受到B的摩擦力作匀减速运动，速度逐渐减小；B受到A的摩擦力而作匀加速运动，速度逐渐增大．如A滑到B的最右端时，两者刚好速度相同，处于相对静止，A就不致从B上滑出．

把物体A、B作为一个系统，它们之间的相互作用力就是内力，系统在水平方向不受外力，动量守恒．根据动量守恒算出两者相对静止时的速度后，便可隔离两物体，分别从牛顿第二定律、动量定理或动能定理这几条线索去考虑．

【解】设物体A、B相对静止时的共同速度为v，由于A、B在相互作用的过程水平方向不受外力，动量守恒．则有

设在这段过程中小车的位移为s，则物体A的位移为s+L（见图），可以由多种方法求解：

（1）用牛顿第二定律结合运动学公式解：

对物体A－μmg=maA，∴aA=－μg．

对小车Bμmg=MaB，∴aB=μmg／M．

两者相对静止时

因此，

（2）用动能定理解：

两式相加并代入解得的v，得

（3）用动量定理解：

设从A滑上小车B，到两者相对静止的时间为t，则

因此，

（4）运用v-t图线解：

作出物体A与小车B的v-t图（见图）小车长L，数值上等于图中划有斜线的三角形面积．

【说明】本题的关键是通过对运动过程的分析，找出A不致从B上滑出的条件．题中综合了力和运动关系的三条线索以及运动图像，因此，本题知识容量较大，应很好体会．

【例10】在光滑水平面上，有一质量m1=20kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为m2=25kg的拖车相连接．一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上．物体与平板间的滑动摩擦因数为μ=0.20．开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车以v0=3m／s的速度向前运动．求：

（1）当m1、m2、m3以同一速度前进时，速度的大小．

（2）物体在拖车平板上移动的距离．（g取10m／s2）

【分析】1．把小车、拖车和物体作为一个系统，由水平方向动量守恒可得共同前进的速度．

2．物体获得共同前进的速度，可认为经历了两个过程：

先是小车与拖车相互作用；然后是（小车+拖车）与物体的作用．

解

（1）由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒，

m1v0=（m1+m2+m3）u，

得三者一起运动的速度大小为

（2）小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直．因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在这极短时间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互作用．对小车与拖车由水平方向动量守恒

m1v0=（m1+m2）v12，

得绳刚拉紧时两者的共同速度

此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力f（f=μm3g），使物体向前（与v12同向）作加速运动，物体对拖车的摩擦力f′（f′=f）使拖车（包括小车）作减速运动，直至物体和拖车（包括小车）以共同速度u运动．

在这个过程中，设拖车（包括小车）对地面的位移为s2、物体对地面的位移为s3对拖车位移为d，如图所示．根据动能定理

对拖车和小车

由此解得拖车和物体的位移分别为

所以，物体在拖车平板上移动的距离．

【说明】根据物体间发生相对运动时，因摩擦损失的机械能是相互间的一对摩擦力做功的结果，数值上等于摩擦力与相对位移的乘积．由能的转化和实恒

立即可求出物体在平板上的滑移距离

!

iedtxx（`stylebkzd',`1107P03.htm'）【例11】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M．现以地面为参考系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度（如图），使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板．以地面为参考系，

（1）若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度的大小和方向．

（2）若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离．

【分析】

（1）把A、B两物体作为一个系统，它们之间相互作用的摩擦力为内力，系统在水平方向不受外力，相互作用的任一时刻都遵守动量守恒定律．A恰好有滑离B板，表示A到达B板左端时，两者具有共同的速度．

（2）小木块A的对地速度从最初向左的v0变到最后向右的共同速度，必是先向左减速至零，后向右从零加速．在这个过程中，水平方向仅受摩擦力作用，根据动能定理（或牛顿运动定律）即可求解．

【解】

（1）设A、B两者最后的共同速度为u．

取向右为正方向，由动量定恒得

Mv0－mv0=（M＋m）u．

所以最后的速度大小为

由于M＞m，u＜0，最后的速度方向向右．

（2）设小木块A从向左的速度v0减速到零通过的路程为S1,从速度为零向右加速到共同速度u通过的路程为S2，如图（a）所示．在这两个过程中，作用在小木块A上的摩擦力f的方向始终向右如图（b）所示．

对小木块A，由动能定理得

长木板B则一直向右运动，设它从开始运动到两者获得共同速度u经过的路程为L，同理由动能定理得

或

又由几何关系可知

联立式

（1）～（4），并代入u的值，即得小木块向左运动的最远处离出发点的距离

【说明】本题也可以利用v-t图求解．

通过对A、B两物体的运动过程和受力分析可知，两物体在水平方向受到大小、方向恒定的摩擦力作用，分别作着加速度大小、方向恒定的匀加速运动，它们的v-t图都是一条倾斜直线，达到共同速度后一起作匀速运动，是一条平行t轴的直线．

若以向右的方向为正方向，则A、B开始运动的速度分别为－v0，v0，它们的v-t图如图中AC和BC所示．图中D点对应的时间t1表示A从v0减速至零的时间；E点对应的时间t2表示两者从开始运动到达到共同速度的时间．三角形OAD的面积表示A向左运动达最远处距离（SOAD=S1），三角形CDE的面积表示A的速度从零起向右加速至u通过的距离（SCDE=S2）；梯形OBCE的面积表示木板B从开始运动到与A相对静止右行的距离（SOBCE=S）．

三段距离之间有关系式

又由△CDE∽△OAD，

联立式

（1）～（5），同样可解得