A．a1B．a3C．a1D．a3
8．（文科做）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是则是 （ ）
A．乙胜的概率B．乙不输的概率C．甲胜的概率D．甲不输的概率
8．（理科做）若向量、的坐标满足，，则·等于 （ ）
A． B． C． D．
9．（文科做）设一组数据的方差s2,将这组数据的每个数据乘以10,所得到一组新数据的方差是（）
A．0.1s2B．100s2C．10s2D．s2
9．（理科做）下列积分正确的一个是 （ ）
A．sinxdx=2B．=12
C．ex（1+ex）dx=D．dx=－e
10．已知双曲线－=1（a>）的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 （ ）
A．2B．C．D．
11．在平面直角坐标系中，点（x,y）中的x、y∈{0,1,2,3,4,5,6}且x≠y，则点（x,y）落在半圆
（x－3）2+y2=9（y≥0）内（不包括边界）的概率是 （ ）
A．B．C．D．
12．函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间上是增函数（）
A．（,）B．（π,2π）C．（,）D．（2π,3π）
二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分.把结果直接填在题中的横线上）
13．若施肥量x与水稻产量y的线性回归方程为=5x+250，当施肥量为80kg时，预计的水
稻产量为.
14.右图给出的是计算的值的一个程序
框图，其中判断框内应填入的条件是.
15有两个人在一座层大楼的底层进入电梯，设他们中的每
一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个
人在不同层离开的概率是．
16．直线y＝x－3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B
两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形
APQB的面积为．
17．点P是椭圆上一点,F1、F2是其焦点,若
∠F1PF2=90°,△F1PF2面积为．
18.（文科做）函数f（x）=x－ex在点P的切线平行于x轴,则点P的坐标为．
18.（理科做）由曲线y=、直线x=1、x=6和x轴围成的封闭图形的面积为．
三、解答题（本大题共有6小题，满分50分.解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤）
19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．
根椐上述信息回答下列问题：
（1）月收入在[3000,3500）的居民有多少人?
（2）试估计该地居民的平均月收入（元）；
（3）为了分析居民的收入与年龄、学历、职
业等方面的关系，要从这20000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步调查，则在[2500,3000）（元）月收入段应抽出多少人．
20.今有一批球票，按票价分别为10元票5张，20元票3张，50票2张，从这批票中抽出2
张.问：
（1）抽得2张均为20元的票价的概率
（2）抽得2张不同票价的概率.
（3）抽得票价之和等于70元的概率.
21.（文科做）已知命题p:
f（x）=,且,命题q:
集合,
B={x|x＞0},且，求实数a的取值范围，使p、q中有且只有一个为真命题。
21.（理科做）如图，在正方体中，是棱的中点，为平面
内一点，。
（1）证明平面；
（2）求与平面所成的角；
（3）若正方体的棱长为，求三棱锥的体积。
22．点M是曲线C上任意一点,它到F（4,0）的距离比它到直线x+2=0的距离大2,且P（2m,m）（m>0）,
，均在曲线C上．
（1）写出该曲线C的方程及m的值；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率．
23．已知双曲线（a＞0,b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且
（1）求双曲线的方程；
（2）过F的直线l交双曲线左支D点,右支E点,P为DE的中点,若以AF为直径的圆恰好经过P
点,求直线l的方程．
24．已知函数=，在x=－1处取得极值2．
（1）求函数的解析式；
（2）满足什么条件时，区间为函数的单调减区间？
（3）若为=图象上的任意一点，直线与=的图象切于点，
求直线的斜率的取值范围．
无锡市2006年春学期高一数学期末考试试卷答案2007.1
一．选择题
1．C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7D 8.B 9.B 10.D11.B12.C
二．填空题
13.650 14.n≥2015. 16.4817.918.（0,-1）18.
三．解答题.
19解：
（1）由频率分布直方图可知:
距（4000－1000）÷6=500,
在[3000,3500）内的频率为0.0003×500=0.15
∴月收入在[3000,3500）的居民有20000×0.15=3000（人）
（2）各组的频率分别为：
0.1、0.2、0.25、0.25、0.15、0.05.
1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400（元）
估计该地居民的平均月收入为2400（元）
（3）在[2500,3000）组中的频率为0.25
∴在[2500,3000）（元）月收入段应抽出300×0.25=75（人）
20.解:
（1）分别记10元票为1、2、3、4、5号，20元票为6、7、8号，50票为9、10号。
从中抽出2张，有如下基本事件（抽出1、2号用（1，2）表示）：
（1，2），（1，3），（1，4），……（1，10），
（2，3），（2，4），……（2，10），
（3，4），……（3，10），
……
（10，10），
共有9+8+7+…+1=45个基本事件.
设抽得2张均为20元的票价的事件为A,即:
（6,7）,（6,8）,（7,8）,故P（A）==
∴抽得2张均为20元的票价的概率为
（2）设抽得2张不同票价的事件为B,则对立事件为抽得2张相同票价的事件
即:
2张10元票（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）,（2,3），（2,4）,（2,5）,（3,4）.（3,5）,（4,5）,
2张20元票（6,7）,（6,8）,（7,8）
2张50元票（9,10）
共有10+3+1=14个结果,∴P（B）=1－P（）=1－=
即抽得2张不同票价的概率为
（3）设抽得票价之和等于70元的事件为C,即1张20元,1张50元,因此有（6,9）,（610）,
（7,9）,（7,10）,（8,9）,（8,10）,共有6个结果,P（C）==.
∴抽得票价之和等于70元的事件概率为.
21.（文科）
解：
命题p:
|f（x）|＜2,
命题q:
设判别式为
当时，，此时，
当时，由得
∴a>-4
（1）若p真q假--------------------2
（2）若p假q真---------------------2
∴实数a的取值范围为
21.（理科）
解
（1）设正方体的棱长为，
则，，
∵，
∴，又，
∴平面。
（2），设与所成的角为，
，
∴。
由
（1）知平面，∴为与平面所成的角。
。
（3）
22解：
（1）由题意:
M是曲线C上任意一点,它到F（4,0）的距离比它到直线x+2=0的距离大
2,因此,它到F（4,0）的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据圆锥曲线的定义可
知曲线C为抛物线,且以F（4,0）为其焦点,
设y2=2px,=4,2p=16∴曲线C的方程为
又P（2m,m）在曲线C上,∴m=4
（2）PA，ＰＢ倾斜角互补且斜率存在
……8分
由得，即
23.解
（1）∵AB⊥AC，BC⊥x轴,|BC|=6,∴AF=a+c=6,
直线BC:
x=c,代入,得:
y2=,B（c,）,C（c,－）.
∴∴a=1,c=2,从而b2=3
所求双曲线的方程为x2－=1.
（2）设直线l的方程为y=k（x－2）,代入3x2－y2=3,得:
（3－k2）x2+4k2x－4k2－3=0
，由题意x1x2=＜0,∴－＜k＜
x1+x2=,y1+y2=k（x1+x2）－4k=
∵P为DE的中点,∴P（,）,A（－1,0）,F（2,0）
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点,∴=0
（+1,）（－2,）=0,
（+1）（－2）+（）2=0,化简得54k2=18,k=±
此时直线l的方程y=±（x－2）.
24.解：
（1）已知函数=，
又函数在x=－1处取得极值2，∴，即
（2）由
x
（-1，1）
1
+
0
－
0
+
极大值2
极小值－2
所以的单调减区间为，
∵为函数的单调减区间，∴有
解得
即时，为函数的单调减区间。
（3）,
直线的斜率为
令，则直线的斜率，
∴.
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