江苏高考数学二轮复习练习11附加题部分有答案.docx
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江苏高考数学二轮复习练习11附加题部分有答案
专题限时集训(十一) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时:
120分钟)
1.(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l:
(t为参数),与曲线C:
(k为参数)交于A,B两点,求线段AB的长.
[解] 法一:
直线l的参数方程化为普通方程得4x-3y=4,
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x.4分
联立方程组解得或
所以A(4,4),B.
所以AB=.10分
法二:
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x.
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得2=4,即4t2-15t-25=0,8分
所以t1+t2=,t1t2=-.
所以AB=|t1-t2|==.10分
2.(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
[解]
(1)ρ=2⇒ρ2=4,所以x2+y2=4;因为ρ2-2ρcos=2,2分
所以ρ2-2ρ=2,所以x2+y2-2x-2y-2=0.
6分
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
8分
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin=.10分
3.(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N*,f(n)=3n+7n-2.
(1)求f
(1),f
(2),f(3)的值;
(2)证明:
对任意正整数n,f(n)是8的倍数.
[解]
(1)代入求出f
(1)=8,f
(2)=56,f(3)=368.2分
(2)证明:
①当n=1时,f
(1)=8是8的倍数,
命题成立.
②假设当n=k时命题成立,即f(k)=3k+7k-2是8的倍数,
那么当n=k+1时,f(k+1)=3k+1+7k+1-2=3(3k+7k-2)+4(7k+1),
6分
因为7k+1是偶数,所以4(7k+1)是8的倍数,
又由归纳假设知3(3k+7k-2)是8的倍数,
所以f(k+1)是8的倍数,
所以当n=k+1时,命题也成立.
根据①②知命题对任意n∈N*成立.10分
4.(本小题满分10分)利用二项式定理证明:
当n∈N*时,32n+2-8n-9能被64整除.
[解] 32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+C·8n+C·8n-1+…+C·82+C·8+1-8n-9=82·(8n-1+C·8n-2+C·8n-3+…+C),6分
而8n-1+C·8n-2+C·8n-3+…+C∈N*,所以32n+2-8n-9能被64整除.10分
5.(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a,b,c为正实数,求证:
++≥a+b+c.
【导学号:
56394086】
[证明] ∵a,b,c为正实数,
∴a+≥2b,b+≥2c,c+≥2a,4分
将上面三个式子相加得:
a+b+c+++≥2a+2b+2c,
∴++≥a+b+c.10分
6.(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f(x)=|x+1|-|x|+a.
(1)若不等式f(x)≥0的解集为空集,求实数a的取值范围;
(2)若方程f(x)=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.
[解]
(1)令g(x)=|x+1|-|x|,则f(x)≥0的解集为空集⇔g(x)≥-a的解集为空集⇔g(x)<-a恒成立,
g(x)=|x+1|-|x|=,作出函数g(x)的图象,由图可知,函数g(x)的最大值为g(x)max=1,所以-a>1,即a<-1.5分
综上,实数a的取值范围为(-∞,-1).
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)=|x+1|-|x|图象和y=x的图象如图所示,由题意可知,把函数y=g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y=x的图象始终有3个交点,从而-1<a<0.10分
7.(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11-9,已知△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交⊙O于点D,∠ACB=∠ADC.
求证:
AD·BC=2AC·CD.
图11-9
[证明] ∵∠ACB=∠ADC,AD是⊙O的直径,
∴AD垂直平分BC,设垂足为E(图略),
∵∠ACB=∠EDC,∠ACD=∠CED,
∴△ACD∽△CED,6分
∴=,∴AD·BC=AC·CD,
∴AD·BC=2AC·CD.10分
8.(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11-10,直线DE切圆O于点D,直线EO交圆O于A,B两点,DC⊥OB于点C,且DE=2BE,求证:
2OC=3BC.
图11-10
[证明] 连接OD,设圆的半径为R,BE=x,则OD=R,DE=2BE=2x,
Rt△ODE中,∵DC⊥OB,∴OD2=OC·OE,∴R2=OC(R+x),①
4分
∵直线DE切圆O于点D,∴DE2=BE·AE,
∴4x2=x(2R+x),②,∴x=,8分
代入①,解得OC=,
∴BC=OB-OC=,∴2OC=3BC.10分
9.(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中,点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3),求矩阵A.
[解] 设A=,
因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量,
所以=(-1)=.
所以6分
因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3),
所以=.所以8分
解得a=1,b=2,c=2,d=1,所以A=.10分
10.(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)
已知α=为矩阵A=属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2.
[解] 由条件可知=λ,
∴解得a=λ=2.6分
因此A=,
所以A2==.10分
11.(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
【导学号:
56394087】
[解]
(1)设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A,则P(A)=1-P()=1-=.4分
(2)由题意可得:
X=5a,6a,7a,8a.
P(X=5a)===,P(X=6a)===,6分
P(X=7a)===,P(X=8a)===.
X
5a
6a
7a
8a
P
E(X)=5a×+6a×+7a×+8a×=a.10分
12.(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样一个游戏项目:
甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率;
(2)在两次游戏中,记获奖次数为X,求X的数学期望.
[解]
(1)记“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0,1,2,3).
则P(A3)==.
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分
(2)获奖的概率为P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)=+=.
X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=×=,
P(X=1)=C×=,P(X=2)=×=.8分
X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.10分
(或:
∵X~B,∴E(X)=2×=,同样给分)
13.(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图11-11,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=λBB1(λ≠0).
图11-11
(1)若λ=,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,求实数λ的值.
[解] 以{,,}为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.
(1)因为=(1,2,2),=(2,0,1),
所以cos〈,〉=
==.
所以AP与AQ所成角的余弦值为.4分
(2)由题意可知,=(0,0,2),=(2,0,2λ).
设平面APQ的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=-2,则x=2λ,y=2-λ.
所以n=(2λ,2-λ,-2).7分
又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°,
所以|cos〈n,〉|===,
可得5λ2-4λ=0,又因为λ≠0,所以λ=.10分
14.(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图11-12,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.
图11-12
(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;
(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.
[解]
(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD,
又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.
分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),
则由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).
所以=(-1,1,2),=(0,0,4),
所以cos〈,〉=
==,
所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.6分
(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4),
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则即令x=2,解得y=0,z=1,
所以m=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.8分
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,
所以|cos〈,m〉|===,解得λ=1∈[0,4],
所以λ的值为1.10分
15.(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C上.
图11-13
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B.若直线AR,BR分别交直线l:
y=2x+2于M,N两点,求线段MN最小时直线AB的方程.
[解]
(1)将R(1,2)代入抛物线中,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.2分
(2)设AB所在直线方程为x=m(y-1)+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
与抛物线联立
得:
y2-4my+4(m-1)=0,所以y1+y2=4m,y1y2=4(m-1).
设AR:
y=k1(x-1)+2,
由得xM=,
而k1===,
可得xM=-,同理xN=-.6分
所以|MN|=|xM-xN|=2,
令m-1=t(t≠0),则m=t+1,
所以|MN|=|xM-xN|=2≥,
此时m=-1,AB所在直线方程为x+y-2=0.10分
16.(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线x2=2py(p>0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2,
(1)求抛物线的方程;
(2)如图11-14,点E是抛物线上异于原点的点,抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P,直线PF与抛物线相交于A,B两点,求△EAB面积的最小值.
【导学号:
56394088】
图11-14
[解]
(1)抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,
因为M(m,1),由抛物线定义,知MF=1+,
所以1+=2,即p=2,
所以抛物线的方程为x2=4y.2分
(2)因为y=x2,所以y′=x.
设点E,t≠0,则抛物线在点E处的切线方程为y-=t(x-t).
令y=0,则x=,即点P.
因为P,F(0,1),所以直线PF的方程为y=-,即2x+ty-t=0.
则点E到直线PF的距离为d==.4分
联立方程消元,得t2y2-(2t2+16)y+t2=0.
因为Δ=(2t2+16)2-4t4=64(t2+4)>0,
所以y1=,
y2=,
所以AB=y1+1+y2+1=y1+y2+2=+2=.6分
所以△EAB的面积为S=××=×.
不妨设g(x)=(x>0),则g′(x)=·(2x2-4).
因为x∈(0,)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递减;x∈(,+∞)上,g′(x)>0,所以g(x)在(,+∞)上单调递增.
所以当x=时,g(x)min==6.
所以△EAB的面积的最小值为3.10分