高三数学一轮复习精品教案1线面面面垂直的判定与性质教学设计.docx
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高三数学一轮复习精品教案1线面面面垂直的判定与性质教学设计
9.5直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
（2）直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．
2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．
3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．
『试一试』
1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”）．
『解析』根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．
『答案』必要不充分
2．（2014·盐城摸底）设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
（1）若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；
（2）若m⊥α，n∥m，则n⊥α；
（3）若n∥α，m⊂α，则n∥m；
（4）若m∥α，n∥α，则m∥n.
其中真命题是________（填序号）．
『解析』对于
（1），n⊂α，n与α相交，n⊥α都有可能；对于（3），n与m异面，n∥m都有可能；对于（4），m与n相交，平行，异面都有可能．
『答案』
（2）
3．（2014·常州模拟）给出下列命题：
（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；
（4）若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中所有真命题的序号为________．
『解析』由判定定理可知
（1）正确；
（2）中没有明确这两条直线是否相交，故
（2）错误；由等角定理可知（3）正确；（4）中若与交线不垂直的直线与另一个平面垂直，可在该平面内作一条与交线垂直的线，则该直线必定垂直于另一个平面，这样与交线垂直的直线和不垂直的直线相互平行，这在同一平面内相互矛盾，故（4）正确．
『答案』
（1）（3）（4）
1．转化与化归思想——垂直关系
2．判定线面垂直的常用方法
（1）利用线面垂直的判定定理．
（2）利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
（3）利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
（4）利用面面垂直的性质．
3．判定线线垂直的方法：
（1）平面几何中证明线线垂直的方法；
（2）线面垂直的性质：
a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；
（3）线面垂直的性质：
a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
4．判断面面垂直的方法
（1）利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理：
a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
『练一练』
1．（2014·南通期末）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：
（1）α∥β⇒l⊥m；
（2）α⊥β⇒l∥m；（3）l∥m⇒α⊥β；（4）l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是________（填序号）．
『解析』
（1）正确；
（2）中l与m还可以是异面或相交的位置关系，
（2）不正确；（3）正确；（4）中α与β可能相交，（4）不正确．
『答案』
（1）（3）
2．已知平面α，β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.（填所选条件的序号）
『解析』若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.
『答案』②④
考点一
垂直关系的基本问题
1．（2014·郑州模拟）设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．
『解析』依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．
『答案』充分不必要
2．（2014·合肥模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题
①
⇒β∥γ ②
⇒m⊥β
③
⇒α⊥β ④
⇒m∥α
其中正确的命题是________（填写序号）．
『解析』对于②，直线m与平面β可能平行或相交；对于④，直线m可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．
『答案』①③
3．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：
①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
『解析』①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，
故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．
『答案』①②④
『备课札记』
『类题通法』
解决此类问题常用的方法有
（1）依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；
（2）否定命题时只需举一个反例；
（3）寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选．
考点二
线面垂直的判定与性质
『典例』 （2013·重庆高考）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2
，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝
.
（1）求证：
BD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥PBDF的体积．
『解』
（1）证明：
因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形．
又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.
（2）三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD＝
BC·CD·sin∠BCD＝
×2×2×sin
＝
.
由PA⊥底面ABCD，得
VPBCD＝
·S△BCD·PA＝
×
×2
＝2.
由PF＝7FC，得三棱锥FBCD的高为
PA，故
VFBCD＝
·S△BCD·
PA＝
×
×
×2
＝
.
所以VPBDF＝VPBCD－VFBCD＝2－
＝
.
『备课札记』
『类题通法』
1．解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．
2．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
『针对训练』
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
（1）求证：
直线AE⊥直线DA1；
（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.
『解』
（1）证明：
连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，
又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.
（2）所示G点即为A1点，证明如下：
由
（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，
∵AE⊂平面AHE，
∴DF⊥AE.
又DF∩A1D＝D，
∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.
考点三
面面垂直的判定与性质
『典例』 （2014·连云港期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点，E为BD的中点，F在AC1上，且AC1＝4AF.求证：
（1）平面ADF⊥平面BCC1B1；
（2）EF∥平面ABB1A1.
『证明』
（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.
因为BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
又AD⊂平面ADF，
所以平面ADF⊥平面BCC1B1.
（2）连结CF并延长交AA1于点G，连结GB.
因为AC1＝4AF，AA1∥CC1，所以CF＝3FG.
因为D为BC的中点，E为BD的中点，
所以CE＝3EB，所以EF∥GB.
又EF⊄平面ABB1A1，GB⊂平面ABB1A1，
所以EF∥平面ABB1A1.
『备课札记』
『类题通法』
1．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．
2．由平面和平面垂直的判定定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
3．平面和平面垂直的判定定理的两个条件：
l⊂α，l⊥β，缺一不可．
『针对训练』
（2013·徐州、宿迁三检）如图，AB，CD均为圆O的直径，CE垂直圆O所在的平面，BF∥CE.求证：
（1）平面BCEF⊥平面ACE；
（2）直线DF∥平面ACE.
证明：
（1）因为CE垂直圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以CE⊥BC.
因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC.
因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，
所以BC⊥平面ACE.
因为BC⊂平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE.
（2）由
（1）知AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，
所以BD⊥BC.
因为AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD.
因为BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，
所以BD∥平面ACE.
因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE.
因为BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF，
所以平面BDF∥平面ACE.
因为DF⊂平面BDF，所以直线DF∥平面ACE.
考点四
平行与垂直的综合问题
空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题角度有：
1平行与垂直关系的证明.
2探索性问题中的平行与垂直关系.
3折叠问题中的平行与垂直关系.
角度一 平行与垂直关系的证明
1．如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．
（1）求证：
EF∥平面ABC1D1；
（2）求证：
CF⊥B1E.
证明：
（1）如图，连结BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，
∴EF为△DD1B的中位线，
∴EF∥D1B，
而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，
∴EF∥平面ABC1D1.
（2）在等腰直角三角形BCD中，∵F为BD的中点，
∴CF⊥BD， ①
在正方体ABCDA1B1C1D1中，
DD1⊥平面ABCD，∵CF⊂平面ABCD，
∴DD1⊥CF， ②
综合①②，且DD1∩BD＝D，
DD1，BD⊂平面BDD1B1，
∴CF⊥平面BDD1B1，而B1E⊂平面BDD1B1，
∴CF⊥B1E.
角度二 探索性问题中的平行与垂直关系
2.如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点，M为BC的中点．
（1）求证：
CD⊥平面SAD；
（2）求证：
PQ∥平面SCD；
（3）若SA＝SD，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？
并证明你的结论．
『解』
（1）证明：
因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面SAD.
（2）证明：
连结PM，QM.
因为Q，P，M分别为SB，AD，BC的中点．
所以QM∥SC，PM∥DC.
因为QM∩PM＝M，QM，PM⊂平面PQM，SC∩DC＝C，
所以平面PQM∥平面SCD，
又PQ⊂平面PQM，
所以PQ∥平面SCD.
（3）存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD.
连结PC，DM交于点O，连结SP.
因为SA＝SD，P为AD的中点，
所以SP⊥AD.
因为平面SAD⊥平面ABCD，
所以SP⊥平面ABCD，SP⊥PC.
在△SPC中，过O点作NO⊥PC交SC于点N，此时N为SC的中点
则SP∥NO，则NO⊥平面ABCD，
因为NO⊂平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD，
所以存在满足条件的点N.
角度三 折叠问题中的平行与垂直关系
3．如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝
，EF＝2＋
，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥EABCD（E，F重合）．
（1）求证：
BE⊥DE；
（2）设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.
『解』
（1）证明：
∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB.
又∵AB∩AE＝A，
∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE.
由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝
，
∴AE2＋BE2＝AB2，
即AE⊥BE.又∵AE∩AD＝A，
∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.
（2）取EC的中点G，BE的中点P，连结PM，PG，MG.
则MP∥AE，GP∥CB∥DA，∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE.
∵MP∩GP＝P，∴平面MPG∥平面DAE.
∵MG⊂平面MPG，∴MG∥平面DAE，即存在点N与G重合满足条件．
『备课札记』
『类题通法』
平行与垂直的综合应用问题的处理策略
（1）探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
（2）折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系．
『课堂练通考点』
1．（2014·扬州期末）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：
（1）若a⊥b，a⊥α，则b∥α；
（2）若a⊥β，α⊥β，则a∥α；
（3）若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
（4）若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的序号是________．
『解析』
（1）中，b可能在平面α内；
（2）中，a可能在平面α内；（3）中，因为a∥α，a⊥β，所以α内必存在一条直线b与a平行，从而得到b⊥β，故（3）正确；（4）中，因为a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b⊂α，故α内必有一条直线c与b平行，又b⊥β，所以c⊥β，故α⊥β，所以（4）正确．
『答案』（3）（4）
2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是________．
『解析』∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
『答案』n∥α
3．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且a⊥β，则α∥β；
（3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；
（4）若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.
上面命题中，所有真命题的序号是________．
『解析』
（1）中a与b可能相交或异面，故不正确．
（2）垂直于同一直线的两平面平行，正确．
（3）中存在γ，使得γ与α，β都垂直．
（4）中只需直线l⊥α且l⃘β就可以．
『答案』
（2）（3）（4）
4．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：
（1）AM∥平面BDC1；
（2）DC1⊥平面BDC.
证明：
（1）取BC1的中点N，连结DN，MN，则MN綊
CC1.
又AD綊
CC1，
∴AD∥MN，且AD＝MN，
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴DN∥AM，又DN⊂平面BDC1，AM⊄平面BDC1，
∴AM∥平面BDC1.
（2）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，又CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC，
又由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，∴DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，
∴DC1⊥平面BDC.
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