3．注意事项
（1）合力的方向：
因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
（2）规定速度的唯一性：
火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。
速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
例1 有一列质量为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400m。
（g取10m/s2）
（1）试计算铁轨受到的侧压力大小；
（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
（1）内外轨一样高火车靠什么提供向心力？
提示：
外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
（2）要使铁轨受到的侧压力为零，需要满足什么条件？
提示：
需要重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[规范解答]
（1）m＝100t＝1×105kg，v＝72km/h＝20m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
F＝m
＝1×105×
N＝1×105N。
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小为1×105N。
（2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtanθ＝m
，由此可得tanθ＝
＝0.1。
[完美答案]
（1）1×105N
（2）0.1
火车转弯（或汽车转弯）问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。
（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。
如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。
则在该弯道处（ ）
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
答案 AC
解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，并不一定会向内侧滑动，B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力指向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，C正确；由mgtanθ＝m
可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。
课堂任务
汽车过拱形桥和航天器中的失重现象
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：
如图甲、乙是汽车行驶中的两种情景，在拱形桥、凹形路面上如图所示的位置什么力给汽车提供向心力？
汽车对桥面或路面的压力有什么特点？
提示：
不管是拱形桥还是凹形路面在如图所示位置竖直方向都是受重力和支持力，它们的合力提供向心力。
但是，拱形桥的圆心在下、凹形路面的圆心在上，也就是汽车过拱形桥最高点时向心力向下，过凹形路面最低点时向心力向上，则汽车过拱形桥时重力大于支持力，过凹形路面时重力小于支持力。
所以汽车过拱形桥时对桥面的压力小于重力，过凹形路面时对路面的压力大于重力。
活动2：
汽车在过拱形桥、凹形路面时有超重、失重现象吗？
提示：
汽车过拱形桥最高点时，加速度向下，是失重；汽车过凹形路面最低点时，加速度向上，是超重。
活动3：
如果汽车过拱形桥最高点时，支持力为零会出现什么情况？
提示：
如果汽车的速度达到一定大小，支持力为零，处于完全失重状态，汽车将离开桥面做平抛运动，会有安全隐患。
活动4：
讨论、交流、展示，得出结论。
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：
mg－FN＝m
，即FN＝mg－m
，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为FN′＝mg－m
。
由此可知汽车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小。
当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝m
，得vm＝
，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。
2．汽车过凹形路面
汽车在最低点满足关系：
FN－mg＝m
，即FN＝mg＋m
，由牛顿第三定律可知，汽车对路面压力FN′＝mg＋m
。
由此可知汽车对路面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越大，故凹形路面易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。
3．绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态
航天器绕地球做匀速圆周运动，其重力提供绕地球运动的向心力，而其重力加速度也就成为向心加速度，这个加速度也是向下的，故处于完全失重状态。
以在近地轨道运行的航天器为例，其轨道半径近似等于地球半径R：
（1）质量为M的航天器：
航天器的重力提供向心力，满足关系：
Mg＝M
，则v＝
。
（2）质量为m的航天员：
航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：
mg－FN＝
。
当v＝
时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。
（3）航天器内的任何物体都处于完全失重状态。
例2 如图所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20m。
如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105N，则：
（1）汽车允许的最大速度是多少？
（2）若以所求速度行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？
（g取10m/s2）
（1）汽车过凹形路面和凸形桥面时做什么样的运动？
提示：
汽车过凹形路面、凸形桥面时做竖直平面内的圆周运动。
（2）汽车过凹形路面和凸形桥面的向心力如何求解？
提示：
据牛顿第二定律，过凹形路面最低点时，Fn＝FN－mg＝m
；过凸形桥最高点时，Fn＝mg－FN＝m
。
[规范解答]
（1）汽车在凹形路面底部时，对路面压力最大。
由牛顿第三定律得，此时路面对车的支持力FN＝3.0×105N，
由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m
代入数据解得v＝10m/s。
（2）汽车在拱形桥面顶部时，对桥压力最小。
由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝m
代入数据解得FN′＝1.0×105N
由牛顿第三定律知压力等于1.0×105N。
[完美答案]
（1）10m/s
（2）1.0×105N
解决汽车过凹形路面和拱形桥的问题的一般步骤
对于汽车过凹形路面和拱形桥的问题，明确汽车的运动情况是解题的关键。
具体的解题步骤是：
（1）选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
（2）正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。
（3）根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
一辆质量m＝2t的轿车，驶过半径R＝90m的一段凸形桥面，g＝10m/s2，求：
（1）轿车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
（2）在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？
答案
（1）1.78×104N
（2）30m/s
解析
（1）轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得
mg－FN＝m
故桥面对车的支持力大小
FN＝mg－m
＝
N≈1.78×104N，
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104N。
（2）对桥面的压力等于零时，轿车受到的支持力为零，向心力Fn＝mg＝m
所以此时轿车的速度大小
v′＝
＝
m/s＝30m/s。
课堂任务
竖直平面内的圆周运动模型
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：
甲、乙、丙三幅图物体在轨道顶点受绳、轨道或杆的弹力有什么特点？
提示：
甲图中物体受绳或轨道的弹力向下，而且只能是向下。
乙图中处于轨道的外轨道，受到的弹力只能是向上的支持力，不可能向下。
丙图中，杆对小球的力或者是管道对小球的力可以向上或向下甚至为零。
活动2：
甲图中要满足什么条件小球才能过最高点？
提示：
由于所受弹力只能向下，向下的力至少等于重力，故向心力必须不小于重力小球才能过最高点。
活动3：
乙、丙图中小车或小球过顶点需要什么条件？
提示：
乙、丙图中轨道或杆给小车或小球的力都可以向上，故只要过顶点前速度不为零就行。
活动4：
讨论、交流、展示，得出结论。
1．竖直平面内的圆周运动模型
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。
一是只有拉（压）力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推（支撑）力的，称为“拱桥模型”；三是可拉（压）可推（支撑），如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
2．三种模型对比
例3 长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（ ）
A．6.0N的拉力B．6.0N的压力
C．24N的拉力D．24N的压力
（1）小球在竖直平面内运动，怎么理解达到最高点的速度v＝
？
提示：
小球在竖直平面内运动，如果达到最高点的速度为v＝
，说明此时刚好是重力充当向心力，也就是说v＝
是由mg＝m
得来的。
（2）通过最高点时，细杆什么时候会受到小球的拉力？
什么时候会受到小球的压力？
提示：
当小球在最高点的速度v>
时，细杆会受到小球的拉力；当小球在最高点的速度v<
时，细杆会受到小球的压力。
[规范解答] 设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝m
得v0＝
＝
m/s＝
m/s。
由于v＝2.0m/s<
m/s，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球有支持力，如图所示，为小球的受力情况图。
由牛顿第二定律mg－N＝m
，
得N＝mg－m
＝
N＝6.0N
由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0N的压力，B正确。
[完美答案] B
竖直面内圆周运动的求解思路
（1）确定模型：
首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
（2）确定临界点：
v临＝
，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力还是拉力的临界点。
（3）分析求解：
对物体在最高点或最低点等进行受力分析，列方程求解。
当物体在最高点或最低点时有F合＝F向＝m
＝mω2r。
（多选）如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端有固定轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动，已知小球通过最高点P时，速度的大小为vP＝
，已知小球通过最低点Q时，速度的大小为vQ＝
，则小球的运动情况为（ ）
A．小球到达圆周轨道的最高点P时受到轻杆向上的弹力
B．小球到达圆周轨道的最低点Q时受到轻杆向上的弹力
C．小球到达圆周轨道的最高点P时不受轻杆的作用力
D．若小球到达圆周轨道的最高点P速度增大，则在P点受到轻杆向下的弹力增大
答案 BD
解析 小球在P点的速度vP＝
>
，所以小球在P点受到的弹力向下，且随着vP增大，受到向下的弹力增大，A、C错误，D正确。
在最低点Q点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。
（多选）如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管运动，设小球经过最高点P时的速度为v，则（ ）
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由
逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由
逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
答案 BD
解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn＝m
，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝
时，圆管弹力为零，故v由
逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由
逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。
例4 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm，g取10m/s2。
求：
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；（结果保留三位有效数字）
（2）若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小。
（1）如何理解在最高点水不流出来的情形？
提示：
如果桶在最高点的速度为0或较小，那么水就会在重力作用下流出来，所以桶在最高点必须有一个最小速度，即临界速度，只要当桶在最高点的速度大于或等于临界速度时，水才不会流出来。
（2）绳模型中最高点的临界速度是多少？
提示：
绳模型中物体通过最高点，至少受重力作用，所
以向心力最小等于重力。
由mg＝m
求出临界速度v＝
。
[规范解答]
（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。
此时有：
mg＝m
则所求速率即为桶的最小速率：
v0＝
≈2.24m/s。
（2）在最高点水桶的速率v＝3m/s>2.24m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，
则由牛顿第二定律有：
FN＋mg＝m
代入数据可得：
FN＝4N
由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：
FN′＝4N。
[完美答案]
（1）2.24m/s
（2）4N
绳模型和杆模型中物体做的都是变速圆周运动，在最高点和最低点时都是由物体在竖直方向所受的合力提供向心力。
杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是（g＝10m/s2）（ ）
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的速度v＝4m/s＝
，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。
课堂任务
离心运动的理解和应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：
F合表示什么意思？
F合＝mω2r时物体做什么运动？
提示：
F合是一个物体受到的所有外力的合力。
当F合＝mω2r时，合外力等于所需的向心力，物体做匀速圆周运动。
活动2：
F合＝0表示什么意思？
F合＝0时，物体会怎样运动？
提示：
F合＝0表示物体受到的所有外力的合力为零，相当于不受力，这里相当于物体做圆周运动的向心力突然消失。
向心力消失后，物体不再转弯，将沿切线方向飞出做离心运动，如图中线条1。
活动3：
如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力或者合外力大于需要的向心力，物体又会怎样运动？
提示：
如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力，物体会远离圆心做离心运动，如图中线条2。
如果合外力大于需要的向心力，物体就会做近心运动，如图中线条3。
活动4：
讨论、交流、展示，得出结论。
1．离心运动的理解
（1）若F合＝mω2r或F合＝
，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
（2）若F合>mω2r或F合>
，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。
（3）若F合，物体远离圆心，做离心运动，即“需要”大于“提供”，也就是“提供不足”。
若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动。
2．几种常见的离心运动
例5 （多选）如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。
若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是（ ）
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
（1）物体做离心运动的条件是什么？
提示：
物体所受沿轨迹半径方向的合力突然为零或沿轨迹半径方向的合力小于所需要的向心力。
（2）离心运动一定是直线运动吗？
提示：
不一定。
离心运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。
[规范解答] 若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。
若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做曲线运动，B正确，D错误。
若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。
[完美答案] BC
离心现象的三点注意事项
（1）离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。
（2）做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
（3）物体的质量越大、线速度越大（或角速度越大）时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。
关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是（ ）
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
答案 B
解析 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。
A组：
合格性水平训练
1．（离心运动的理解）关于离心运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动
答案 D
解析 物体一直不受外力作用，物体应保持静止状态或匀速直线运动状态，A错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力等于向心力，当外界提供的向心力增大时，物体所需的向心力并没有增大，物体将做近心运动，B错误；做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化，物体可能仍做圆周运动，例如变速圆周运动，也可能做近心运动或离心运动，C错误；根据离心运动的条件可知，D正确。
2．（航天器中的失重现象）（多选）航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是（ ）
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