内蒙古赤峰市宁城县届高三第三次模拟考试数学理附答案.docx

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内蒙古赤峰市宁城县届高三第三次模拟考试数学理附答案

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（理科）

注意事项：

1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（∁U）

（A）（B）（C）（D）

2．双曲线的渐近线方程为

（A）（B）（C）（D）

3．二项式的展开式中，常数项的值是

（A）（B）（C）（D）

4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

（A）（B）

（C）（D）

5．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的

（A）充分且不必要条件（B）必要且不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

6．若，则常数a的值为

（A）1（B）2（C）-1（D）0

7．在中，，，则等于

（A）（B）（C）（D）或

8．设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是

9．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

10.已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，则该椭圆的离心率为

（A）（B）（C）（D）

11.在△ABC中，AB=1，AC=2，，点O是△ABC的外心，存在实数，使，则

（A）（B）（C）（D）

12.已知函数，对于任意的，存在实数使得，则的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（理科）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：

24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．是虚数单位，复数，则．

14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩近似服从正态分布，，参赛学生共600名.若在内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为.

15．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆内的概率为___________．

16．设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则=___________.

三、解答题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）

已知数列{}满足

（I）求{}的通项公式；

（II）设{}的前项和为，证明：

.

18．（本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.

日销售量（个）

19.（本小题满分12分）

己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，，，又知

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知直线的方程是和抛物线，自上任意一点作抛物线的两条切线，设切点分别为，

（Ⅰ）求证：

直线恒过定点.

（Ⅱ）求△PAB面积的最小值.

21．（本小题满分12分）

已知．记的导函数是.

（Ⅰ）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）的图象与轴交于）两点,中点为，求证：

．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:

几何证明选讲

如图，内接于圆，平分交圆于点，过点作圆的切线交直线于点.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求证：

.

23.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.

24．（本小题满分10分）选修4-5:

不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：

BAADCABCDABC

二、填空题：

13、1；14、12；15、；16、.

三、解答题：

17．（Ⅰ）解：

-------------------5分

（Ⅱ）

设

二式相减得

所以-----------------8分

因为，所以时，（直接写不扣分）

所以---------------10分

所以-----12分

（当且仅当时等号“=”成立）

18．解

（1）设

里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个.所以----------------------------------------4分

（2）X可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为

---------------------------------------6分

X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

分布列为:

-----------8分

---------------------------------------12分

19.解（Ⅰ）得，

因为底，所以

又，所以面，

所以

因为，，

所以底……………………4分

（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB为别为轴，过C垂直于底面ABC的直线为轴建立空间直线坐标系（如图），---------------5分

由（Ⅰ）知平面的法向量为，-----6分，

设平面的法向量为，则

即，从而--------------------------9分

---------------------11分

因为均指向外部，所以二面角的余弦为-----12分

20．（Ⅰ）证明：

设

因为，所以切线PA的方程是

即①，同理切线PB的方程是②--------3分

由①②得，显然直线AB存在斜率.

设直线AB的方程是，代入得

所以，即，③

代入得-------------------------------------------5分

即直线AB的方程是，恒过定点-------------6分

（Ⅱ）解：

--------------------9分

点P到直线AB的距离是-----10分

△PAB的面积

当时△PAB的面积取得最小值-----------------------12分

21解

（1）依题意：

．∴

∵在上递增，∴对恒成立，

即对恒成立，只需．----------3分

∵，∴，当且仅当时取“＝”，

∴，∴b的取值范围为．-------------------5分

（2）由已知得两式相减，得．

由及，得

------------8分

令．

∵，∴在上递减，---------10分

∴．又，-------------12分

22.

（1）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD………………2分

又∵AD平分∠BAC∴∠EBD=∠CAD………………4分

又∵∠CBD=∠CAD∴∠EBD=∠CBD…………5分

（2）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB

∴△EBD∽△EAB………………7分

∴∴AB•BE=AE•BD………9分

又∵AD平分∠BAC∴BD=DC

故AB•BE=AE•DC………………10分

23.解：

（1）曲线的普通方程为，

化成极坐标方程为-----------3分

曲线的直角坐标方程为……………5分

（2）在直角坐标系下，，，线段是圆的直径

由得

是椭圆上的两点，在极坐标下，设

分别代入中，

有和

则，即.……………10分

24．解：

（1）……………………2分

……………………6分

（2）恒成立

即……………10分