2017-2018高中数学人教版必修四：平面向量的基本定理课件.pptx

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2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理1.了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量（重点）2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义（难点）3.两个向量的夹角与两条直线所成的角（易混点）基础初探教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题1定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e22基底：

不共线基底的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组判断（正确的打“”，错误的打“”）

（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底（）

（2）若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2（1，2为实数）可以表示该平面内所有向量（）（3）若ae1be2ce1de2（a，b，c，dR），则ac，bd.（）【解析】

（1）错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底

（2）正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示（3）错误当e1与e2共线时，结论不一定成立【答案】

（1）

（2）（3）教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题abOAaOBb图2311.夹角：

已知两个非零向量和，作，则AOB叫做向量a与b的夹角（如图231所示）

（1）范围：

向量a与b的夹角的范围是0180

（2）当0时，a与b同向；当180时，a与b反向2垂直：

如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab如图232，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为ACABCAAB图232【解析】根据向量夹角定义可知向量，夹角为BAC，而向量，ABACCAAB夹角为BAC故二者互补【答案】互补质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

小组合作型用基底表示向量

（1）已知AD是ABC的BC边上的中线，若ABa，ACb，则AD（）1A2（ab）11C2（ab）1B2（ab）D2（ab）OAaOB

（2）如图233，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，b，则OP，OQ.（用a，b表示）【精彩点拨】图233用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则【自主解答】

（1）如图所示，因为AEABAC2AD，1所以（ab）AD2112121

（2）OPAPAO3ABOA3（OBOA）OA3OA3OB3a3b，221212OQAQAO3ABOA3（OBOA）OA3OA3OB3a3b.【答案】

（1）D

（2）21123a3b3a3b平面向量基本定理的作用以及注意点：

（1）根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算

（2）要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量AB再练一题1已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，ACb用a，b表示AD，AE，AF.图234【解】ADABBDAB2BC1111a2（ba）2a2b；121AEABBEAB3（ba）3a3b；2212AFABBFAB3BCa3（ba）3a3b.向量的夹角问题

（1）（2016韶关高一检测）已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，cab，ca，则a，b的夹角等于

（2）若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角【精彩点拨】可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决【自主解答】BCCABA

（1）作a，b，则cab（如图所示），则a，b夹角为180C因为|a|1，|b|2，ca，所以C60，所以a，b的夹角为120.【答案】120

（2）由向量运算的几何意义知ab，ab是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60.又OCab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.两向量夹角的实质与求解方法：

（1）两向量夹角的实质：

从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决

（2）求解方法：

利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出再练一题2已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是，ab与a的夹角是.【导学号：

00680045】【解析】如图所示，作OAa，OBb，则AOB60，以OA，OB为邻边作OACB，则OCOAOBab，BAOAOBab，BCOAa.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角为60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角为30.【答案】3060探究共研型平面向量基本定理的综合应用探究1OPxOAyOB在向量等式中，若xy1，则三点P、A、B具有什么样的位置关系？

【提示】三点P、A、B在同一直线上在向量等式OPxOAyOB中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1.探究2如图235所示，有点O，A，D，B，以OA和OB为邻边作一平行四边形ADBO，将此平行四边形的各边所在直线延长，将平面分成9部分，对于平面上任一向量OC，存在唯一有序实数对（x，y），使OCxOAyOB成立图235对于点C的位置与实数x，y的取值情况需分几种讨论？

【提示】需分12种情况

（1）点C与点O重合，则xy0.

（2）点C与点A重合，则x1，y0.（3）点C与D重合，则xy1.（4）点C与点B重合，则x0，y1.（5）点C在直线OA上，则xR，y0.（6）点C在直线AD上，则x1，yR.（7）点C在直线BD上，则xR，y1.（8）点C在直线OB上，则x0，yR.（9）点C在直线OD上，则xy.（10）点C在直线AB上，则xy1.（11）点C在区域上，则x1；点C在区域上，则0x1；点C在区域上，则x0.（12）点C在区域上，则y0；点C在区域上，则0y1.OAaOB如图236所示，在OAB中，b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求OP.图236【精彩点拨】可利用tOM及OPONNPONsNB两种形式来表OP示OP，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.OP【自主解答】2212OMOAAMOA3ABOA3（OBOA）3a3b.t2t因为与OM共线，故可设OPtOMab.OP33又33NP与NB共线，可设NPsNB，OPONsNB4OAs（OBON）4（1s）asb，所以3t4（1s）3，2s3t，解得93t10，s5，33所以OP10a5b.1任意一向量基底表示的唯一性的理解：

结论条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e212，122.任意一向量基底表示的唯一性的应用：

平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：

（1）直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理

（2）利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解再练一题13如图237所示，在ABC中，点M是AB的中点，且AN2NC，BN与CM相交于E，设ABa，ACb，试用基底a，b表示向量AE.图237【解】1111易得ACb，AMABa，AN3322由N，E，B三点共线，设存在实数m，1满足mAN（1m）ABmb（1m）a.AE3由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：

AEnAM1（1n）ACna2（1n）b.11所以3mb（1m）a2na（1n）b，1m1，2n由于a，b为基底，所以13m1n，解之得m35，4n5，21所以AE5a5b.构建体系1（2016黄石高一检测）已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该）平面内所有向量基底的是（AAB，DCCBC，CBBAD，BCDAB，DA由于，DA不共线，所以是一组基底AB【解析】【答案】D2已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c）6e12e2的关系是（A不共线C相等B共线D不确定【解析】ab3e1e2，c2（ab），ab与c共线【答案】B13如图238，在矩形ABCD中，若BC5e，DC3e2，则OC（）图238A1e3e）2（51211C2（3e25e1）1B2（5e13e2）D2（5e23e1）【解析】11OC2AC2（BCAB）112（BCDC）2（5e13e2）【答案】A4（2016福州市八县一中高一联考）已知A，B，D三点共线，且对任一点C，4有CD3CACB，则（）【导学号：

00680046】A23B13C13D23【解析】A，B，D三点共线，存在实数t，使，则t（CBADtABCDCA，即CA）CDCAt（CBCA）341t，t，1即3.（1t），CAtCB【答案】C5已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.【解】a，b不共线，可设cxayb，则xaybx（3e12e2）y（2e1e2）（3x2y）e1（2xy）e27e14e2.又e1，e2不共线，3x2y7，x1，2xy4，解得y2，ca2b.