相似三角形与圆综合题.docx
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相似三角形与圆综合题
1已知：
如图，AB是ΘO的直径，E是AB延长线上一点，过E作ΘO的切线ED,切点为GADLED交ED于点D,交ΘO于点F,CGLAB交AB于点G.
求证：
BG?
AG=DF?
DA
2、已知：
如图，AB为ΘO的直径，ABLACBC交ΘO于D,E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.
（1）求证：
DE为ΘO的切线.
⑵求证：
ABAC=BF:
DF.
3、（南通）已知：
如图，AB是ΘO的直径，AB=AC,BC交OO于点D,DE⊥AqE为垂足.
（1）求证：
∠ADE=∠B;
⑵过点O作OF//AD与ED的延长线相交于点F,求证：
FD?
DA=FC?
DE.
4、如图，AB为ΘO的直径，BF切ΘO于点B,AF交ΘO于点D,点C在DF上，BC交ΘO于点E,且∠BAF=2
∠CBF,CGLBF于点G,连接AE.
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
⑵求证：
△BCG^△ACE
⑶若∠F=60°,GF=I,求ΘO的半径长.
DE⊥AB分别交ΘO于E,交AB于H,
5、如图，ABAC分别是ΘO的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
（1）求证：
PC是ΘO的切线；
⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DE?
DF,为什么？
⑶在⑵的条件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的长.
6、如图，ABAC分别是ΘO的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦
交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
（1）求证：
PC是ΘO的切线；
⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DE?
DF,为什么?
⑶在⑵的条件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的长.
7、如是ΘO的直径，CBCD分别切ΘO于BD两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC
（1）求证：
AE是ΘO的切线;
⑵过点D作DF⊥AB于点F,连接BE交DF于点M求证：
DM=MF
8、已知：
如图,
AB是ΘO的直径，D是ΘO上一点，连结
BD并延长，使CD=BD连结AG过点D作DEL
AC,垂足是点E.过点B作BELAB,交ED延长线于点F,连结OF。
求证：
（I）EF是ΘO的切线;
（2）△OBF^△DEC
9、如图，已知AB是ΘO的直径，C是ΘO上一点，ODLBC于点D,过点C作ΘO
切线，交OD的延长线于点E,连结BE.
（1）求证：
BE与ΘO相切；
2
⑵连结AD并延长交BE于点F,若OB=6,且Sin∠ABC=,求BF的长.
3
10、如图，AB是ΘO的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交ΘO于点D,
（1）求证：
DE是ΘO的切线;
AC4AF砧/古
⑵若，求——的值；
AB5DF
⑶在⑵的条件下，若ΘO直径为10,求厶EFD的面积.
11、已知：
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,以AB为直径作ΘO,BC交ΘO于点D,E是边AC的中点，ED
AB的延长线相交于点F.
求证：
（1）DE为ΘO的切线.
（2）AB?
DF=ACBF.
12、如图，以△ABC的边AB为直径的ΘO与边BC交于点D,过点D作DElAC垂足为E,延长ABED交
于点F,AD平分∠BAC
（1）求证：
EF是ΘO的切线；
⑵若AE=3AB=4,求图中阴影部分的面积.
13、知AB是ΘO的直径，直线I与ΘO相切于点C且AC=AD,弦CD交AB于E,BF⊥l,垂足为F,BF
交ΘO于Gb
（1）求证：
cE=FG∙FB;
1
⑵若tan∠CBF=,AE=3,求ΘO的直径。
2
14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD
长线于E.
求证：
①AE//BD②AD=DF∙AE
15、已知：
□ABCD过点D作直线交AC于E,交BC于F,交AB的延长线于G经过B、GF三点作ΘQ过E作ΘO的切线ET,T为切点.
求证：
ET=ED
16、如图，△ABC中，AB=AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C
作CDLBA垂足为D.
求证：
（1）∠DAC=2∠B;
（2）CA2=CD∙CO
相似三角形与圆的综合考题（教师版）
1已知：
如图，AB是ΘO的直径，E是AB延长线上一点，过于点D,交ΘO于点F,CGLAB交AB于点G
求证：
BG?
AG=DF?
DA
证明：
连接BCFCCQ
•••过E作ΘQ的切线ED,
∙∙∙∠DCF玄CAD
∠D=∠D,•••△CDF^△ADC
CDDF
•=二,
—2
.∙.CD=AD×DF,
∙∙∙CGLAB,AB为直径，
∙∠BCA玄AGC∠BGC=90,
∙∠GBC∠BCG=90,∠BCG∠GCA=90,
∙∠GBC∠ACG
•••△BGC^△CGA
CGBC
∙CG=BG×AG
E作ΘQ的切线ED,切点为C,ADLED交ED
•••过E作ΘQ的切线ED,∙QCLDE∙∙∙ADLDE∙CQllAD
∙∠QCA∠CAD∙∙∙AQ=CQ
∙∠QAC∠QCA
∙∠QAC∠CAD
在^AGC^n△ADC中,
rzCCA-zD
4ZCAC=ZDAC
LAC=AC,
•△AGC^ADC（AAS,•CG=CD
∙BG×AG=A×DF.
（1）求证：
DE为ΘO的切线.
⑵求证：
ABAC=BF:
DF.
2、已知：
如图，AB为ΘO的直径，AB丄AC,BC交ΘO于D,E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.
（3）-.∠3+zDβ.4=90fliz3÷z4=90o”
-N∙i=fDBA,
∕zCP√l=zBPΛ=90flJ
ADi
ΛB⅛QθMg,
-ZCDA=£BDA=90λ*
∖CE-EΛ,
.∖DE-EAI
.∖Z1=Z4f
∖OD=OAJ
--上2二上3r
■.z4+z3=9ODh
∕Z1÷z2=OOqr即:
∆EDO-^°,
-O.
为0O的切线：
AB_BD
AC-ZDr
-^FDB+^BD（）=90erZ^B^+z3=S0s,
D=OBI
ΛΛBDO-ΛDBOJ
..^A=r
*∕ZF=ZF「
.i.-∕1jD*λ-FDB,
.BD_BF
…一WDF,
EF
AC~DFr
即:
AC=BF；DF.
3、（南通）已知：
如图，AB是ΘO的直径，AB=ACBC交ΘO于点D,DEIACE为垂足.
（1）求证：
∠ADE=∠B;
⑵过点O作OF//AD与ED的延长线相交于点F,求证：
FD?
DA=FC?
DE.
解：
（1）方法一：
证明：
连接OD
∙∙∙OA=OD
∙∙∙∠OAD∠ODA
∙∙∙AB是ΘO的直径，
∙∠ADB=90,即ADLBC.
又∙∙∙AB=AC
∙∙∙AD平分∠BAC即∠OAD∠CAD
∙∙∙∠ODA∠DAE=ZOAD
τ∠ADE+∠DAE=90,
∙∠ADE+∠ODA=90,即∠ODE=90,ODLDE.
∙∙∙0D是ΘO的半径，
∙EF是ΘO的切线.
∙∠ADE玄B.
方法二：
∙∙∙AB是ΘO的直径，
∙∠ADB=90,又DELAC,
∙∠DEA=90,
∙∠ADB玄DEA
•••△ABC中，AB=ACADLBC
∙AD平分∠BAC即∠DAE=/BAD
•••△DAE^△BAD
∙∠ADE=/B.
（2）证明：
IOF//AD,
∙∠F=∠ADE
又τ∠DEA=/FDO（已证），
•••△FDO^△DEA
•FD:
DE=FODA即FD?
DA=FODE
点评：
本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；
（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明.
4、如图，AB为ΘO的直径，BF切ΘO于点B,AF交ΘO于点D,点C在DF上,
BC交ΘO于点E,且∠BAF=2∠CBF,CGLBF于点G连接AE
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
⑵求证：
△BCG^△ACE
⑶若∠F=60°,GF=I,求ΘO的半径长.
解：
（1）如图1,
∙∙∙AB是ΘO的直径,∙∙∙∠AEB=90.
∙∙∙AE⊥BC
（2）如图1,
∙∙∙BF与ΘO相切，
∙∠ABF=90.
∙∠CBF=90-∠ABE=ZBAE
∙∙∙∠BAF=2∕CBF.
∙∠BAF=2∕BAE
∙∠BAE=ZCAE
∙∠CBF=ZCAE
∙∙∙CGLBF,AE⊥BC
∙∠CGB∠AEC=90.
∙∙∙∠CBF=ZCAE∠CGB∠AEC
•••△BCG^△ACE
（3）连接BD,如图2所示.
∙∙∙∠DAE玄DBE∠DAE玄CBE
∙∠DBE玄CBF.
∙∙∙AB是ΘO的直径，
∙∠ADB=90.
•BD⊥AF.
∙∙∙∠DBCZCBF,BDLAF,CGLBF,
•CD=CG
∙∙∙∠F=60°,GF=1,∠CGF=90,
CC
•tan∠F=_：
J=CG=tan60°=辽
∙∙∙CG=荃,
•CD=".
∙∙∙∠AFB=60,∠ABF=90,
∙∠BAF=30.
∙∙∙∠ADB=90,∠BAF=30,
∙∙∙AB=2BD
τ∠BAE=/CAE∠AEB=ZAEC
∙∠ABE=ZACE
∙AB=AC
设ΘO的半径为r,贝UAC=AB=2,BD=r.
∙∙∙∠ADB=90,
∙AD="r.
∙DC=AC-AD=2r-"r=（2-"J；）r=".
∙r=2；+3.
∙ΘO的半径长为2"+3.
解析：
（1）由AB为ΘO的直径即可得到AE与BC垂直.
（2）易证∠CBFNBAE再结合条件∠BAF=2ZCBF就可证到∠CBFNCAE易证∠CGB∠AEC从而证到厶
BCG^△ACE
（3）由∠F=60°,GF=I可求出CG=±;连接BD,容易证到∠DBC∠CBF,根据角平分线的性质可得
DC=CG^;设圆O的半径为r,易证AC=AB∠BAD=30,从而得至UAC=2r,AD^r,由DC=AC-AD=3可求出ΘO的半径长.
5、如图，ABAC分别是ΘO的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交ΘO于E,交AB于H,
交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
（1）求证：
PC是ΘO的切线；
⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DE?
DF,为什么？
⑶在⑵的条件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的长.
分析：
（1）连接OC证明∠OCP=90即可.
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.
（3）可以先根据勾股定理求出DH,再通过证明△OGA^AOHD得出AC=2AG=2D,求出弦AC的长.
解答：
（1）证明：
连接OC
∙∙∙PC=PFOA=OC
∙∠PCA=/PFC∠OCA∠OAC
∙∙∙∠PFC=ZAFH）DELAB,
∙∠AHF=90,∙∠PCO∠PCA+/ACO∠AFH+/FAH=90,
∙∙∙PC是ΘO的切线.
（2）解：
点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD=DE?
DF,理由如下:
连接AE
•••点D在劣弧AC中点位置，
∙∠DAF=ZDEA
τ∠ADE玄ADE
•••△DAF^△DEA
•ADED=FDAD,
•AD=DEPDF.
（3）解：
连接OD交AC于G
∙∙∙OH=1AH=2
•OA=3即可得OD=3
.∙.DH=OD=OH2=渥=2返.
•••点D在劣弧AC中点位置，
•AC⊥DO
∙∠OGA∠OHD=90,
在厶OGA和厶OHD中,
ZOGA=^OHD
«ΛDOA-ΛAOD
OA=OD
•△OGA≤^OHD（AAS,
•AG=DH
•AC=4「.
连接圆心与这点（即为半径）
点评：
本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点,再证垂直即可•同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质.
6、如图，ABAC分别是ΘO的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交ΘO于E,交AB于H,
交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
（1）求证：
PC是ΘO的切线；
⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DE?
DF,为什么？
⑶在⑵的条件下，若OHM,AH=2,求弦AC的长.
（1）证明：
连接OC
∙∙∙PC=PFOA=OC
∙∙∙∠PCA玄PFC∠OCA∠OAC
τ∠PFC=ZAFH）DELAB,
∙∠AHF=90,
∙∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH=90,
∙PC是ΘO的切线.
（2）解：
点D在劣弧AC中点位置时，才能使aD=DE?
DF,理由如下:
连接AE
•••点D在劣弧AC中点位置，
∙∠DAF=ZDEA
τ∠ADE玄ADE
•••△DAF^△DEA
•ADED=FDAD,
•AD=DEPDF.
（3）解：
连接OD交AC于G
∙∙∙OH=1AH=2
•OA=3即可得OD=3
∙DH=IL∙i=^=2".
•••点D在劣弧AC中点位置，
•ACLDO
∙∠OGA∠OHD=90,
在厶OGA^OHD中,
rzOGA-zOHD
•△OGA^△OHD（AAS,•AG=DH
∙∙∙AC=4".
解析：
（1）连接OC证明∠OCP=90即可.
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.
（3）可以先根据勾股定理求出DH再通过证明△OGA^AOHD得出AC=2AG=2D,求出弦AC的长。
7、如图，AB是ΘO的直径,
CBCD分别切ΘO于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC
（1）求证：
AE是ΘO的切线；
⑵过点D作DF⊥AB于点F,连接BE交DF于点M求证：
DM=MF证明：
（1）连接ODOE
∙∙∙CBCD分别切ΘO于B、D两点，
∙∠ODE=90,CD=CE
∙∙∙CE=AE+BCCE=CD+D,E
∙AE=DE∙∙∙OD=OAOE=OE
•••△ODE^△OAE（SSS,
∙∠OAE=/ODE=90,
•OALAE,
•
AE是ΘO的切线；
CE
DM
CEZ=
DE
MF
DM
AE一DE
∙∙∙DM=MF
解析：
（1）首先连接ODOE由CBCD分别切ΘO于BD两点，即可得∠ODE=90,CD=CE又由CE=AE+BC
CE=CD+D,即可证得AE=DE则可得△ODE^AOAE即可证得AE是ΘO的切线；
（2）首先易证得AE//DF//BC然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可
求得DM=MF
8、已知：
如图，AB是ΘO的直径，D是ΘO上一点，连结BD并延长，使CD=BD连结AG过点D作DEL
AC,垂足是点E.过点B作BELAB,交ED延长线于点F,连结OF。
求证：
（I）EF是ΘO的切线；
（2）△OBF^△DEG
证明：
（1）连结OD
∙∙∙AB是ΘO的直径，
∙OA=OB
又∙∙∙CD=BD
∙OD/AC,
∙∙∙DELAC,
∙∠DEC=90,∠ODE=90,
•••点D是ΘO上一点，
∙EF是ΘO的切线。
（2）τBFLAB,AB是ΘO的直径，
∙BF是ΘO的切线，
∙∙∙EF是ΘO的切线，
∙∠BFO=ZDFOFB=FD
∙OFLBD
τ∠FDB=ZCDE
∙∠OFD=/C,
∙∠C=∠OFB
又τ∠CED=/FBO=90,
•••△OBF^△DEC
9、如图，已知AB是ΘO的直径，C是ΘO上一点，ODLBC于点D,过点C作ΘO
切线，交OD的延长线于点E,连结BE.
（1）求证：
BE与ΘO相切;
2
⑵连结AD并延长交BE于点F,若OB=6,且Sin∠ABC=,求BF的长.
3
解：
（1）连结COIODLBC∙∙∙∠1=∠2,再由CO=OBOE公共，•••△OCE^△OBE（SAS）∙∠OCE=∠OBE
又CE是切线，∠OCE=90°,∙∠OBE=90°∙BE与ΘO相切
（2）备用图中，作DHLOB于H,H为垂足，
2
•••在Rt△ODB中,OB=6,且Sin∠ABC=,∙OD=4,
3
4JK8
同理Rt△ODHPRt△ODB∙DH=,OH=
3
3
又∙∙∙Rt△ABFPRt△AHD∙FB:
DH=AB：
AlH
45—
12
3
6+8
3
考点：
切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。
点评：
熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。
但解法不唯一，属于中档题。
10、如图，AB是ΘO的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交ΘO于点D,丄AC交AC的延长线于点E,OE交AD于点F。
（1）求证：
DE是ΘO的切线；
ΛC_4.4F
⑵若—，求三二的值；
⑶在⑵的条件下，若ΘO直径为10,求厶EFD的面积.试题分析：
（1）连接OD根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ODA推出OD//AC,根据平行线性质
和切线的判定推出即可；
（2）先由
（1）得OD/AE,再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案;
（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可
（1）连接OD
因为OA="OD"
所以∠OAD=∠ODA
又已知∠OAD=∠DAE可得∠ODA=∠DAE,所以ODllAC,
又已知DELAC
可得DElOD
所以DE是ΘO的切线;
（2）由
（1）得OD/AE,
.AFAE
"DF-0D*
又淫车幺
点评：
此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大
AB20D5
又∙∙∙E是边AC的中点，
1
∙∙∙DE=AE=AC,
2
∙∠1=∠4,
∙∠4+∠3=∠1+∠2=90°,即°.
又∙∙∙AB是ΘO的直径，
∙DE为ΘO的切线；
（2）如图，IAB丄AC,AD⊥BC,
∙∠3=∠C（同角的余角相等）.
又τ∠ADB=/CDA=90,
•••△ABD^△CAD
•ABBD
AC一AD
易证△FAMAFDB
•BDBF
AD^DF，
•ABBF
"AC一DF，
•AbPDF=ACBF.
解析：
（1）连接ODAD,求出CDA=ZBDA=90,点E为AC中点，求出∠1=∠4,∠2=∠3,推出∠4+∠3=∠1+
∠2=90°,根据切线的判定即可；
rStABBDBDBFABBF
（2）证厶ABD^ACAD推出——=——，再证△FAD^AFDB推出——=——，得——=——，即可得
ACADADDFACDF
出AbPDF=ACBF.
12、如图，以△ABC的边AB为直径的ΘO与边BC交于点D,过点D作DElAC垂足为E,延长ABED交
于点F,AD平分∠BAC
（1）求证：
EF是ΘO的切线；
（2）若AE=3AB=4,求图中阴影部分的面积.
解:
（1）连接OD
∙∙∙OA=OD
∙∠OAD∠ODA
tAD平分∠BAC
∙∙∙∠OAD∠CAD
∙∙∙∠ODA∠CAD
∙ODllAC,
∙∙∙DE⊥AC,
∙∠DEA=90,∙∠ODF∠DEA=90,
∙∙∙OD是半径,
∙EF是ΘO的切线.
∙∠BDA玄DEA=90,
τ∠BAD玄CAD
•ABADAD一AE,
即"=AD
AD3,
•AD=2",
•cos∠BAD=AD"
AB
∙∠BAD=30,∠
BOD=∠BAD=60,
1
•BD=AB=2
2
12"×2=",
C—1
•∙SBO=—SABt=—×—×
2
60二2
222
•S阴影=S扇形BoDSABOI=-P3=—兀—J3
3603
解析：
（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出∠OAD=/ODA∠DAE推出ODlAC,推出ODLEF,根据切线的判定推出即可；
（2）证厶BAD^△DAE求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出∠BAD=30,求出∠BOD=60和求出
BD=2=OB=OD求出扇形BODFHABOD的面积，相减即可.
13、知AB是ΘO的直径，直线I与ΘO相切于点C且AC=AD,弦CD交AB于E,BF⊥I,垂足为F,BF交ΘO于GO
（1）求证：
cE=FG∙FB;
1
⑵若tan∠CBF=,AE=3,求ΘO的直径。
2
解：
（1）证明：
连结AC,
∙∙∙AB为直径，∠ACB=90,
∙.∙AC*D,且AB是直径，
∙∙∙AB丄CD即CE是Rt△ABC的高，
∙∙∙∠A=∠ECB∠ACE玄EBC
∙∙∙CE是Θ0的切线，
∙∠FCB=ZA,CF=FG∙FB,
∙∠FCB=ZECB
τ∠BFC=ZCEB=90,CB=CB
•••△BCF^△BCE
•CE=CF
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