相似三角形与圆综合题.docx

1、相似三角形与圆综合题1已知：如图，AB是 O的直径，E是AB延长线上一点，过 E作 O的 切线ED,切点为G ADL ED交ED于点D,交 O于点F, CGL AB交AB于 点G.求证：BG?AG=DF?DA2、已知：如图，AB为 O的直径，ABL AC BC交 O于D, E是AC的 中点，ED与 AB的延长线相交 于点F.(1)求证：DE为 O的切线.求证：AB AC=BF: DF.3、(南通)已知：如图，AB是 O的直径，AB=AC, BC交OO于点D, DE Aq E为垂足.(1)求证： ADE= B;过点O作OF/ AD与ED的延长线相交 于点F,求证：FD?DA=FC?DE.4、如图

2、，AB为 O的直径，BF切 O于点B, AF交 O于点D,点C在DF上，BC交 O于点E,且 BAF=2 CBF, CGL BF 于点 G,连接 AE.(1)直接写出AE与BC的位置关系；求证： BCG ACE 若 F=60, GF=I ,求 O的半径长.DE AB分别交 O于E,交AB于H,5、如图，AB AC分别是 O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦 交AC于F. P是ED延长线上一点且 PC=PF.(1)求证：PC是 O的切线；点D在劣弧AC什么位置时，才能使 AD=DE?DF,为什么？ 在 的条件下，若 OH=1, AH=2 ,求弦AC的长.6、如图，AB AC分别是 O的直径和弦

3、，点D为劣弧AC上一点，弦交AC于F. P是ED延长线上一点且 PC=PF.(1)求证：PC是 O的切线；点D在劣弧AC什么位置时，才能使 AD=DE?DF,为什么? 在 的条件下，若 OH=1, AH=2 ,求弦AC的长.7、如是 O的直径，CB CD分别切 O于B D两点，点E在CD的延长线上，且 CE=AE+BC(1)求证：AE是 O的切线;过点D作DF AB于点F,连接BE交DF于点M 求证：DM=MF8、已知：如图,AB是 O的直径，D是 O上一点，连结BD并延长，使 CD=BD连结AG过点D作DELAC,垂足是点 E.过点B作BEL AB,交ED延长线于点 F,连结OF。求证：(I

4、)EF是 O的切线;(2) OBF DEC9、如图，已知 AB是 O的直径，C是 O上一点，ODL BC于点D,过点C作 O切线，交OD的延长线于点E,连结BE.(1)求证：BE与 O相切；2 连结AD并延长交 BE于点F,若OB= 6,且Sin ABC= ,求BF的长.310、如图，AB是 O的直径，AC是弦， BAC的平分线 AD交 O于点D,(1)求证：DE是 O的切线;AC 4 AF砧/古若 ，求的值；AB 5 DF 在 的条件下，若 O直径为10,求厶EFD的面积.11、已知：如图，在 Rt ABC中， A=90,以AB为直径作 O, BC交 O于点D, E是边AC的中点，EDAB的

5、延长线相交于点 F.求证：(1)DE为 O的切线.(2)AB ?DF=ACBF.12、如图，以 ABC的边AB为直径的 O与边BC交于点D,过点D作DElAC垂足为 E,延长AB ED交于点F, AD平分 BAC(1)求证：EF是 O的切线； 若AE=3 AB=4,求图中阴影部分的面积.13、知AB是 O的直径，直线I与 O相切于点C且AC=AD ,弦CD交AB于E, BF l ,垂足为F, BF交 O于Gb(1)求证：cE=FG FB;1若tan CBF= , AE=3,求 O的直径。 214.如图，圆内接四边形 ABCD的对角线AC平分 BCD长线于E.求证： AE/ BD AD = DF

6、 AE15、已知： ABCD过点D作直线交 AC于E,交BC于F,交AB的延长线于 G经过B、G F三点作 Q 过E作 O的切线ET, T为切点.求证：ET = ED16、如图， ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以 O为圆心，OB长为半径的圆与 AC相切于点A，过点C作CDL BA垂足为D.求证：(1) DAC = 2 B;(2)CA 2 = CD CO相似三角形与圆的综合考题（教师版）1已知：如图，AB是 O的直径，E是AB延长线上一点，过 于点D,交 O于点F, CGLAB交AB于点G求证：BG?AG=DF?DA证明：连接BC FC CQ过E作 Q的切线ED, DCF玄 CAD

7、D= D, CDF ADCCD DF=二,2. CD=AD DF, CGL AB, AB 为直径， BCA玄 AGC BGC=90 , GBC BCG=90 , BCG GCA=90 , GBC ACG BGC CGACG BC, CG=BG AGE作 Q的切线ED,切点为 C, ADL ED交ED过E作 Q的切线ED, QCL DE ADL DE CQll AD QCA CAD AQ=CQ QAC QCA QAC CAD在 AGCn ADC中,rzCCA- zD4 ZCAC=ZDACLAC=AC , AGC ADC (AAS , CG=CD BG AG=A DF.（1）求证：DE为 O的切线

8、.求证：AB AC=BF: DF.2、已知：如图，AB为 O的直径，AB丄AC, BC交 O于D, E是AC的中点，ED与AB的延长线相交 于点F.(3 ) -. 3+zD.4 = 90fl i z3z4 = 90o ”-Ni = fDBA ,zCPl = zBP = 90fl JAD iBQMg ,-ZCDA=BDA=90 *CE-E,.DE-EA I.Z1 =Z4 f OD=OA J-上2二上3 r. z4+z3=9OD h Z1z2=OOq r 即:EDO- ,- O.为0 O的切线：AB _ BDAC-ZD r- FDB+BD()=90e r ZB+z3=S0s ,D=OBIBDO-D

9、BOJ.A = r*Z F=ZF.i.- 1jD*-FDB ,.BD_BF一WDF ,EFACDFr即: AC=BF ； DF .3、（南通）已知：如图，AB是 O的直径，AB=AC BC交O于点D, DEIAC E为垂足.(1)求证： ADE= B;过点O作OF/ AD与ED的延长线相交 于点F,求证：FD?DA=FC?DE.解：（1）方法一：证明：连接OD OA=OD OAD ODA AB是 O的直径， ADB=90 ,即 ADL BC.又 AB=AC AD平分 BAC 即 OAD CAD ODA DAE=Z OAD ADE+ DAE=90 , ADE+ ODA=90 ,即 ODE=90

10、, ODL DE.0D是 O的半径， EF是 O的切线. ADE玄 B.方法二： AB是 O的直径， ADB=90 ,又 DEL AC, DEA=90 , ADB玄 DEA ABC中，AB=AC ADL BC AD平分 BAC 即 DAE=/ BAD DAE BAD ADE=/ B.(2)证明：I OF/ AD, F= ADE又 DEA=/ FDO (已证)， FDO DEA FD: DE=FO DA 即 FD?DA=FODE点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质； （2）题乘积的 形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明.4、如图，A

11、B为 O的直径，BF切O于点B, AF交 O于点D,点C在DF上,BC交 O于点 E,且 BAF=2 CBF, CGL BF于点 G 连接 AE（1）直接写出AE与BC的位置关系；求证： BCG ACE 若 F=60, GF=I ,求 O的半径长.解：（1）如图1, AB是 O的直径, AEB=90 . AE BC(2)如图1 , BF与 O相切， ABF=90 . CBF=90 - ABE=Z BAE BAF=2 CBF. BAF=2 BAE BAE=Z CAE CBF=Z CAE CGL BF, AE BC CGB AEC=90 . CBF=Z CAE CGB AEC BCG ACE(3)

12、连接BD,如图2所示. DAE玄 DBE DAE玄 CBE DBE玄 CBF. AB是 O的直径， ADB=90 .BD AF. DBCZ CBF, BDL AF, CGL BF,CD=CG F=60, GF=1, CGF=90 ,CCtan F=_： J=CG=tan60 =辽 CG=荃,CD=. AFB=60 , ABF=90 , BAF=30 . ADB=90 , BAF=30 , AB=2BD BAE=/ CAE AEB=Z AEC ABE=Z ACE AB=AC设 O的半径为r ,贝U AC=AB=2, BD=r. ADB=90 , AD= r. DC=AC-AD=2r- r= (2

13、-J ；) r= . r=2 ；+3. O的半径长为2 +3.解析：(1) 由AB为 O的直径即可得到 AE与BC垂直.(2) 易证 CBFN BAE再结合条件 BAF=2Z CBF就可证到 CBFN CAE易证 CGB AEC从而证到厶BCG ACE(3) 由 F=60, GF=I可求出 CG=;连接 BD,容易证到 DBC CBF,根据角平分线的性质可得DC=CG;设圆 O 的半径为 r ,易证 AC=AB BAD=30 ,从而得至U AC=2r, ADr ,由 DC=AC-AD=3 可求出 O的半径长.5、如图，AB AC分别是 O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE AB分别交 O

14、于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延长线上一点且 PC=PF.(1)求证：PC是 O的切线；点D在劣弧AC什么位置时，才能使 AD=DE?DF,为什么？ 在 的条件下，若 OH=1, AH=2 ,求弦AC的长.分析：(1)连接OC证明 OCP=90即可.(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.(3)可以先根据勾股定理求出 DH,再通过证明 OGAA OHD得出AC=2AG=2D,求出弦AC的长.解答：(1)证明：连接OC PC=PF OA=OC PCA=/ PFC OCA OAC PFC=Z AFH) DEL AB, AHF=90 , PCO PCA+/ ACO

15、 AFH+/ FAH=90 , PC是 O的切线.(2) 解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使 AD=DE?DF,理由如下:连接AE点D在劣弧AC中点位置， DAF=Z DEA ADE玄 ADE DAF DEAAD ED=FD AD,AD=DEPDF.(3)解：连接OD交AC于G OH=1 AH=2OA=3即可得OD=3. DH=OD=OH2=渥=2返.点D在劣弧AC中点位置，AC DO OGA OHD=90 ,在厶OGA和厶OHD中 ,ZOGA=OHD DOA-AODOA = OD OGA OHD( AAS ,AG=DHAC=4.连接圆心与这点(即为半径)点评：本题考查了切线的判定. 要证某

16、线是圆的切线， 已知此线过圆上某点, 再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质.6、如图，AB AC分别是 O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE AB分别交 O于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延长线上一点且 PC=PF.(1)求证：PC是 O的切线；点D在劣弧AC什么位置时，才能使 AD=DE?DF,为什么？ 在 的条件下，若 OHM, AH=2,求弦AC的长.(1)证明：连接OC PC=PF OA=OC PCA玄 PFC OCA OAC PFC=Z AFH) DEL AB, AHF=90 , PCO PCA+ ACO AFH+ FAH=90 , PC是 O的切线

17、.(2) 解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使 aD=DE?DF,理由如下:连接AE点D在劣弧AC中点位置， DAF=Z DEA ADE玄 ADE DAF DEAAD ED=FD AD,AD=DEPDF.(3)解：连接OD交AC于G OH=1 AH=2OA=3即可得OD=3 DH=IL i= =2 .点D在劣弧AC中点位置，ACL DO OGA OHD=90 ,在厶 OGA OHD中 ,rzOGA-zOHD ZDOA = ZAODOA=OD , OGA OHD( AAS , AG=DH AC=4 .解析：(1)连接OC证明 OCP=90即可.(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三

18、角形相似得出.(3) 可以先根据勾股定理求出 DH再通过证明 OGAA OHD得出AC=2AG=2D,求出弦AC的长。7、如图，AB是 O的直径,CB CD分别切 O于B、D两点，点 E在CD的延长线上，且 CE=AE+BC(1)求证：AE是 O的切线；过点D作DF AB于点F,连接BE交DF于点M 求证：DM=MF 证明：(1)连接OD OE CB CD分别切 O于B、D两点， ODE=90 , CD=CE CE=AE+BC CE=CD+D,E AE=DE OD=OA OE=OE ODE OAE ( SSS, OAE=/ ODE=90 ,OAL AE,AE是 O的切线；CEDMCE Z=DE

19、MFDMAE 一 DE DM=MF解析：(1)首先连接 OD OE由CB CD分别切 O于B D两点，即可得 ODE=90 , CD=CE又由CE=AE+BCCE=CD+D,即可证得 AE=DE则可得 ODEA OAE即可证得 AE是 O的切线；(2) 首先易证得 AE/ DF/ BC然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF8、已知：如图， AB是 O的直径，D是 O上一点，连结 BD并延长，使 CD=BD连结AG过点D作DELAC,垂足是点 E.过点B作BEL AB,交ED延长线于点 F,连结OF。求证：(I)EF是 O的切线；(2) OBF DEG证明

20、：(1)连结OD AB是 O的直径， OA=OB又 CD=BD OD/ AC, DEL AC, DEC=90 , ODE=90 ,点D是 O上一点， EF是 O的切线。(2) BFL AB, AB是 O 的直径， BF是 O的切线， EF是 O的切线， BFO=Z DFO FB=FD OFL BD FDB=Z CDE OFD=/ C, C= OFB又 CED=/ FBO=90 , OBF DEC9、如图，已知 AB是 O的直径，C是 O上一点，ODL BC于点D,过点C作 O切线，交OD的延长线于点E,连结BE.(1)求证：BE与 O相切;2 连结AD并延长交 BE于点F,若OB= 6,且Si

21、n ABC= ,求BF的长.3解：(1)连结 CO I ODL BC 1 = 2,再由 CO= OB OE公共， OCE OBE ( SAS ) OCE= OBE又 CE是切线， OCE= 90, OBE= 90 BE与 O相切(2)备用图中，作 DHL OB于 H, H为垂足，2在 Rt ODB中, OB= 6 ,且 Sin ABC= , OD= 4,34 JK 8同理 Rt ODHP Rt ODB DH= , OH=33又 Rt ABFP Rt AHD FB : DH= AB ： AlH45 1236+83考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。点评：熟知以上定义性质，根据已

22、知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中 档题。10、如图，AB是 O的直径，AC是弦， BAC的平分线 AD交 O于点D, 丄AC交AC的延长线于点 E, OE交AD于点 F。(1)求证：DE是 O的切线；C _4 .4F若 ，求三二的值； 在 的条件下，若 O直径为10,求厶EFD的面积. 试题分析：(1)连接OD根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得 CAD= ODA推出OD/ AC,根据平行线性质和切线的判定推出即可；(2)先由(1)得OD/ AE,再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案;(3)根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可(1)连接OD因为 OA

23、 = OD所以 OAD = ODA又已知 OAD = DAE 可得 ODA = DAE , 所以 ODll AC ,又已知DEL AC可得DEl OD所以DE是 O的切线;(2)由(1)得 OD/ AE,.AF AEDF-0D*又淫车幺点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大AB 20D 5又 E是边AC的中点，1 DE=AE= AC,2 1 = 4, 4+ 3= 1 + 2=90 ,即 .又 AB是 O的直径， DE为 O的切线；(2)如图，I AB丄 AC, AD BC, 3= C (同角的余角相等).又 ADB=/ CDA=90 , ABD

24、CADAB BDAC 一 AD易证 FAMA FDBBD BFAD DF，AB BFAC 一 DF，AbPDF=ACBF.解析：(1)连接 OD AD,求出 CDA=Z BDA=90 ,点 E 为 AC中点，求出 1= 4, 2= 3,推出 4+ 3= 1 + 2=90 ,根据切线的判定即可；r S t AB BD BD BF AB BF(2)证厶ABDA CAD推出 =，再证 FADA FDB推出 =，得=，即可得AC AD AD DF AC DF出 AbPDF=ACBF.12、如图，以 ABC的边AB为直径的 O与边BC交于点D,过点D作DElAC垂足为 E,延长AB ED交于点F, AD

25、平分 BAC(1)求证：EF是 O的切线；(2)若AE=3 AB=4,求图中阴影部分的面积.解: ( 1)连接 OD OA=OD OAD ODAt AD平分 BAC OAD CAD ODA CAD ODll AC, DE AC, DEA=90 , ODF DEA=90 ,OD是半径, EF是 O的切线. BDA玄 DEA=90 , BAD玄 CADAB AD AD 一 AE ,即=ADAD 3 ,AD=2 , cos BAD=AD AB BAD=30 , BOD= BAD=60 ,1BD= AB=221 2 2=,C 1 S BO= SABt= 260 二 22 2 2 S 阴影=S 扇形 B

26、oDS ABOI= -P3 =兀J3360 3解析：(1) 根据等腰三角形性质和角平分线性质得出 OAD=/ ODA DAE推出ODl AC,推出ODL EF,根据切 线的判定推出即可；(2) 证厶BAD DAE求出 AD长，根据锐角三角函数的定义求出 BAD=30 ,求出 BOD=60和求出BD=2=OB=OD求出扇形 BODFHA BOD的面积，相减即可.13、知AB是 O的直径，直线I与 O相切于点C且AC=AD,弦CD交 AB于E, BF I ,垂足为F, BF交 O 于 GO(1)求证：cE=FG FB;1若tan CBF= , AE=3,求 O的直径。2解：(1)证明：连结AC, AB为直径， ACB=90 ,.AC*D ,且AB是直径， AB丄 CD即 CE是 Rt ABC的高， A= ECB ACE玄 EBC CE是 0的切线， FCB=Z A, CF=FG FB, FCB=Z ECB BFC=Z CEB=90 , CB=CB BCF BCECE=CF