20.学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中,为学生化妆.其中5名男生和3名女生共需化妆费
190元;3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同.
(1)求每位男生和女生的化妆费分别为多少元;
(2)如果学校提供的化妆总费用为2000元,根据活动需要至少应有42名女生化妆,那么男生最多有多少人化妆.
21.如图,已知矩形ABCD中,点E,F分别是AD,AB上的点,EF
⊥EC,且AE=CD.
(1)求证:
AF=DE
(2)若DE=2AD,求tan∠AFE.
5
学生
垃圾类别
A
B
C
D
E
F
G
H
厨余垃圾
√
√
√
√
√
√
√
√
可回收垃圾
√
ⅹ
√
ⅹ
ⅹ
√
√
√
有害垃圾
ⅹ
√
ⅹ
√
√
ⅹ
ⅹ
√
其它垃圾
ⅹ
√
√
ⅹ
ⅹ
√
√
√
22.为了创建文明城市,增强学生的环保意识.随机抽取8名学生,对他们的垃圾分类投放情况进行调查,这8名学生分别标记为A,B,C,D,E,F,G,H,其中“√”表示投放正确,“ⅹ”表示投放错误,统计情况如下表.
(1)求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率;
(2)为进一步了解垃圾分类投放情况,现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访,试用标记的字母列举所有可能抽取的结果.
四、解答题(本题共4道题,其中23、24题每题8分,25、26题每题10分,共36分)
O
23.如图在△ABC中,AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,连接OD.
(1)求证:
OD∥BC;
C
(2)过点D作⊙O的切线,交BC于点E,若∠A=30º,求CD的值.
BEBE
24.将直角三角板ABC按如图1放置,直角顶点C与坐标原点重合,直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合,其中∠ABC=30º.将此三角板沿y轴向下平移,当点B平移到原点O时运动停止.设平移的距离为m,平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s,s关于m的函数图象(如图2所示)
O
Ax
与m轴相交于点P(√3,0),与s轴相交于点Q.ys
(1)试确定三角板ABC的面积;
(2)求平移前AB边所在直线的解析式;
(3)求s关于m的函数关系式,并写出Q点的坐标.
图1图2
跑道宽度/米
0
1
2
3
4
5
…
跑道周长/米
400
…
25.在综合与实践活动中,活动小组对学校400米的跑道进行规划设计,跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成.其中400米跑道最内圈为400米,两端半圆弧的半径为36米.(π取3.14).
(1)求400米跑道中一段直道的长度;
(2)在活动中发现跑道周长(单位:
米)随跑道宽度(距最内圈的距离,单位:
米)的变化而变化.请完成下表:
若设x表示跑道宽度(单位:
米),y表示该跑道周长(单位:
米),试写出y与x的函数关系式;
(3)将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿,那么它与最内圈(跑道周长400米)形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条?
直道
26.如图,在△ABC中,∠A=90º,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.
(1)试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
A
N
BC
Q
宁夏回族自治区2019年初中学业水平暨高中阶段招生考试
数学试题参考答案及评分标准
说明:
1.除本参考答案外,其它正确解法可根据评分标准相应给分。
2.涉及计算的题,允许合理省略非关键步骤。
3.以下答案中右端所注的分数,表示考生正确做到这步应得的累积分。
一、选择题(3分×8=24分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
B
C
C
B
B
二、填空题(3分×8=24分)
2
9.2a(a-2)(a+2);10.
-;11.4;12.k>-4;3
23
13.
20
1
;14.3√2;15.
2
;16.②.
三.解答题(每小题6分,共36分)
17.解:
解:
(1)正确画出中心对称图形△A1B1C1(2分);……………………………………………6分写出C1(-2,-1)………………………………………………3分
(2)正确画出旋转后的图形△A2B2C1………………………………………………6分
18.解:
方程两边乘以(x−1)(x+2),去分母得:
2(x−1)+(x−1)(x+2)=x(x+2)………………………………………………………3分解得:
x=4………………………………………………………5分经检验是x=4原方程的根………………………………………………………6分
19.解:
解不等式①得:
x≥4,………………………………………………………2分
解不等式②得:
x>−7,………………………………………………………4分所以,不等式组的解集为x≥4………………………………………………………6分
20.解:
(1)设每位男生和女生的化妆费分别为x元和y元,根据题意,得:
5x+3y=190
、3x=2y………………………………………………2分
x=20
解得:
、
y=30
答:
设每位男生和女生的化妆费分别为20元和30元.………………………………………3分
(2)设男生化妆的人数为a,根据题意,得:
20a+30×42≤2000解得,a≤37
答:
男生最多有37人化妆.………………………………………6分
21.
(1)证明:
在矩形ABCD中
∵∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF+∠DEC=90°
∴∠AFE=∠DEC
∠AFE=∠DEC
在△AEF和△DCE中∠A=∠D=90°
AE=CD
∴△AEF≌△DCE……………………………………………2分
∴AF=DE……………………………………………3分
(2)解:
设DE=2x,则AE=3x,AF=2x
AE
在Rt△AEF中,tan∠AFE=
AF
=3x=32x2
………………………………………………6分
22.解:
(1)由表可知,随机抽取的8名学生至少有三类垃圾投放正确的频数为5.
()=
∴P至少有三类垃圾投放正确5
8
………………………………………………3分
(2)由表可知,随机抽取的8名学生中有害垃圾投放错误的学生分别为A、C、F、G.
所有可能的结果为AC,AF,AG,CF,CG,FG.……………………………………………6分四、解答题(23题、24题每题8分,25题、26题每题10分,共36分)
23.解:
(1)在△ABC中,AB=BC∴∠A=∠C又∵OA=OD∴∠A=∠ODA
∴∠C=∠ODA∴OD∥BC…………………………………………3分
(2)连接BD
BE
∵AB是⊙O的直径∠ADB=∠BDC=90°
∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°
又∵OD∥BC∴∠DEC=∠ODE=90°………………4分
∴∠BDE+∠EDC=90°,∴∠C+∠EDC=90°
∴∠BDE=∠C=∠A=30°………………………………5分
方法一:
C
在Rt△BDE中,设BE=x,由DE=√3x
在Rt△BDE中,DC=2√3x,∴DC=2√3x=2√3…………………………………………8分
BEx
方法二:
由△BED∽△BDC,得BE=BD
2
即:
BE=BD
BDBCBC
由△BED∽△DEC,得BE=BD
即:
DC=BD∙DE
DEDCBE
∴DC=BD∙DE∙BC
DEBC
=
∙
=2√3…………………………………………………8分
BEBE
BD2
BEBD
四、解答题(23题、24题每题8分,25题、26题每题10分,共36分)
24.解:
(1)由P(√3,0)可知,当m=√3时,s=0,即:
BC=√3
在Rt△ABC中AC=BC∙tan30°=1
∴S△ABC=
1AC∙BC=
2
1×1×√3=
2
√3
2…………………………………………………2分
(2)由
(1)可知A(1,0),B(0,√3)y
设AB边所在直线解析式为,则y=kx+b(其中k≠0)
k+b=0B
、
b=√3
解得,、k=−√3
b=√3
∴AB边所在直线解析式为y=−√3x+√3…………………………………5分
(3)如图所示BO=√3−m,DO=√3BO=√3(√3−m)
ODx
33C
A
2………………7分
∴S=1AO∙OD=1×√3(√3−m)(√3−m)=√3(m−√3)
2236
当m=0时S=√3,∴Q(0,√3
)……………………………………………………8分
22
25.解:
(1)两端半圆弧的总长:
2π×36=72π
两条直道总长:
400−72π
一段直道的长:
400-72π≈86.96米…………………………………………………2分
2
(2)
跑道宽度/米
0
1
2
3
4
5
…
跑道周长/米
400
406.28
412.56
418.84
425.12
431.40
…
…………………………………………………4分
若设x表示跑道宽度,y表示该跑道周长,由题意得:
y=400−72π+2π(36+x)=400+2πx=400+6.28x………………………7分
(3)由题意可得y≤446即400+6.28x≤446解得x≤7.327.32÷1.2≈6.1
所以,该区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条………………………………10分
26.解:
(1)∵MQ⊥BC,∴∠BQM=90°
在Rt△BQM和Rt△BAC中,∠B=∠B,∠BQM=∠A=90°
∴△QBM∽△ABC……………………………………………1分
由
(1)△QBM∽△ABC得BQ=BM=QM
ABBCAC
即x=BM=QM
BM=5x,MQ=4x………………………………………………2分
35433
由△QBM∽△MAN得:
BM=BQ即MN=5−25x…………………………………………3分
MNAM9
方法一:
当MN=BQ时,即5−25x=x解得,x=45
……………………………………………4分
934
此时,BM=5x=5×45=75<3
333434
因此,存在一点Q使得四边形BMNQ为平行四边形.………………………………………………6分方法二:
若AB∥QN时,则△CNQ∽△CAB,得:
NQ=CQ即NQ=3(5−x)
ABCB5
当BM=QN时,即3(5−x)=5x解得,x=45
………………………………………………4分
5334
此时,BM=5x=5×45=75<3
333434
因此,存在一点Q使得四边形BMNQ为平行四边形.………………………………………………6分
(3)方法一:
111
S四边形BMNQ=S△BMQ+S△QMN=2BQ∙MQ+2MN∙MQ=2MQ(BQ+MN)
=1×4x(x+5−25x=−32(x−45
+75
…………………………………………8分
239
2
273232
又∵当x=45时,BM=5x=5×45=75<3……………………………………………9分
32333232
∴x=45时,四边形BMNQ面积最大,最大值为75
……………………………………………10分
3232
方法二:
过点N作ND⊥BC垂足为D
A
N
由
(2)AM=3−5x,AN=4−20x,则ND=4x
393
S四边形BMNQ=S△ABC−S△AMN−S△NQC
=6−1AM∙AN−1QC∙ND=−32x2+10x
C
BQD
22273
=−32(x−45
+75
2
273232
……8分
又∵当x=45时,BM=5x=5×45=75<3……………………………………………9分
32333232
∴x=45时,四边形BMNQ面积最大,最大值为75
…………………………………………10分
3232