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数学中的黄金分割美毕业论文

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本科毕业论文（设计）

题目：

数学中的黄金分割美

学院：

专业：

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姓名：

指导教师：

2012年5月10日

毕业论文（设计）学术承诺

本人郑重承诺：

所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。

作者签名：

日期：

毕业论文（设计）使用授权的说明

本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。

即：

学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

（保密的论文在解密后应遵守此规定）

作者签名：

指导教师签名：

日期：

日期：

中文摘要Ⅰ

英文摘要Ⅱ

前言1

一、黄金分割理论发展概况2

（一）黄金分割概述2

（二）黄金分割理论的产生和发展3

二、现实生活中的黄金分割4

（一）人体中的黄金分割4

（二）自然界中的黄金分割5

（三）艺术作品中的黄金分割6

（四）着名建筑中的黄金分割7

（五）自然现象中的黄金分割8

三、黄金分割与证券投资9

（一）家庭理财中的黄金分割法9

（二）证券价格预测中的黄金分9

（三）波浪理论10

结束语12

参考文献13

致谢15

数学中的黄金分割美

摘要：

黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线段的比等于较大线段与整个线段的比。

黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。

斐波纳契数列又称黄金分割数列，是一个蕴含黄金分割关系的神奇数列。

黄金分割广泛存在于我们的生活中。

在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。

波浪理论的数学基础，就是在13世纪发现的斐波那契数列。

本文通过对黄金分割在不同领域的运用和不同地方的体现进行分析，去揭示那些神秘现象，体现了人与社会、人与自然的和谐。

关键词：

黄金分割；斐波那契数列；波浪理论

ThebeautyofGoldensectioninmathematics

Abstract：

Goldensectionisoneoftheworld'smostbeautifulproportions.Itisaratiothatthesmallerlinesegmentdividedbythelongeroneequalstothelongeronedividedbythewholelinesegment,whendividealinesegmentintotwo.Goldensection,asthecommonobjectivelawofnature,isakindofrelationshipthatisinevitablesubstantiveandrepeatedbetweennaturalphenomenas.Itreflectsthedialecticalrelationshipbetweenunityanddiversityoftheobjectiveworldandiswidelyusedinscientificresearch.FibonacciSequence,alsoknownasgoldensequence,isamagicsequencewhichcontainsgoldensectionrelation.Goldensectionwidelyexistsinourlives.Inthestockmarket,goldensectionisusedbyEliottocreatewavetheory,andiswidelyusedbyinvestors.ThemathematicalbasisofthewavetheoryisFibonaccisequence,whichisfondinthe13thcentury.Thisarticlerevealsthemysteriousphenomenonsthroughtheanalysisoftheuseofgoldensectioninmanydifferentareas,reflectstheharmonybetweenhumanandsocietyandbetweenhumanandnature.

Keywords：

GoldenSection；FibonacciSequence；waveprinciple

前言

华罗庚曾经说过：

“数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。

”数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的美。

黄金分割理论就是万千数学之美中的一朵奇葩，它充分展现出了数学的和谐美。

黄金分割是由于公元前6世纪古希腊的学派研究过和的作图，因此现代家们推断当时已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，数学家欧多克索斯第一个了这一问题，并建立起理论。

黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。

斐波那契数列便是一个蕴含黄金分割关系的神奇数列。

斐波纳契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、…而且，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近数。

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等。

在现实生活中，到处留下了黄金分割数的足迹。

在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。

1946年，完成了关于波浪理论的集大成之作，《自然法则——宇宙的秘密》。

艾略特坚信，他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分。

波浪理论的优点是，对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号，而传统的技术分析方法只有事后才能验证。

对市场运作具备了全方位的透视能力，从而有助于解释特定的形态为什么要出现，在何处出现，以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题。

另外，它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位。

波浪理论的数学基础，就是在13世纪发现的斐波那契数列。

数学中的黄金分割和我们的生活息息相关，在很多学科的探索和研究中被广泛应用。

可以说，黄金分割率是世界事物运动永恒的转折点，只有在这里转折，事物的运动才会和谐，才会持续，它是作用在人们深层潜意识里的客观规律。

了解和掌握黄金分割理论，能更好地帮助我们找到事物发展变化的关键点，对许多方面的理论研究都有非常重要的指导意义。

一、黄金分割理论发展概况

（一）黄金分割概述

黄金分割是一种数学上的比例关系。

黄金分割具有严格的比例性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。

应用时一般取，这个数值在建筑、管理、工农业生产、科学实验、经济等各个方面有着不可忽视的作用。

《中国大百科全书·数学》单独列出黄金分割（goldensection）词条：

“分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。

这就是黄金分割问题。

”黄金分割数是一个无理数，通常用Φ表示，它的前20位为1

与黄金分割相关的一个例子就是斐波那契数列：

l，l，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，···。

有趣的是：

这样一个完全是的数列，通项公式却是用无理数来表达的。

而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近比。

斐波那契数列具有以下一些特点：

（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。

（2）数列中前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即；后一数字与前一数字之比例，趋近于。

（3）与互为倒数，其乘积则约等于l。

除能反映黄金分割的两个基本比值和以外，还有、、、、、等。

是的三次幂；是斐波那契序列中的项与其后第二项的比值的极限值，也是的二次幂，同时也是1与的差；是的两倍；是斐波那契序列中的项与其前第二项的比值的极限值，也是的二次幂，同时也是1与的和；是和的积，也是的倒数。

斐波那契的发明者，是数学家，他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他了《珠算原理》一书。

他是第一个研究了和数学理论的人。

（二）黄金分割理论的产生和发展

黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。

相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出的叮叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们之间存在着一种很和谐的关系。

回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:

的比例截断最优美。

而且，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在《几何学史》中的记载，他在研究这一问题时应用了分析法。

黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得《几何原本》。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此着书立说。

德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。

黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。

最着名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。

二、现实生活中的黄金分割

（一）人体中的黄金分割

一些数据的陆续发现，表明人体其实是世界上最美的物体。

德国美学家泽辛对人体做了大量的计算，发现人体的黄金分割点竟然有四处，即为肚脐、咽喉、膝关节和肘关节。

就人体的整体结构而言，从脚底往上量，人整体身高的处正好在肚脐附近。

而在中医中，人体中两个个重要的穴位：

“气海”（又称“丹田”）、“命门”都在这个位置附近。

肚脐以下与一个人整体身高的比为:

1，就构成了黄金分割，这样的比例会给人以舒服、优美的感觉。

除此之外，人体上还存在3处黄金分割。

一处是咽喉，是肚脐以上部分的黄金分割点。

咽喉至头顶与咽喉至肚脐长度的比为:

1。

另一处是膝盖，是肚脐以下部分的黄金分割点。

膝盖至脚后跟与肚脐至膝盖长度的比为:

1。

再有一处是肘关节，是上肢部分的黄金分割点。

肩关节至肘关节与肘关节至中指指尖长度的比也为:

1。

如果一个人这四处结构的比例都符合黄金分割律，那么这个人的身体比例看起来就是最优美的。

除此之外，人体上还有很多细微之处都能看到黄金分割的身影，这是经过长时间的自然选择而形成的最适合人类生存的比例。

人的生命体征中也有许多符合黄金分割的现象。

人类的消化道长9米，其为米，是承担消化吸收任务的小肠的长度。

人体最适应的温度就是用黄金分割率乘以自身的温度，人的正常体温是摄氏度，它和的乘积为摄氏度，人处在这一环境温度中时，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均会处于最佳状态。

养生学家通过多年观察发现，动和静是一个比例关系，大致四分动六分静才是较佳养生之法。

医学专家分析后发现，人的脑电波图，当高低频率的比为1:

时，是身心最感快乐欢愉的时刻。

（二）自然界中的黄金分割

生活中能见到的植物常常有一种特殊的美感，比如说的花盘，菠萝的外表皮以及枫叶的叶脉和叶子宽度的比例。

仔细观察就会发现其中处处蕴涵着一种特殊的关系，那就是黄金比例。

葵花籽在向日葵的花盘上呈相反的弧线状排列。

仔细观察，我们可以找到一些曲线，通常顺时针旋转的有89条，而逆时针方向的则有55条。

也有的向日葵是55，34或者144，89的组合，这是由花盘的大小决定的。

如果我们把每一组的比值进行比较，就会发现他们越来越接近，大自然的鬼斧神工处处都留下了黄金分割的痕迹。

科学家们还发现，植物中像牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大约接近于黄金分割。

经过观察可以发现，在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是°，这恰好是把圆周分成1:

的两条半径的夹角，研究发现这种角度对植物通风和采光效果最佳。

（三）艺术作品中的黄金分割

西方画家大都非常注意把和谐的比例关系融入到自己的绘画中，达·芬奇就曾经去挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例，他也因此成为宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。

艺术家在设计创作其作品时都会有意识地、严格地遵循黄金分割比率。

维纳斯雕像大家都很熟悉，美妙绝伦，为世人所赞美。

她之所以有如此倾人之美，与她黄金分割的设计是分不开的，她肚脐以上部分与肚脐以下部分长度的比例约等于，非常接近黄金分割比例，这种伟大的艺术无疑是美的原理和数学理念和谐统一的典范。

优美动听的琴音，也是综合了各种条件而得来的。

在贝多芬、莫扎特、巴赫、舒伯特等人的音乐里，无不流淌着黄金分割的完美和谐。

乐曲中的大小高潮部分大都处在乐曲的5:

8的交叉点上。

黄金分割律也是小提琴系统工程中的一个重要组成部分。

着名的小提琴制作家斯特拉迪瓦里在制造小提琴时正是用黄金分割来确定f形洞的确切位置。

中国古人虽不知这个神奇数字的存在，却给我们留下了不少至理名言:

“善画者留白，善乐者希声，善言者忘语，善书者缺笔，大贤者若痴，大智者若愚”。

明朝李焕说：

“和盘托出，不若使人想象无穷耳”。

这些古代哲理，无不隐喻着黄金分割的精髓。

国画、书法讲究“意到笔不到”，笔到则太露，意到则回味无穷，只托出一大半儿就给人留以想象和发挥的余地。

（四）着名建筑中的黄金分割

古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是。

建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；按这样的比例去设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮。

连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。

15世纪末期法兰西教会的传教士路卡·巴乔里发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因就在于其高度与基座每边的结构比例为5:

8。

金字塔有五个面，八个边，总数为十三个层面，由任何一边看过去，都可以看到三个层面。

古希腊的巴比伦神庙严整的大理石柱廓，也是根据黄金分割律分割整个神庙的，因此看上去显得威武、壮观，成为繁荣和美德的象征。

法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8:

5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。

法国埃菲尔铁塔也有与有关的数据。

中国古代建筑中，也有黄金分割的身影。

太和门庭院的深度为130米，宽度为200米，其长宽比为，与黄金分割率十分接近。

紫禁城最重要的宫殿——太和殿位于中轴线上，在中轴线上，从大明门到景山的距离是公里，而从大明门到太和殿的庭院中心是公里，两者的比值为，正好与黄金分割率等同。

（五）自然现象中的黄金分割

在自然现象中，太阳系本身就是一条斐波那契螺线，形成以太阳为中心的涡旋。

列昂纳多曾经说过：

“与车轮不同的是，涡旋越趋中心速度越快。

”比如说，水星年（水星绕行太阳一周）等于地球年的88天，而冥王星的1年是地球年的248倍。

翠茜·特威曼和鲍伊德·赖斯在《上帝之舟》中列举的事实更进一步说明:

太阳与水星的距离，加上水星与金星距离，正好等于金星和地球的距离。

而太阳系中月球是距地球最近的星球，月球的平均密度cm）与地球的平均密度（cm）之比恰好为:

1。

同时我们会发现地球地轴的倾斜，有其深刻的宇宙意义，倾斜的地轴造成的太阳回归线，如用黄金分割律来分析，恰好位于地球地轴的黄金分割点上。

北纬度是一个奇特的地带，有不少自然奇观与人文奇迹出现在这条太阳回归线上。

在北回归线周围，有世界最高的青藏高原，有世界最大的撒哈拉沙漠，有世界上最深的海沟——马里亚纳海沟，有美国的东部大平原，有号称世界屋脊的山峰——珠穆朗玛峰，有世界上最大的金字塔群等等，并且此地带是最繁茂的生物圈。

着名的能量异常区——百慕大三角区就经过北回归线。

三、黄金分割与投资理财

（一）家庭理财中的黄金分割法

黄金分割法是一种分散风险的家庭理财技巧。

这种资金分布的投资方法比较适合那些保守型的投资者选用。

其操作过程和要求是投资者将资金分成两部分，一部分存入银行，获得利息，另一部分投资于证券，买入股票或基金，等待分红或涨升，投资于证券与存款的比例大体保持在4:

6的比例。

这一比例符合数学中的黄金分割，基准点为，即62%左右。

采用黄金分割法的优点是，在证券进行了适当的投资，有时可获得较高的收益，虽证券投资风险较大而由于一半以上的资金投向了安全性较高的存款，能使投资者有一种心理稳定感，即使在别的投资方面暂时失利，也不至于损失太大。

其不足之处在于这种投资方法较为保险，故容易失去一些最大限度获取利润的机会。

（二）证券价格预测中的黄金分割

在证券价格预测中，根据黄金比率有两种黄金分割分析方法。

第一种方法:

以价格近期走势中重要的高点或低点为计算未来走势的基础，当价格下跌时，以高点价格为基数，跌幅在达到某一黄金比时较可能受到支撑，反之，当价格上涨时，以低点价格为基数，涨幅在达到某一黄金比时可能受到压力。

当行情接近尾声，价格发生急升或急跌时，其涨跌幅达到某一重要黄金比时，则可能发生转势，例如，我国上证指数于2011年7月15日达到阶段性高点2820点，随后开始下跌，于2011年10月21日跌至同期低点2317点，跌幅为503点，之后开始反弹，与2011年11月4日反弹结束收于2528点，涨幅为211，涨跌幅211与503的比约为，非常接近黄金分割比中的重要比例。

第二种方法:

行情发生转势后，无论是止跌转升的反转或止升转跌的反转，以近期走势中重要的高点和低点之间的涨幅作为计量的基数，将原涨跌幅按、、、、分割为五个黄金点。

价格在后来的走势将有可能在这些黄金点上遇到暂时的阻力或支撑，例如，我国上证指数在2011年7月15日达到2820点处上涨受阻，随后开始下滑，至同年10月21日跌至2317点开始止跌反弹，2317与2820的比值为，与黄金分割比例中的一个重要比例非常接近。

（三）波浪理论

波浪理论是一种宏观层面的技术分析方法，它是从战略的角度对股市的发展趋势做整体的分析，并对其今后的走势做出预测的市场分析理论。

波浪理论是由美国技术分析家拉尔夫·纳尔逊·“斐波那契数列”的运用，达到了出神入化的地步，这使市场走势的模型有了数学基础，从而融入了普遍的自然法则所规范的轨道。

艾略特最初的波浪理论是以周期为基础的。

他把股价变动分成长短不同的各种周期，每个周期无论时间长短，都是以一种模式进行。

在上升趋势中，股价运动呈现上涨与下跌的不断交替，上升以五波浪推动形式发展，下跌以三波浪调控形式进行。

一个完整的波浪包括了八个子浪，称为八浪循环。

这个涨跌的8个波浪又可以组合成为一个更大级别的波浪，以此循环重复，不断地组成多种形态运动着。

而新的周期仍然遵循上述的模式。

用这种方法不但可以考察当前指数运行的位置，还可以有效地预测未来走势，这就是我们通常所说的“波浪理论”。

艾略特的波浪理论其关键主要包括三个部分，第一，为波浪的形态；第二，为浪与浪之间的比例关系；第三，为浪间的时间间距。

而这三者之间，浪的形态最为重要。

在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。

波浪理论指出，在下跌趋势中，当股指或股价的上涨幅度达到前波段跌幅的倍或是倍附近时，都会产生较大的压力，随时可能出现止涨下跌；在上涨趋势中，当股指或股价的下跌幅度达到前波段涨幅的或是倍附近时，都会产生较大的支撑，随时可能出现止跌上涨。

这个规律能够提供大势或个别股从空头转入多头市场或由多头市场转入空头市场的时机与价位，投资者可以根据当时经济环境的变化，再由此作为进出股票的依据。

我国上证指数中，研究者普遍认同的第一、二大循环浪及第三大循环浪的第一子循环浪（最后一个交易日达到开市以来的最高点）共用了2586个交易日（仅比斐波那契数列中的数2584多了两天）。

而上证指数的第三大循环浪的第一、二予循环浪及第三循环浪的第一子浪（最后一个交易日达到开始以来的最高点6124．04）共用了3197个交易日。

3197与2586的倍的差只有。

这恰恰符合波浪理论的交替原则。

结束语

黄金分割与我们的生活息息相关，在我们的周围随处可见，并被运用于许多科学研究中。

本文分三部分对黄金分割进行了探讨，第一部分简要介绍了黄金分割的定义以及黄金分割的产生和发展；第二部分介绍了黄金分割在现象和生活中的表现形式，包括在人体中，自然界中，艺术作品中，建筑物中以及在自然现象中的体现；第三部分尝试分析了黄金分割在投资理财中的应用，包括家庭理财中的风险分散，证券价格的预测以及波浪理论的简要介绍。

数学是中一门蕴含丰富美学价值的学科，其中黄金分割尤其充满了神秘。

由于缺乏理论依据，黄金分割中的神秘数字常被人们认为是巧合，但自然界中确实存在许多与黄金分割有关的现象。

对于黄金分割在证券价格预测中的应用，由于市场的不完善以及政治、经济和投资者心理因素的影响，可能会出现误差，需要具体问题具体分析，不能过分依赖。

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致谢

四年一瞬间，大学生活给我留下了美