抽象代数名词解释.docx

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抽象代数名词解释

1，

抽象代数名词解释

1-1映上的映射（30）

当映射f是单射又是满射，称之为双射或f是1-1映上的。

2，二元运算（50）

设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。

3，二元多项式（329）

设R是个有1的交换表达式f（x,y）=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2+a0.2y2+a1.1xy+…+an.0xn+an-1.1xn-1y+…+a0.nyn,aij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。

4，子环（222）

设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。

5，子域（334）

设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。

如果

（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，

（2）（S，+，·）本身是个域。

6，子集合（3）

设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。

7，子集族（6）

设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j∈J对应集合S的一个字集Aj，则通常说｛Aj︱Aj

S，j∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。

8，子集生成的子群（80）

设G是个群，S为其一非空字集合，

为G的所有包含S的子群的族，则称子群

为S在G中生成的子群，记为〈S〉。

9，子集生成的理想（236）

设R是个环，T

R，ΦΦT非空，作R的理想族B={I是R的理想，T

I}得到的理想

称之为R的由子集T

生成的理想，记为（T）。

10.子群（75）

设（G，·）是个群，如果G的子集H对于·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。

10.么元（59）单位元，恒等元，中性元

设·是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a*e=e*a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元或恒等元，或么元、中性元。

12．元素

（1）

集合里的各个对象叫做这个集合的元素。

13．元素的阶数（110）

群G中元素的个数称为G的阶数。

14．无零因子环（217）

如果环R不含非零的零因子，则称R为无零因子环。

15．不可约元（343）

D的元素a不是单位也不是0且没有非平凡因子，则称a为不可约元或既约元。

16．不交的循环（90）

循环（i1i2‥ik）与（j1j2‥jk）称之为不交的。

17．不变子群，正规子群（152）

设G是个群，H是G的一个子群，如果H在每个内直同构映射之下都不变，即对任意a∈G，对任意h∈H都有aha-1∈H，则说H是G的不变子群或正规子群。

18．不变子集（151）

若f是集合A到A本身的一个映射，T是A的子集，且f（T）

T，则说T上f的一个不变子集。

19.内直和（272）

19．内直积（群的）（193）

20．分式域（310）

21.分配律（209）

22.分裂域（419）

设F是个域，f（x）是F上的一个n次多项式，F的扩张域E称为是f（x）的分裂域。

21．分类（18）

一个集合B，如果有以∆为标集的子集族｛Ti|i∈∆｝，对任意i∈∆,有Ti≠Φ,且

（1）Ti∩Tj=Φ,,只要i≠j,

（2）B=

则说这是B的一个分类。

22．反序数（45）

数码1，2。

……，n的每一个有确定次序的排列称为一个n排列,在一个n排列中，如果有较大的数排在较小的数之前，则说这两个数构成一个反序，该排列中出现的反序的个数称为是它的反序数。

23．双射（30）

当映射f是单射又是满射时，称之为双射。

24．双侧理想或双边理想（234）

25．中心（群的）（79）

设G是个群，集合C＝｛a∈G|ax=xa,对所有x∈G｝是G的一个群，此群称为群G的中心。

26．中性元或单位元、恒等元、么元（59）

设●是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a·e=e·a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元

27．平凡子群（86）

对任意群G而言，G本身是G的一个子群，单独一个恒等元e也构成一个子群｛e｝，这两个子群称为G的平凡子群。

28．平凡因子（343）

对于a∈D，所有单位及与a相伴的元素均称为a的平凡因子。

29．平凡理想（247）

对任意环R而言，R本身和｛0｝都是R的理想，通常称它们为R的平凡理想。

30．左单位元（69）

31．左逆元（69）

32．左、右消去律（68）

设G为群，对任意a,b,c∈G,ab=ac蕴涵b=c,ba=ca蕴涵b=c,并分别称为左、右消去律。

33．左陪集（113）

A=,B为子群，则记aB＝AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。

34．左理想（240）

设R是个环，R的非空子集S在其加法之下是R的加法子群，且对于任意r∈R，x∈S恒有rx∈S,则说S是R的一个左理想。

35．右理想（240）

36．右关系（112）

设H是群G的一个子群，H在群G中确定关系～如下，a,b∈G,a～b当且仅当ab-1∈H，称～是H在G中确定的右关系。

37．可逆映射（35）

设f：

A→B，说f是可逆影射，如果有g：

B→A使得g○f=iAf。

g=iB

38.可逆变换（144）

设（G，·）是个群。

将G到G的可逆映射称为G上.可逆变换。

38．主理想（236）

如果T仅有元素（{a}）记为（a），并称为是由a生成的主理想。

39．主理想整环（356）

如果整环D的每个理想都是主理想，则说D是主理想整环。

40．公因子（350）

设D是个整环，a1,…,an∈D,如果c∈D,c整除a1,…,an的每一个，则说c是元素a1,…,an的一个公因子。

41．代数元（384）

设域E是域F的扩张域，a∈E。

如果有F上非零多项式f（x）使（fa）=0，则说a是F上的一个代数元。

42．代数扩张（412）

设E是域F的一个扩张域，如果任意a∈E都是F上代数元，则说E是F的一个代数扩张域或代数扩张。

43．代数扩张域（412）

44．代数封闭的（418）

域E称为是代数封闭的，如果E没有真的代数扩张，此时亦说E是个代数封闭域。

45．代数封闭域（418）

46．四元数环（283）

47．四元数除环（283）

48．四元数群（87）

49．对称群（87）

集合S={1，2，…，n}上所有置换在映射合成之下构成群，称这个群为n次对称群，记为Sn

50．外直积（122）

51．互素（350）

当一个单位是a1,…,an的一个最大公因子时，则说它们是互素的。

52．有1环（217）

53．有单位元环（217）

设（R，+，·）是个环，如果R的乘法有单位元e，则说R是个有单位元环，或称有1环。

54．有限扩张（402）

设E是域F的扩张域，如果E在F上有基底，则说E是F的一个有限扩张。

55．有限域（416）

域只含有限个元素时称为有限域。

56．交集（4，6）

由任意集合A，B可决定一集合{x|x∈A同时x∈B}称为A和B的交集，记为A∩B。

57．交代群（88）

58．交换群（72）

群（G，·）的运算通常称为乘法。

当群的运算·满足交换律时，即称之为交换群或阿贝尔群。

59．交换律（58）

设·是集合A上的一个运算，如果对任意a，b∈A都有a·b=b·a，则说运算·满足交换律。

60．并集（4，6）

由任意集合A，B决定一个集合{x|x∈A或者x∈B}称为A和B的并集，记为A∪B。

61．多项式（312）

设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn（其中n为非零整数，a0，a1，…，an∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。

62．多项式的和（314）

63．多项式的乘积（314）

64．多项式的根（318）

设S是有1交换环，f（x）∈S[x]，说元素r∈S是多项式f（x）的一个根。

如果f（r）=0，也可以说r满足多项式f（x）。

65．多项式的首系数（320）

设D是个整环，多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+…arxr+…+anxn，ai∈D中，ar≠0,且当j＞r时有aj=0，即degf=r，则说ar是f（x）的首系数。

66．自同态（270）

67．自同构（270）

68．自然同构（182）

69．群的同态映射（160）

设（G，·）是个群，（H，#）也是个群，那么G到H的映射f称为是G到H的同态映射，如果对任意a,b∈G都有f（a。

b）=f（a）#f（b）。

70．环的同态映射（252）

设（R，+，·）和（S，#，⊙）都是环·R到S的映射Ψ称之为R到S的环的同态映射。

如果对任意的a,b∈R恒有Ψ（a+b）=Ψ（a）#Ψ（b）,Ψ（a·b）=Ψ（a）⊙Ψ（b）.特别地，当Ψ是满射时，称S是R的同态像，当Ψ是满射又是单射时，说Ψ是R到S的环同构映射。

71．同态像（168，257）

设Ψ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射，那么，称集合lmg（Ψ）={s∈S|有r∈R使s=Ψ（r）}为映射Ψ的像，称集合Ker（Ψ）={r∈R|Ψ（r）=0}为映射Ψ的核。

72．同态核（164，257）见71

73．群的同构映射（130）

设（G，△）是个群，（H，·）也是个群，如果f：

G→H是个双射，且对任意a,b∈G恒有f（a△b）=f（a）·f（b）,则说f是G到H的群同构映射。

74．环的同构映射（252）见70

75．关系（12）

设A和B都是集合，任取笛卡儿积A×B的一个子集R我们都说确定了A和B的一个关系R。

对任意a∈A，b∈B，如果（a，b）∈R，则说a与b有R关系，记为aRb；如（a，b）

R,则

说a与b没有R关系.

76．原像（38）

对B的任意子集T，称A的子集{x∈A|f（x）∈T}为T在f之下的原像。

77．扩张次数（402）

基底所含元素的个数（这里由E和F唯一确定的一个正整数）称为E在F上的扩张次数。

78．阶数（110）

群G中元素的个数称为G的阶数。

79．体（282）

80．克莱因四元群（143）

81．克莱因四元数群（87）

82．投影（28）

设A，B是集合，规定，任意元素（a，b）∈A×B对应a，这是笛卡儿积A×B到A的映射，记为PA，即PA（（a，b））=a，对任意（a，b）∈A×B，该映射称为A×B到A的投影。

83.完全集（20）

设～是集合A上的一个等价关系，说A的子集T是关系～下的一个等价类表示的完全集，简称完全集。

83．系数（312）

设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn（其中n为非零整数，a0，a1，…，an∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。

其中aixi称为是多项式f（x）的i次项，ai称为f（x）的第i次项系数。

84．运算（50）

设S是个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S的运算。

85．运算表（51）

86．单位（221）

设R是有单位元1的环，R的元素a称为R的一个单位。

如果有b∈R使ab=ba=1.

87．单射（30）

若对任意a,b∈A，f（a）=f（b）蕴涵a=b，则说f是单射或f是单的。

88．单的（映射）（30）见87题

89．单同态（270）

单的同态映射称为单同态。

90.单环（247）

如果环R只有两个理想R和（0），那么R的商环极为明了，这种环称为单环或单纯环。

91.单纯环（247）

92.单群（159）

93.单纯扩张（382）

94.单纯扩张域（382）

95.奇置换（47）

96．环（208）

97．极小多项式（385）

98．极大理想（294）

99．空集（3）

100．周期（110）

101．线性无关（396）

102．线性相关（395）

103．线性组合（398）

104．定义域（39）

105．拉格朗日定理（115）

106．欧氏环（360）

107．映射（26）

108．逆元素（65）

109．逆映射（37）

110．恒等映射（26）

111．指标集（6）

112．相伴（343）

113．既约元（343）

114．结合环（208）

115．结合律（55）

116．素元（349）

117．素理想（297）

118．素域（335——

119．哈密尔顿四元数环（283）

120．除环（282）

121．除体（282）

122．复合（映射）（31）

123．真子集（3）

124．乘积（群的子集）（113）

125．根（318）

126．特征数（288）

127．换位子群（159）

128．高斯环（361）

129．消去律（68）

130．陪集（113，173）

131．唯一分解整环（345）

132．值域（39）

133．偶置换（47）

134．域（282）

135．商环（243）

136．商集（21）

137，商群（175）

138．理想（234）

139．理想子环（234）

140．基底（398）

141．添加（382）

142．笛卡尔积（10）

143．斜域（282）

144．常数项（312）

145．集合

（1）

146．最小子域（338）

147．最大公因子（350）

148．等价关系（17）

149．等价类（18）

150．等价类表示的完全集（20）

151．像（30，38）

152．循环（89）

153．循环群（100）

154．超越元（385）

155．幂集（4）

156．剩余环（243）

157．零因子（217）

158．群（64）

159．置换（43）

160．整除（342）

161．整区（217）

162．整环（217）

163．整数模n关系（23）

164．满射（30）

165．满的（映射）（30）

166．满同态（环的）（270）

抽象代数复习题

第一章第三节

命题1、设~是集合A上的一个等价关系，则对每个x∈A，Sx非空；对任意x，y∈A，若Sx≠Sy，则必有Sx∩Sy=Φ；A恰为其所有不同的等价类的并集。

（P18）

命题2、若有集合A的一个分类，即有A的子集族Si，i∈△满足：

（1）SiISj=Φ，i≠j，

（2）A=YSi

i∈△

规定，对任意a、b∈A，a~b当而且仅当a与b属于同一Si，则~为A上等价关系，且诸Si，i∈△恰为~对应的不同的等价类。

（P19）

第四节

定理1、如果R是集合A和集合B的一个映射关系，对任意a∈A，有唯一确定的b∈B使（a，b）∈R。

我们规定a对应这个b，并把此规则称为f，则f是A到B的映射。

反之，若f是集合A到集合B的一个映射，令R｛（a，b）∈A×B∣b=f（a）｝就得到A和B的一个映射关系。

（P26）

定理2、映射f：

A→B是可逆的，必要而只要，f是双射。

（P36）

引理1、对任意m∈I，恒有q，r∈I使得m=q．n+r，0≤r﹤n，而且，满足上述要求的q，r均又m唯一确定。

（P36）

命题1、设f：

A→B，g：

B→C，h：

C→D。

则h。

（g。

f）=（h。

g）。

f（P32）

命题2、设f：

A→B，则f。

iA=iB。

f=f（P34）

命题3、设f：

A→B，g：

B→C，那么，

（1）如果f和g都是满的，则g。

f亦然；

（2）如果f和g都是单的，则g。

f亦然；

（3）如果g。

f是满的，则是g满的；

（4）如果g。

f是单的，则是f单的。

（P34）

命题4、设f：

A→B是可逆映射。

那么，使得f。

g=iB，g。

f=iA的g：

B→A是由f唯一确定的（此时记g=f-1）（P37）

命题5、设f：

A→B，S是A的自己，则f∣s=f。

iB.

命题6、设f：

A→B，对B的任意子集T，都有f（f-1（T））=T∩Img（f）

第五节

命题1、S上有n！

个不同的置换。

命题2、若把一个n排列中某相邻两位数码互换位置，则所得到的新排列的反序数与原排列的反序数差1。

命题3：

当n＞1时，n！

个n排列中，反序数为偶数者恰有一半，即n！

/2个。

（P46）

命题4、将一n排列之两数码（未必相邻）对调，得到的新排列与原排列的反序数奇偶性相反。

（P46）

命题5、偶置换P用任意方式给出P=

i1i∧in

P（i1）P（i2）∧P（in）

其上两排排列的反序数之差恒为偶数，P为奇置换，则任意一个n排列i1，i2，∧，in的反序数与P（i1），P（i2），∧，P（in）的反序数之差恒为奇数。

（P47）

命题6、两个奇偶性相同的置换复合后为偶置换，两个奇偶性相反的置换复合后为奇置换。

（P48）

命题7、置换P的逆映射（在此处称为逆置换）P-1与P的奇偶性相同。

（P49）

第六节

引理1、任意两个非零证书a、b恒有高公因子d，且必有s，t∈I使d=sa+tb。

（P53）

引理2、设b为正证书，a为任意证书，则a和b的最高公因式d可表为d=sa+tb，s，tI，

0≤s＜b。

（P54）

推论1、设P为素数，对任意i*∈IP，如果

i≠0，则必有j＜p使

i*×j*=l*。

命题1、给定A上运算·和任意（有序的）元素a1，a2，…，an，如果运算·满足合律，那么I=1，2，…，t都有程序i（a1，a2，…，an）=a1·a2·…·an。

（P57）

命题2、设·是A上的一个运算。

如果运算·适合结合律和交换律，那么n个元素a1，a2，…，an的任何一个顺序的任意一个运算程序，程序l（a1，a2，…，an），都等于。

a1·a2·…·an其中i1，I2，…，in是数码1，2，…，n的一个排列。

（P58）

命题3、集合A对其上的运算·而言，如果有恒等元，则必唯一。

（P60）

第二章第一节

命题1、设（G·）是个群，那么G中任意元素a只有唯一的一个逆元素。

（P67）

命题2、设G是个群，对任意a，b∈G有

（a-1）-1=a，b-1a-1=

（ab）-1（P68）

命题3、设G为群，对任意a，b，c∈G，ab=ac蕴涵b=c，ba=ca，蕴涵b=c，并分别称为左，右消去律。

（P68）

推论1、如果G是个群，a1a2…ak∈G，则

（a1a2∧an）-1=ak-1∧a2-1a1-1

定理1、设·是集合G上的一个运算，只要它们满足：

（1）结合律，

（2）有左单位元e，即有e∈G，对任意a∈G都有ea=a，（3）有左逆元，对于e，每个元素a∈G都有b∈G使得ba=e，则（G·）是个群。

定理2、设·是集合G上的一个运算且满足结合律，那么（G·）是个群，必要而只要，对a，b∈G都有唯一确定的c，d∈G使得a·c=b，d·a=b。

命题4、对任意正整数n都有a-n=（a-1）n（P70）

命题5、设a是群G的一个元素，对任意整数m，n都必有anam=

am+n，（an）m=anm（P71）

第二节

命题1、如果H是G的子群，那么H的恒等元f等于G的恒等元e；也就是说e∈H。

（P76）

定理1、设（G，·）是个群，H是G的子群，那么H是G的子群，当而且仅当

（1）H非空，

（2）如果a，b∈H，则a·b∈H，（3）如果a∈H则a在G中的逆元a-1∈G。

（P76）

定理2、设G是个群，H是G的子集，那么，H是G的子群，当而且仅当

（1）H非空，

（2）对任意a，b∈H，都有ab-1∈H。

（P77）

命题2、设G是个群，对于G的任意一个子群族｛Hi∈G︱Hj为G的子群，j∈J｝其交集

H=IHj仍为G的

j∈J

子群。

（P77）

命题3、设G是个群，a是G的元素，则＜｛a｝＞=｛ai︱i∈I｝（P80）

定理3、设S是群G的一个非空子集，G中所有形如g1l1g2l2∧gmlm，0＜m∈I，g1，∧，gm∈S，t1∧tm∈I的元素构成G的一个子集H，则＜S＞=H（P82）

第三节

定理1、在Sn中任何一个不等于恒等映射的置换必可表示成若干个互不相交的循环的乘积。

定理2、设P是个n置换，P=P1∧PL=QL∧Qk。

命题1、当n≥3时，Sn不是可交换的（P88）

命题2、若（i1，i2，∧，ik）与（j1，j2，∧，jk）不交，则它们可交换（P90）

命题3、任意一个k循环都可以表示成若干个2循环的乘积（P93）

命题4、在Sn中，k循环P生成的子群是＜P＞=｛I，P，∧Pk-1｝（P94）

命题5、设S=｛1，2，∧n｝，G是S上的一个置换群。

对于S的任意一个子集T，令GT=｛P∈G︱P（t）=t，对于每个t∈T｝。

则GT是G的一个子群。

（P94）

命题6、设S=｛1，2，∧n｝，G是S上的一个置换群，T是S的一个子集。

令GT=｛P∈G︱P（t）T｝，则GT是G的一个子群。

（P94）

第四节

命题1、设G是个群，g∈G，如果有不同的整数r和k使得gr=gk，则存在一个m使得

（1）gm=e，e是G的恒等元；

（2）l≤i≤j≤m时，

gi≠gj；（3）如果有整数t，gt≠e，则m/t；

（4）＜g＞=｛e，g，

g2，∧，gm-1｝。

（P101）

命题2、设G是个群，g∈G，如果对任意不同的整数r，k都有gr≠gk，则＜g＞是个无限群（即有无限多个元素）（P102）

定理1、设g是循环群，G的一生成元，那么

（1）当有正整数r≠k，使gr=gk时，G=｛e，g，∧，gm-1｝，对任意l≤i≤j≤m，均有gi≠gj；

（2）当对任意正整数

r≠k均有gr≠gk时，G=｛∧，g-1，e，g，g2，∧｝，它又称为循环群结构定理。

（P102）

命题3、设g=｛e，g，∧，gm-1｝，正整数p与m互素且p＜m…那么G＜gp＞（P102）

命题4、无限循环群的每个子群都是循环群。

（P103）

命题5、在I中，如果[a1]=[a2]，[b1]=[b2]，则[a1+b1]=[a2+b2]。

（P106）

命题6、（I，⊕）是个交换群。

（P106）

第五节

命题1、设a是群G的一个元素，那么a的阶数与子群＜a＞的阶数相等。

（P111）

命题2、设H是群G的子群，则H在G上确定的右关系∽是个等价关系。

（P112）

命题3、设H是G的子群，∽是H在G中确定的右关系，那么元素a∈G在等价关系∽之下的等价类恰好是H的右陪集Ha。

（P114）

推论：

设H是群G的子群，a，b∈G，那么ab-1∈G，当且仅当Ha=Hb。

命题4、如果H是群G的有限子集，则子集Ha的元素个数等于H的阶数。

（P115）

拉格朗日（Lagrange）定理：

设G是个有限群，那么G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数，即︱H︱︱G︱。

（P115）

推论1、设G是个有限群，那么它的任意元素a的阶数都能整除G的阶数。

推论2、设G是个有限群，︱G︱是个素数，那么G只有｛e｝和G两个子群。

推论3设G是个有限群，︱G︱是儿歌素数，那么G必为循环群。

命题5、设G是个有限交换群，如果a∈G得阶数t大于等于G中所有元素的阶数，那么每个元素的阶数均可整除t。

（P117）

第三章第一节

命题1、设（G，△）和（H，。

）是群，f是（G，△）到（H，。

）的同构映射，那么f（eG）=eH。

（P132）

命题2、设（G，△）和（H，。

）是群，f是（G，△）到（H，。

）的同构映射，那么对于G中之任意元素a，都有f（a-1）=f（a）-1。

其中f（a）-1即H中元素f（a）的逆