近世代数练习题题库.docx
《近世代数练习题题库.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数练习题题库.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
近世代数练习题题库
§1第一章根底知识1判断题:
1.1设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xB。
〔〕
1.2AXB=BXA〔〕
1.3只要f是a到A的映射，那么必有唯一的逆映射f1。
〔〕
1.4如果是A到A的一一映射,贝U[（a）]=a。
（）
1.5集合A到B的可逆映射--定是A到B的双射。
〔〕
1.6设A、B、D都是非空集合，那么AB到D的每个映射都叫作二元运算。
〔〕
1.7在整数集Z上，定义“〞：
ab=ab（a,b€Z），那么“〞是Z的一个二元运算。
〔〕
1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。
（）
2填空题：
2.1假设A={0,1},那么AA=。
2.2设A={1,2},B={a,b}，贝UAXB=。
2.3设={1,2,3}B={a,b},那么AB=。
2.4设A={1,2},贝UAA=。
2.5设集合A1,0,1;B1,2，那么有BA。
2.6如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，那么f1fa。
2.7设A={a1,a2,…a8},那么A上不同的二元运算共有个。
2.8设AB是集合，|A|=|B|=3,那么共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有个.
2.10设A={a,b,c}，那么A到A的——映射共有个.
2.11设A={a,b,c,d,e}，那么A的一一变换共有个.
2.12集合A的元间的关系〜叫做等价关系，如果〜适合以下三个条件：
2.13设A={a,b,c},那么A的所有不同的等价关系的个数为。
2.14设〜是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：
a,b是两个等价
类。
贝Hab。
2.15设集合A有一个分类，其中A与Aj是A的两个类，如果AAj,那么
AAj
。
2.16设A={1,2,3,4,5,6},规定A的等价关系〜如下：
a〜b2|a-b，那么
A的所有不同的等价类是。
2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，〜是M上的合同关系，那么由〜给出M
的所有不同的等价类的个数是
2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn〔F〕中，规定等价关系~：
A~B秩（A）=秩
（B），那么这个等价关系决定的等价类有个。
2.19设Moo（F）是数域F上的所有100阶方阵的集合，在Moo（F）中规定等价关系~如下：
A~B秩（A）=秩（B），那么这个等价关系所决定的等价类共有个。
2.20假设M=｛有理数域上的所有3级方阵｝,A,BM,定义A~B秩（A）=秩（B）,那么
由〞~〞确定的等价类有个。
3证明题：
3.1
设是集合A到B的一个映射，对于a,bA,规定关系“〜〞：
a~b
（a）（b）•证明：
“〜〞是a的一个等价关系.
3.2
在复数集C中规定关系“〜〞：
a~b|a||b|•证明：
“〜〞是C的一个等价关系.
3.3
在n阶矩阵的集合Mn（F）中规定关系“〜〞：
A~b|A||B|.证明：
“〜〞是
Mn（F）的一个等价关系．
3.4设“是集合A的一个关系，且满足：
〔1〕对任意aA，有a~a；〔2〕对任意a,b,cA，假设a~b,a~c,就有b〜c.证明：
“〜〞是a的一个等价关系.
3.5设G是一个群，在G中规定关系“〜〞：
a~b存在于gG，使得bg1ag•证明：
“〜〞是G的一个等价关系.
第二章群论
1判断题：
§2.1群的定义.
1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
（A）G对于这个乘法运算都是封闭的；
（B）a,b,cG，都有（ab）c=a（bc）成立；
（C）存在G,使得aG,都有ea=a成立；
（D）aG,都存在aQ使得aa=e成立。
那么G关于这个乘法运算构成一个群。
（）
1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
A〕G对于这个乘法运算是封闭的；
B〕a,b,cG,都有〔ab〕c=a（bc）成立;
那么G关于这个乘法运算构成一个群。
〔〕
1.3设G是一个非空集合，在G中定义了一个代数运算，称为乘法,如果
（1）G对乘法运算是封闭的
（2）G对乘法适合结合律（3）G对乘法适合消去律，那么G构成群。
（）
1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法，如果
（1）.G对乘法运
算是封闭的；
（2）.乘法适合结合律与消去律，那么G对所给的乘法构成一个群。
（）
1.5实数集R关于数的乘法成群。
〔〕
1.6假设G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶，那么|a|。
（）
1.7假设|a|=2,|b|=7,ab=ba,那么|ab|=14。
1.8设Q为有理数集，在Q上定义二元运算
ab=a+b+ab（a,bQ,那么（Q,））
构成一个群。
〔〕
§2.2变换群、置换群、循环群
1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
〔〕
1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.（）
1.11集合A的所有的变换作成一个变换群。
〔〕
1.12素数阶群都是交换群。
〔〕
1.13p〔p为质数〕阶群G是循环群.〔〕
1.14素数阶的群G一定是循环群.（）
1.153次对称群S3是循环群。
〔〕
1.16任意群都同构于一个变换群．〔〕
1.17有限群都同构于一个置换群。
（）
1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。
〔〕
1.19在5次对称群足中，（15）（234）的阶是6.（）
1.20在4次对称群9中，〔12〕〔324〕的阶为6。
〔
1.21在S5中，（12）（345）的阶是3。
（）
1.22任意有限群都与一个交换群同构。
〔〕
1.23
因为22阶群是交换群,
所以
62阶群也为交换群。
〔
〕
1.24
6阶群是交换群。
〔
〕。
1.25
4阶群一
定是交换群。
〔
〕
1.26
4阶群一
定是循环群。
〔
〕
1.27
循环群一
定是交换群。
〔
〕
1.28设G是群，a,b€G,|a|=2,|b|=3,贝U|ab|=6。
〔〕
1.2914阶交换群一定是循环群。
〔〕
1.30如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，那么G与整数加群同构。
1.31有理数加群Q是循环群。
〔〕
1.32假设一个循环群G的生成元的个数为2，那么G为无限循环群。
〔〕
§2.3子群、不变子群。
1.33假设H是群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，那么H是G的一个
子群。
〔〕
1.34
假设H是群G的一个非空有限子集，且
a,b
H都有ab
H成立，那么H是G的
一个子群。
〔〕
1.35
循环群的子群也是循环群。
〔〕
1.36
如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
〔
〕
1.37
一个阶是11的群只有两个子群。
〔
〕
1.38
有限群G中每个元素a的阶都整除群
G
的阶。
〔〕
1.39
设G是一个n阶群，m|n，那么G中一定有
m阶子群存在。
〔〕
1.40
假设G是60阶群,那么G有14阶子群。
（
）
1.41
设G是60阶群，那么G有40阶子群。
〔〕
1.42
阶为100的群一定含25阶兀。
〔
〕
1.43
阶为100的群一定含25阶子群。
〔
〕
1.44
阶为81的群G中，一定含有3阶兀。
〔〕
1.45
设H是群G的一个非空子集，那么H
G
H
H1
H。
〔〕
1.46
设H是群G的一个非空子集，那么H
G
H
H1
H
O
〔〕
1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为gG，hH;g1HgH。
〔〕
1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.〔〕
1.49指数为2的子群不是不变子群。
〔〕
1.50假设N_H,H_G那么N_G（）
1.51假设N是群G的不变子群,N是群N的不变子群，那么N是G的不变子群。
（）
1.52设H1.53假设NN,HG那么NHG。
〔〕§2.4商群、群的同态定理。
1.54群之间的同态关系是等价关系。
〔〕
1.55循环群的商群是循环群。
〔〕
1.56设f:
GG是群G到群G的同态满射，a€G,那么a与f⑻的阶相同。
〔〕
1.57设G是有限群，H那么|Ghi4
|H|
1.58假设是群G到G的同态满射,变子群，且GNG（N）。
（）
N是G的一个不变子群，那么
〔N〕
是G的不
1.59
设f是群G到群G的同态映射,
H—G贝Uf（H）-
1.60
1.61
设f是群G到群G的同态映射，假设是群G到的一个同态满射,N
H是G的一个不变子群
那么（N）是的不变子群,且~。
1.62
假设是群G到的同态满射，是的一个不变子群,（）表示N的原象，那么（）是G不变子
1.63设G和G都是群，GG
〔〕
2填空题：
2
在群G中，a，b€Ga=e
1
N_G,n=（N），那么n—G,且G/NG/N。
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
，a_1ba=b2，贝U|b|=
，|b|=3，那么|a2b|=
在交换群G中，a，b€G,|a|=8
设a是群G的元,a的阶为6，那么a4的阶为
设a是群G中的一个8阶元，那么a的阶为。
设G是交换群，a、bG,|a|=5,|b|=7,那么|ab|=__
群AG中有个1阶元。
在S5中，4阶元的个数为
在S4中，3阶元的个数为
2.9
12
12，那么
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
设G为群，aG,假设
设群G={e,a1,a2,…,an-1},运算为乘法，
2_
假设a,b是交换群G中的5阶元和7阶元，那么ab的阶为在整数加群Z中，<4>Q<6>=
10阶交换群G的所有子群的个数是阶数最小的非交换群的阶数是个元素.
o
e为G的单位元，那么a1n=
o
。
一个有限非可换群至少含有
2.15
任意群G-
疋同构于
G的一个
。
2.16
n次对称群
Sn的阶是
。
1
234
5
6
78
9
2.17
9-置换
分解为互不相交的循环之积是
5
439
6
1
82
7
2.18
n阶有限群
G一定
置换群。
2.19
每一个有限群都与一个
群同构。
123
4
5
2.20
312
5
4
为S5上的元素，贝U=。
2-1
2.22在4次对称群9中，（134）（312）=.
2.23在4次对称群9中，〔24〕〔231〕=,〔4321〕"=
132〕的阶为。
2.24在6次对称群S中,（1235）（36）=。
1
2.25（2431）=。
2.26设群G的元a的阶是n,那么a的阶是.
n
2.27设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为。
4
2.28群G中的元素a的阶等于50，那么a的阶等于。
2.29设G（a）为循环群，那么〔1〕假设a的阶为无限，那么G同构于
〔2〕假设a的阶为n,那么G同构于。
2.30假设群G是一个6阶循环群，那么G与〔模6剩余类同构〕
同构。
2.31设G=a是循环群，那么G与模n的剩余类加群同构的充要条件是。
2.32整数加群（Z,+）的两个生成元是___+1和-1。
2.33整数加群Z有个生成元.
2.34整数加群（Z,+）的生成元是。
2.35无限循环群G=（a）的生成元为_a的逆。
2.36无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有个。
2.37假设G=（a）是一个无限循环的乘法群，那么G的另一个生成元是a的逆元。
2.38剩余类加群Z共有__4个元可作为它的生成元。
2.3916阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为___8。
2.40模10<1379>剩余类加群（Z,+）中能作为Z的生成元的元素有。
2.41设G=a是12阶循环群，那么G的生成元是
2.42设G是一个pm阶群，其中p是一个素数，m是一个正整数，那么G的真子群的
一切可能的阶数是。
2.43设G是p阶群，〔p是素数〕，那么G的生成元有个.
2.44剩余类加群Z12有个生成元.
2.45设H是群G的非空子集，那么H是G的子群的充要条件是。
2.46设G=〔a〕是6阶循环群，那么G的子群有。
2.47设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，那么元素a2的阶为，子
群H=的在G中的指数是。
2.48设A1'A2为群G的子群，那么A,A2是群G的子群的充分必要条件为。
2.49设H是群G的子群，a,bG，那么HaHb。
2.50在3次对称群S中，H={
（1），（12）}是S3的一个子群，那么H（23）=.
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
2.56
2.57
2.58
2.59
2.60
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.70
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
在3次对称群S3中，H=〔1〕，〔23〕}，那么S3对H的右陪集分解式是
S3的子群H1,123,132的一切右陪集。
3
G=（a）是21阶群，Hh（a）.那么[G:
H]=
凯莱定理说：
任一个子群都同一个同构。
凯莱定理的内容是：
任一个子群都同一个同构。
设G是群，N是G的非空子集，那么N△G的充要条件是
_5
H=，贝HG/H=
贝y=。
（1（S））
6阶循环群有个子群.
设G是由a生成的30阶循环群，
3
设G=⑻是10阶群，H=（a）,
设：
AA,SA，那么
16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为
设：
aA,aA，那么（（a））=。
模10的剩余类加群Z10的生成元为。
15
设a是群G中的一个6阶元，那么a的阶为。
一个6阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是。
剩余类加群（Z12,）中能作为它的生成元的元素有。
10-1
设G是群，a,b€G,|a|=12,那么|bab|=。
设G是一个20阶的交换群，a€G,|a|=2,贝UG/也
H1
在整数加群Z中，HZ,，贝VH。
在整数加群Z中，H4那么[G：
H]=。
在4次对称群S4中，S={（123）},那么=，
在S5中，=（235）（13）（24）,贝V=
13、平面上的正方形的对称群是
3证明题：
的乘法构成群.
3.5全体可逆的’「阶方阵的集合’一二・-关于矩阵的乘法构成一个非交换
群.这个群的单位元是单位矩阵，每个元素〔即可逆矩阵〕」丄的逆元是二的逆矩阵二\
G作成一个群。
3.8设G是一个群，证明：
G是交换群的充分必要条件是，对任意a,bG，都有
222
（ab）ab.
i
3.9证明：
在群G中，a与a有相同的阶.
1
3.10证明：
在群G中，a与bab有相同的阶.
3.11证明：
在n阶群G中每个元都满足xn=e.
3.12设G为群•狂•证明:
咖-I与b有相同的阶
3.13证明：
在群G中，ab与ba有相同的阶.
3.14设L为群-二.证明:
Jl：
..'u有相同的阶
3.15设〒为二到I?
•的同构映射，■■='，.证明：
「与「•有相同的阶.
.,_n
3.16设亡为群,'J,二的阶为；，；二「，~证明：
」…/.
3.17设；’J；,主的阶为*，证明「的阶是'，其中：
八。
3.18证明：
循环群是交换群.
3.19证明：
有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.
3.20证明：
任意偶数阶群必含有阶为2的元素.
3.21设『为素数.证明：
」「中每一个非零元都是生成元.
3.23设G是一个交换群,
m是固定的正整数.令H{aG|ae}.证明：
H是g
的一个子群.
3.24假定心和：
'是一个群
G的两个元，并且芒-1，又假定；的阶是二，：
’的阶是,帥川"1,证明：
必的阶是祕。
3.25设比屮2是群G的子群•证明：
比H2也是G的一个子群.
3.26设G是一个群，令C{aG|aXxa,XG}•证明：
C是G的一个子群.
3.27设G是一个群，S是G的一个非空子集.令
C（S）{aGIaxxa，xS}.证明：
C〔S〕是G的一个子群.
3.28假设群G的阶是素数p，那么G是一个循环群，试证之.
3.29证明：
循环群的子群也是循环群.
3.30假设群G与群G同态，且G是循环群，证明：
G也是循环群.
m
3.31证明：
阶为p的群〔p是素数〕一定包含有一个阶为p的子群.
3.32设H,K是群G的不变子群，证明：
HK也是G的不变子群。
3.33设H,K是群G的不变子群，且HK{e}•证明：
hH,kK，都有
hkkh.
3.34设H,K是群G的不变子群，证明：
HK也是G的不变子群。
3.35设H是群G的子群，N是G的不变子群。
证明：
HN是G的子群.
n
3.36设G是一个n阶有限群•证明：
G的每一个元素都满足方程xe.
3.37设G是一个群，C{aG|axxa,xG}是g的中心，证明：
C是G
的一个不变子群.
3.38设C是群G的中心，即C{aG|axxa,xG}•且商群％是循环群•证明：
G交换群.
3.39假设G是循环群，H是G的一个子群•证明：
％也是循环群.
1
3.40设G是一个群，令：
xx,xG•证明：
是g到G的同构映射的充分必
要条件是：
G是一个交换群.
3.41设H是群G的子群，令2（H）={x|xG,xH=Hx},证明N（H）是G的子群.
3.42设G是群，令C={x|xG,yG,xy=yx},证明C是G的正规子群。
3.43设G=（a）是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。
3.44设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，且I
除单位元之外不含有限阶元素。
1
3.45取定群G的元u,在G中定义新的"o〞：
aob=aub.a.bG.证明〔G,o〕
是群.
3.46证明循环群的子群也是循环群。
3.47设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群No
2
3.48假设G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程xe的解，证明G是-个交换群。
3.49假设G是一个循环群,N是G的一个子群，证明也是一个循环群.
3.50证明阶是素数的群一定是循环群。
3.51设G是一个43阶的有限群，证明G的子群只有单位元群及G本身。
1
3.52证明：
群G为交换群f:
xx（xG）为G到G的一个同构映射。
3.53设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明a
3.54设G是群，f:
AGaa2,（aG）证明f是群G的自同态G是交换群。
3.55设G={〔a,b〕|a,b|R,a
0},在G上定义“〞：
（a,b）（c,d）
（ac,adb）
证明〔G,
〕构成一个群。
3.56
设G是有限交换群，f:
G
k
G,f（g）=g（gG）证明f
Aut（G）
（k,|G|）=1。
3.57
设G是100阶的有限交换群，
f:
GG,f（g）=g49（g
G）,证明f
Aut（G）。
3.58
设AG,BG如果存在a,b
G,使得Aa=Bb,那么A=B
3.59
设G是交换群，m是固定的整数，令H={a|aG,a*}
，证明H
G
3.60
设HG,令C（H）={g|gG,
hH,gh=hg},证明Cg（H）
Go
3.61设G是非空有限集合，“〞是G的一个二元运算,
律，证明：
（G,）构成一个群，当G是无限集时呢?
适合结合律及左、右消去
3.62设G是2000阶的交换群，HG,|H|=200，证明：
H是一个循环群。
G的生成元只有
两个，那么G是否一定同构于Z？
3.64设G是一个循环群，|G|
3.65设G是有限群，HG,a
3.66设G是奇阶群，那么对任意
3.63证明：
无限循环群的生成元的个数只有两个。
反之，一个循环群
3,4,G的生成元的个数为2，证明GZ。
G,证明存在最小正整数m,使amH,且m|a。
gG,存在唯一元xG,使g=x2。
3.67证明：
整数加群Z与偶数加群2Z同构。
3.68设HG,g是G的一个固定元素，gHg-1={ghg1|hH}〔1〕证明：
gHg-1G。
〔2〕证明:
HgHg1。
对矩阵的加法也构成群，证明：
GHo
3.70设H是群G的非空子集，且H中元的阶都有限，证明:
3.72设G是群，a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,n={e}.证明：
|ab|=[m,n]（[m,n]是m,n的最小公倍数）。
3.73设是一个n次置换，集合X={1,2,3,…,n}，在X中，规定关系“~〞为
k~lrZ,使r（k）=l.证明：
“~〞是X上的一个等价关系。
}证明：
KS。
3.74设K={
（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）
3.75设G是群，HG,规定关系“a~babH，a，bG证明：
~是g的一个等价关系，且a所在的等价类[a]=Ha。
3.76证明：
1
升级会员 