近世代数练习题题库.docx
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近世代数练习题题库
§1第一章根底知识1判断题:
1.1设A与B都是非空集合,那么ABxxA且xB。
〔〕
1.2AXB=BXA〔〕
1.3只要f是a到A的映射,那么必有唯一的逆映射f1。
〔〕
1.4如果是A到A的一一映射,贝U[(a)]=a。
()
1.5集合A到B的可逆映射--定是A到B的双射。
〔〕
1.6设A、B、D都是非空集合,那么AB到D的每个映射都叫作二元运算。
〔〕
1.7在整数集Z上,定义“〞:
ab=ab(a,b€Z),那么“〞是Z的一个二元运算。
〔〕
1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。
()
2填空题:
2.1假设A={0,1},那么AA=。
2.2设A={1,2},B={a,b},贝UAXB=。
2.3设={1,2,3}B={a,b},那么AB=。
2.4设A={1,2},贝UAA=。
2.5设集合A1,0,1;B1,2,那么有BA。
2.6如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,那么f1fa。
2.7设A={a1,a2,…a8},那么A上不同的二元运算共有个。
2.8设AB是集合,|A|=|B|=3,那么共可定义个从A到B的映射,其中
有个单射,有个满射,有个双射。
2.9设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有个.
2.10设A={a,b,c},那么A到A的——映射共有个.
2.11设A={a,b,c,d,e},那么A的一一变换共有个.
2.12集合A的元间的关系〜叫做等价关系,如果〜适合以下三个条件:
2.13设A={a,b,c},那么A的所有不同的等价关系的个数为。
2.14设〜是集合A的元间的一个等价关系,它决定A的一个分类:
a,b是两个等价
类。
贝Hab。
2.15设集合A有一个分类,其中A与Aj是A的两个类,如果AAj,那么
AAj
。
2.16设A={1,2,3,4,5,6},规定A的等价关系〜如下:
a〜b2|a-b,那么
A的所有不同的等价类是。
2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合,〜是M上的合同关系,那么由〜给出M
的所有不同的等价类的个数是
2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn〔F〕中,规定等价关系~:
A~B秩(A)=秩
(B),那么这个等价关系决定的等价类有个。
2.19设Moo(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在Moo(F)中规定等价关系~如下:
A~B秩(A)=秩(B),那么这个等价关系所决定的等价类共有个。
2.20假设M={有理数域上的所有3级方阵},A,BM,定义A~B秩(A)=秩(B),那么
由〞~〞确定的等价类有个。
3证明题:
3.1
设是集合A到B的一个映射,对于a,bA,规定关系“〜〞:
a~b
(a)(b)•证明:
“〜〞是a的一个等价关系.
3.2
在复数集C中规定关系“〜〞:
a~b|a||b|•证明:
“〜〞是C的一个等价关系.
3.3
在n阶矩阵的集合Mn(F)中规定关系“〜〞:
A~b|A||B|.证明:
“〜〞是
Mn(F)的一个等价关系.
3.4设“是集合A的一个关系,且满足:
〔1〕对任意aA,有a~a;〔2〕对任意a,b,cA,假设a~b,a~c,就有b〜c.证明:
“〜〞是a的一个等价关系.
3.5设G是一个群,在G中规定关系“〜〞:
a~b存在于gG,使得bg1ag•证明:
“〜〞是G的一个等价关系.
第二章群论
1判断题:
§2.1群的定义.
1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
(A)G对于这个乘法运算都是封闭的;
(B)a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立;
(C)存在G,使得aG,都有ea=a成立;
(D)aG,都存在aQ使得aa=e成立。
那么G关于这个乘法运算构成一个群。
()
1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
A〕G对于这个乘法运算是封闭的;
B〕a,b,cG,都有〔ab〕c=a(bc)成立;
那么G关于这个乘法运算构成一个群。
〔〕
1.3设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果
(1)G对乘法运算是封闭的
(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,那么G构成群。
()
1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果
(1).G对乘法运
算是封闭的;
(2).乘法适合结合律与消去律,那么G对所给的乘法构成一个群。
()
1.5实数集R关于数的乘法成群。
〔〕
1.6假设G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,那么|a|。
()
1.7假设|a|=2,|b|=7,ab=ba,那么|ab|=14。
1.8设Q为有理数集,在Q上定义二元运算
ab=a+b+ab(a,bQ,那么(Q,))
构成一个群。
〔〕
§2.2变换群、置换群、循环群
1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
〔〕
1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.()
1.11集合A的所有的变换作成一个变换群。
〔〕
1.12素数阶群都是交换群。
〔〕
1.13p〔p为质数〕阶群G是循环群.〔〕
1.14素数阶的群G一定是循环群.()
1.153次对称群S3是循环群。
〔〕
1.16任意群都同构于一个变换群.〔〕
1.17有限群都同构于一个置换群。
()
1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。
〔〕
1.19在5次对称群足中,(15)(234)的阶是6.()
1.20在4次对称群9中,〔12〕〔324〕的阶为6。
〔
1.21在S5中,(12)(345)的阶是3。
()
1.22任意有限群都与一个交换群同构。
〔〕
1.23
因为22阶群是交换群,
所以
62阶群也为交换群。
〔
〕
1.24
6阶群是交换群。
〔
〕。
1.25
4阶群一
定是交换群。
〔
〕
1.26
4阶群一
定是循环群。
〔
〕
1.27
循环群一
定是交换群。
〔
〕
1.28设G是群,a,b€G,|a|=2,|b|=3,贝U|ab|=6。
〔〕
1.2914阶交换群一定是循环群。
〔〕
1.30如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的,那么G与整数加群同构。
1.31有理数加群Q是循环群。
〔〕
1.32假设一个循环群G的生成元的个数为2,那么G为无限循环群。
〔〕
§2.3子群、不变子群。
1.33假设H是群G的一个非空子集,且a,bH都有abH成立,那么H是G的一个
子群。
〔〕
1.34
假设H是群G的一个非空有限子集,且
a,b
H都有ab
H成立,那么H是G的
一个子群。
〔〕
1.35
循环群的子群也是循环群。
〔〕
1.36
如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。
〔
〕
1.37
一个阶是11的群只有两个子群。
〔
〕
1.38
有限群G中每个元素a的阶都整除群
G
的阶。
〔〕
1.39
设G是一个n阶群,m|n,那么G中一定有
m阶子群存在。
〔〕
1.40
假设G是60阶群,那么G有14阶子群。
(
)
1.41
设G是60阶群,那么G有40阶子群。
〔〕
1.42
阶为100的群一定含25阶兀。
〔
〕
1.43
阶为100的群一定含25阶子群。
〔
〕
1.44
阶为81的群G中,一定含有3阶兀。
〔〕
1.45
设H是群G的一个非空子集,那么H
G
H
H1
H。
〔〕
1.46
设H是群G的一个非空子集,那么H
G
H
H1
H
O
〔〕
1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgH。
〔〕
1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.〔〕
1.49指数为2的子群不是不变子群。
〔〕
1.50假设N_H,H_G那么N_G()
1.51假设N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,那么N是G的不变子群。
()
1.52设H1.53假设NN,HG那么NHG。
〔〕§2.4商群、群的同态定理。
1.54群之间的同态关系是等价关系。
〔〕
1.55循环群的商群是循环群。
〔〕
1.56设f:
GG是群G到群G的同态满射,a€G,那么a与f⑻的阶相同。
〔〕
1.57设G是有限群,H那么|Ghi4
|H|
1.58假设是群G到G的同态满射,变子群,且GNG(N)。
()
N是G的一个不变子群,那么
〔N〕
是G的不
1.59
设f是群G到群G的同态映射,
H—G贝Uf(H)-
1.60
1.61
设f是群G到群G的同态映射,假设是群G到的一个同态满射,N
H是G的一个不变子群
那么(N)是的不变子群,且~。
1.62
假设是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N的原象,那么()是G不变子
1.63设G和G都是群,GG
〔〕
2填空题:
2
在群G中,a,b€Ga=e
1
N_G,n=(N),那么n—G,且G/NG/N。
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
,a_1ba=b2,贝U|b|=
,|b|=3,那么|a2b|=
在交换群G中,a,b€G,|a|=8
设a是群G的元,a的阶为6,那么a4的阶为
设a是群G中的一个8阶元,那么a的阶为。
设G是交换群,a、bG,|a|=5,|b|=7,那么|ab|=__
群AG中有个1阶元。
在S5中,4阶元的个数为
在S4中,3阶元的个数为
2.9
12
12,那么
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
设G为群,aG,假设
设群G={e,a1,a2,…,an-1},运算为乘法,
2_
假设a,b是交换群G中的5阶元和7阶元,那么ab的阶为在整数加群Z中,<4>Q<6>=
10阶交换群G的所有子群的个数是阶数最小的非交换群的阶数是个元素.
o
e为G的单位元,那么a1n=
o
。
一个有限非可换群至少含有
2.15
任意群G-
疋同构于
G的一个
。
2.16
n次对称群
Sn的阶是
。
1
234
5
6
78
9
2.17
9-置换
分解为互不相交的循环之积是
5
439
6
1
82
7
2.18
n阶有限群
G一定
置换群。
2.19
每一个有限群都与一个
群同构。
123
4
5
2.20
312
5
4
为S5上的元素,贝U=。
2-1
2.22在4次对称群9中,(134)(312)=.
2.23在4次对称群9中,〔24〕〔231〕=,〔4321〕"=
132〕的阶为。
2.24在6次对称群S中,(1235)(36)=。
1
2.25(2431)=。
2.26设群G的元a的阶是n,那么a的阶是.
n
2.27设群G中元素a的阶为m,如果ae,那么m与n存在整除关系为。
4
2.28群G中的元素a的阶等于50,那么a的阶等于。
2.29设G(a)为循环群,那么〔1〕假设a的阶为无限,那么G同构于
〔2〕假设a的阶为n,那么G同构于。
2.30假设群G是一个6阶循环群,那么G与〔模6剩余类同构〕
同构。
2.31设G=a是循环群,那么G与模n的剩余类加群同构的充要条件是。
2.32整数加群(Z,+)的两个生成元是___+1和-1。
2.33整数加群Z有个生成元.
2.34整数加群(Z,+)的生成元是。
2.35无限循环群G=(a)的生成元为_a的逆。
2.36无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有个。
2.37假设G=(a)是一个无限循环的乘法群,那么G的另一个生成元是a的逆元。
2.38剩余类加群Z共有__4个元可作为它的生成元。
2.3916阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为___8。
2.40模10<1379>剩余类加群(Z,+)中能作为Z的生成元的元素有。
2.41设G=a是12阶循环群,那么G的生成元是
2.42设G是一个pm阶群,其中p是一个素数,m是一个正整数,那么G的真子群的
一切可能的阶数是。
2.43设G是p阶群,〔p是素数〕,那么G的生成元有个.
2.44剩余类加群Z12有个生成元.
2.45设H是群G的非空子集,那么H是G的子群的充要条件是。
2.46设G=〔a〕是6阶循环群,那么G的子群有。
2.47设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,那么元素a2的阶为,子
群H=的在G中的指数是。
2.48设A1'A2为群G的子群,那么A,A2是群G的子群的充分必要条件为。
2.49设H是群G的子群,a,bG,那么HaHb。
2.50在3次对称群S中,H={
(1),(12)}是S3的一个子群,那么H(23)=.
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
2.56
2.57
2.58
2.59
2.60
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.70
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
在3次对称群S3中,H=〔1〕,〔23〕},那么S3对H的右陪集分解式是
S3的子群H1,123,132的一切右陪集。
3
G=(a)是21阶群,Hh(a).那么[G:
H]=
凯莱定理说:
任一个子群都同一个同构。
凯莱定理的内容是:
任一个子群都同一个同构。
设G是群,N是G的非空子集,那么N△G的充要条件是
_5
H=,贝HG/H=
贝y=。
(1(S))
6阶循环群有个子群.
设G是由a生成的30阶循环群,
3
设G=⑻是10阶群,H=(a),
设:
AA,SA,那么
16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为
设:
aA,aA,那么((a))=。
模10的剩余类加群Z10的生成元为。
15
设a是群G中的一个6阶元,那么a的阶为。
一个6阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是。
剩余类加群(Z12,)中能作为它的生成元的元素有。
10-1
设G是群,a,b€G,|a|=12,那么|bab|=。
设G是一个20阶的交换群,a€G,|a|=2,贝UG/也
H1
在整数加群Z中,HZ,,贝VH。
在整数加群Z中,H4那么[G:
H]=。
在4次对称群S4中,S={(123)},那么=,
在S5中,=(235)(13)(24),贝V=
13、平面上的正方形的对称群是
3证明题:
的乘法构成群.
3.5全体可逆的’「阶方阵的集合’一二・-关于矩阵的乘法构成一个非交换
群.这个群的单位元是单位矩阵,每个元素〔即可逆矩阵〕」丄的逆元是二的逆矩阵二\
G作成一个群。
3.8设G是一个群,证明:
G是交换群的充分必要条件是,对任意a,bG,都有
222
(ab)ab.
i
3.9证明:
在群G中,a与a有相同的阶.
1
3.10证明:
在群G中,a与bab有相同的阶.
3.11证明:
在n阶群G中每个元都满足xn=e.
3.12设G为群•狂•证明:
咖-I与b有相同的阶
3.13证明:
在群G中,ab与ba有相同的阶.
3.14设L为群-二.证明:
Jl:
..'u有相同的阶
3.15设〒为二到I?
•的同构映射,■■=',.证明:
「与「•有相同的阶.
.,_n
3.16设亡为群,'J,二的阶为;,;二「,~证明:
」…/.
3.17设;’J;,主的阶为*,证明「的阶是',其中:
八。
3.18证明:
循环群是交换群.
3.19证明:
有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.
3.20证明:
任意偶数阶群必含有阶为2的元素.
3.21设『为素数.证明:
」「中每一个非零元都是生成元.
3.23设G是一个交换群,
m是固定的正整数.令H{aG|ae}.证明:
H是g
的一个子群.
3.24假定心和:
'是一个群
G的两个元,并且芒-1,又假定;的阶是二,:
’的阶是,帥川"1,证明:
必的阶是祕。
3.25设比屮2是群G的子群•证明:
比H2也是G的一个子群.
3.26设G是一个群,令C{aG|aXxa,XG}•证明:
C是G的一个子群.
3.27设G是一个群,S是G的一个非空子集.令
C(S){aGIaxxa,xS}.证明:
C〔S〕是G的一个子群.
3.28假设群G的阶是素数p,那么G是一个循环群,试证之.
3.29证明:
循环群的子群也是循环群.
3.30假设群G与群G同态,且G是循环群,证明:
G也是循环群.
m
3.31证明:
阶为p的群〔p是素数〕一定包含有一个阶为p的子群.
3.32设H,K是群G的不变子群,证明:
HK也是G的不变子群。
3.33设H,K是群G的不变子群,且HK{e}•证明:
hH,kK,都有
hkkh.
3.34设H,K是群G的不变子群,证明:
HK也是G的不变子群。
3.35设H是群G的子群,N是G的不变子群。
证明:
HN是G的子群.
n
3.36设G是一个n阶有限群•证明:
G的每一个元素都满足方程xe.
3.37设G是一个群,C{aG|axxa,xG}是g的中心,证明:
C是G
的一个不变子群.
3.38设C是群G的中心,即C{aG|axxa,xG}•且商群%是循环群•证明:
G交换群.
3.39假设G是循环群,H是G的一个子群•证明:
%也是循环群.
1
3.40设G是一个群,令:
xx,xG•证明:
是g到G的同构映射的充分必
要条件是:
G是一个交换群.
3.41设H是群G的子群,令2(H)={x|xG,xH=Hx},证明N(H)是G的子群.
3.42设G是群,令C={x|xG,yG,xy=yx},证明C是G的正规子群。
3.43设G=(a)是一无限循环群,证明G的生成元只有两个。
3.44设G是交换群,证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群,且I
除单位元之外不含有限阶元素。
1
3.45取定群G的元u,在G中定义新的"o〞:
aob=aub.a.bG.证明〔G,o〕
是群.
3.46证明循环群的子群也是循环群。
3.47设p是一个素数,证明2p阶群G中一定有一个p阶子群No
2
3.48假设G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程xe的解,证明G是-个交换群。
3.49假设G是一个循环群,N是G的一个子群,证明也是一个循环群.
3.50证明阶是素数的群一定是循环群。
3.51设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。
1
3.52证明:
群G为交换群f:
xx(xG)为G到G的一个同构映射。
3.53设G是一个1000阶的交换群,a是G的一个100阶元,证明a
3.54设G是群,f:
AGaa2,(aG)证明f是群G的自同态G是交换群。
3.55设G={〔a,b〕|a,b|R,a
0},在G上定义“〞:
(a,b)(c,d)
(ac,adb)
证明〔G,
〕构成一个群。
3.56
设G是有限交换群,f:
G
k
G,f(g)=g(gG)证明f
Aut(G)
(k,|G|)=1。
3.57
设G是100阶的有限交换群,
f:
GG,f(g)=g49(g
G),证明f
Aut(G)。
3.58
设AG,BG如果存在a,b
G,使得Aa=Bb,那么A=B
3.59
设G是交换群,m是固定的整数,令H={a|aG,a*}
,证明H
G
3.60
设HG,令C(H)={g|gG,
hH,gh=hg},证明Cg(H)
Go
3.61设G是非空有限集合,“〞是G的一个二元运算,
律,证明:
(G,)构成一个群,当G是无限集时呢?
适合结合律及左、右消去
3.62设G是2000阶的交换群,HG,|H|=200,证明:
H是一个循环群。
G的生成元只有
两个,那么G是否一定同构于Z?
3.64设G是一个循环群,|G|
3.65设G是有限群,HG,a
3.66设G是奇阶群,那么对任意
3.63证明:
无限循环群的生成元的个数只有两个。
反之,一个循环群
3,4,G的生成元的个数为2,证明GZ。
G,证明存在最小正整数m,使amH,且m|a。
gG,存在唯一元xG,使g=x2。
3.67证明:
整数加群Z与偶数加群2Z同构。
3.68设HG,g是G的一个固定元素,gHg-1={ghg1|hH}〔1〕证明:
gHg-1G。
〔2〕证明:
HgHg1。
对矩阵的加法也构成群,证明:
GHo
3.70设H是群G的非空子集,且H中元的阶都有限,证明:
3.72设G是群,a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,n={e}.证明:
|ab|=[m,n]([m,n]是m,n的最小公倍数)。
3.73设是一个n次置换,集合X={1,2,3,…,n},在X中,规定关系“~〞为
k~lrZ,使r(k)=l.证明:
“~〞是X上的一个等价关系。
}证明:
KS。
3.74设K={
(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)
3.75设G是群,HG,规定关系“a~babH,a,bG证明:
~是g的一个等价关系,且a所在的等价类[a]=Ha。
3.76证明:
1