近世代数练习题题库.docx

1、近世代数练习题题库 1第一章根底知识 1 判断题:1.1设A与B都是非空集合，那么 A B xx A且x B。1.2AX B = B X A 1.3只要f是a到A的 映射，那么必有唯一的逆映射 f 1。1.4如果是A到A的一一映射,贝U (a)=a。()1.5集合A到B的可逆映射- -定是 A到B的双射。 1.6设A、B、D都是非空集合，那么 A B到D的每个映射都叫作二元运算。 1.7在整数集Z上，定义“ ：a b=ab(a,b Z)，那么“ 是Z的一个二元运算。 1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。()2 填空题：2.1假设 A=0,1, 那么 A A= 。2.2设 A = 1 , 2

2、 , B = a , b，贝U AX B = 。2.3设=1,2,3 B=a,b, 那么 A B= 。2.4设 A=1,2,贝U A A= 。2.5设集合 A 1,0,1 ; B 1,2，那么有 B A 。2.6如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，那么f 1 f a 。2.7设A = a1, a2,a8,那么A上不同的二元运算共有 个。2.8设A B是集合，| A | = | B | = 3,那么共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有 个.2.10设A=a,b,c，那么A到A的映射共有 个.2.11设A=

3、a,b,c,d,e，那么A的一一变换共有 个.2.12集合A的元间的关系叫做等价关系，如果适合以下三个条件：2.13设A = a, b, c ,那么A的所有不同的等价关系的个数为 。2.14设是集合 A的元间的一个等价关系，它决定 A的一个分类：a , b是两个等价类。贝H a b 。2.15设集合 A有一个分类，其中 A与Aj是A的两个类，如果 A Aj ,那么A Aj。2.16设A = 1,2, 3, 4, 5, 6 ,规定A的等价关系如下：ab 2|a-b，那么A的所有不同的等价类是 。2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，是 M上的合同关系，那么由给出 M的所有不同的等价类的个

4、数是2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn F中，规定等价关系 ： AB 秩(A)=秩(B)，那么这个等价关系决定的等价类有 个。2.19设Moo(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合，在Moo(F)中规定等价关系如下： AB 秩(A)=秩(B)，那么这个等价关系所决定的等价类共有 个。2.20假设M=有理数域上的所有 3级方阵,A,B M,定义 AB秩(A)=秩(B),那么由确定的等价类有 个。3 证明题：3.1设 是集合A到B的一个映射，对于a,b A ,规定关系“：ab(a) (b) 证明：“是a的一个等价关系.3.2在复数集C中规定关系“：a b |a| |b| 证明：“是C的一

5、个等价关系.3.3在n阶矩阵的集合Mn(F)中规定关系“：Ab |A|B|.证明：“是Mn(F) 的一个等价关系3.4设“ 是集合A的一个关系，且满足：1对任意a A，有aa； 2对任 意a,b,c A，假设ab,ac,就有bc .证明：“是a的一个等价关系.3.5设G是一个群，在G中规定关系“：ab 存在于g G，使得b g 1ag 证 明：“是G的一个等价关系.第二章 群论1 判断题：2.1 群的定义 .1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:(A)G 对于这个乘法运算都是封闭的；(B)a,b,cG ，都有 (ab)c=a(bc) 成立；(C)存在G,使得 aG,都有ea=a成立；

6、(D)aG,都存在aQ 使得aa=e成立。那么G关于这个乘法运算构成一个群。 ()1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:AG对于这个乘法运算是封闭的；B a,b,c G,都有abc=a(bc)成立;那么 G 关于这个乘法运算构成一个群。 1.3设G是一个非空集合，在G中定义了一个代数运算，称为乘法,如果(1)G对乘法运算 是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律，那么G构成群。()1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法 ，如果(1). G对乘法运算是封闭的；(2). 乘法适合结合律与消去律，那么G对所给的乘法构成一个群。()1.5实数集R关于数的

7、乘法成群。 1.6假设G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶，那么|a|。()1.7 假设 |a|=2,|b|=7,ab=ba, 那么 |ab|=14。1.8设Q为有理数集，在 Q上定义二元运算a b=a+b+ab( a, b Q,那么(Q,)构成一个群。 2.2 变换群、置换群、循环群1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。 1.10一个集合 A 的所有变换作成一个变换群 G.( )1.11集合A的所有的 变换作成一个变换群。 1.12素数阶群都是交换群。 1.13pp为质数阶群 G是循环群. 1.14素数阶的群G一定是循环群.()1.153 次对称群 S3 是循环群。 1.16任意群

8、都同构于一个变换群 1.17有限群都同构于一个置换群。 ( )1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。 1.19在5次对称群 足中，(15)(234)的阶是6.()1.20在4次对称群 9中，12 324的阶为6。1.21在 S5 中，(12)(345)的阶是 3。()1.22 任意有限群都与一个交换群同构。 1.23因为 22阶群是交换群,所以62 阶群也为交换群。 1.246 阶群是交换群。 。1.254 阶群一定是交换群。1.264 阶群一定是循环群。1.27循环群一定是交换群。1.28 设 G是群，a, b G, |a|=2, |b|=3, 贝U |ab|=6。 1.29 14 阶交

9、换群一定是循环群。 1.30如果循环群G a中生成元a的阶是无限的，那么 G与整数加群同构。1.31有理数加群 Q是循环群。 1.32假设一个循环群 G的生成元的个数为 2，那么G为无限循环群。 2.3子群、不变子群。1.33假设H是群G的一个非空子集，且 a,b H都有ab H成立，那么H是G的一个子群。 1.34假设H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，那么H是G的一个子群。 1.35循环群的子群也是循环群。 1.36如果群G的子群H是循环群，那么 G也是循环群。1.37一个阶是11的群只有两个子群。1.38有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。1.39设G是一个n阶群，

10、m|n，那么G中一定有m阶子群存在。 1.40假设G是60阶群,那么G有14阶子群。()1.41设G是60阶群，那么G有40阶子群。 1.42阶为100的群一定含25阶兀。1.43阶为100的群一定含25阶子群。1.44阶为81的群G中，一定含有3阶兀。 1.45设H是群G的一个非空子集，那么 HGHH 1H。 1.46设H是群G的一个非空子集，那么 HGHH 1HO 1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为 g G， h H;g 1Hg H。1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.1.49指数为2的子群不是不变子群。1.50 假设 N_H,H_G 那么 N_G (

11、)1.51假设N是群G的不变子群,N是群N的不变子群，那么N是G的不变子群。()1.52设 H G, KW G,贝U HKC G 1.53假设 N N, H G那么 NH G。 2.4商群、群的同态定理。1.54群之间的同态关系是等价关系。 1.55循环群的商群是循环群。 1.56设f: G G是群G到群G的同态满射，a G,那么a与f 的阶相同。1.57设G是有限群，H G,那么|Ghi 4|H |1.58假设 是群G到G的同态满射, 变子群，且 GN G (N)。()N是G的一个不变子群，那么N是G的不1.59设f是群G到群G的同态映射,HG 贝U f(H)-1.601.61设f是群G到群

12、G的同态映射， 假设是群G到的一个同态满射,NH G 贝 U f(H) w是G的一个不变子群,那么(N)是的不变子群,且。1.62假设是群G到的同态满射，是的一个不变子群,()表示N的原象，那么()是G不变子1.63设G和G都是群，G G 2 填空题：2在群 G 中，a， b G a = e1N_G , n= ( N )，那么 nG,且 G/N G/N。2.12.22.32.42.52.62.72.8，a_ 1ba = b 2，贝U |b| = ，|b| = 3 ，那么 |a 2 b | =在交换群G中，a，b G, |a| = 8设a是群G的元,a的阶为6，那么a4的阶为 设a是群G中的一个

13、8阶元，那么a的阶为 。设 G是交换群，a、b G, |a|=5, |b|=7, 那么 |ab|=_群AG中有 个1阶元。在S5中，4阶元的个数为在S4中，3阶元的个数为2.91212，那么2.102.112.122.132.14设G为群，a G,假设设群G=e, a1, a2,an-1,运算为乘法，2 _假设a,b是交换群G中的5阶元和7阶元，那么ab的阶为 在整数加群 Z中，Q = 10阶交换群G的所有子群的个数是 阶数最小的非交换群的阶数是 个元素.oe为G的单位元，那么a1n =o。一个有限非可换群至少含有2.15任意群G -疋同构于G的一个。2.16n次对称群Sn的阶是。12 3 4

14、567 892.179-置换分解为互不相交的循环之积是54 3 9618 272.18n阶有限群G 一定置换群。2.19每一个有限群都与一个群同构。1 2 3452.203 1 254为S5上的元素，贝U = 。2 -12.22在 4 次对称群 9 中，(134) (312) = .2.23在 4 次对称群 9 中，24 231= , 4321 = 132 的阶为 。2.24在 6 次对称群 S 中,(1235)(36)= 。12.25(2431) = 。2.26设群G的元a的阶是n,那么a的阶是 .n2.27设群G中元素a的阶为m，如果a e，那么m与n存在整除关系为 。42.28群G中的元

15、素a的阶等于50，那么a的阶等于 。2.29设G (a)为循环群，那么1假设a的阶为无限，那么 G同构于 2假设a的阶为n,那么G同构于 。2.30假设群G是一个6阶循环群，那么G与模6剩余类同构 同构。2.31设G = a是循环群，那么G与模n的剩余类加群同构的充要条件是 。2.32整数加群 (Z,+) 的两个生成元是 _+1 和-1 。2.33整数加群 Z 有 个生成元 .2.34整数加群 (Z, +) 的生成元是 。2.35无限循环群G=(a)的生成元为_a的逆 。2.36无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有 个。2.37假设G=(a)是一个无限循环的乘法群，那么G的另一个生成元是

16、a的逆元 。2.38剩余类加群Z共有_4 个元可作为它的生成元。2.39 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为 _8 。2.40模10剩余类加群(Z,+)中能作为Z的生成元的元素有 。2.41设G = a是12阶循环群，那么 G的生成元是 2.42设G是一个pm阶群，其中p是一个素数， m是一个正整数，那么 G的真子群的一切可能的阶数是 。2.43设G是p阶群，p是素数，那么G的生成元有 个.2.44 剩余类加群 Z12 有 个生成元 .2.45设H是群G的非空子集，那么H是G的子群的充要条件是 。2.46设G= a是6阶循环群，那么 G的子群有 。2.47 设群G是24阶群，G中元

17、素a的阶是6，那么元素a2的阶为 ，子群H=的在G中的指数是 。2.48设A1A2为群G的子群，那么A,A2是群G的子群的充分必要条件为 。2.49设H是群G的子群，a,b G，那么Ha Hb 。2.50在3次对称群 S中，H= (1)，(12)是S3的一个子群，那么 H (23) = .2.512.522.532.542.552.562.572.582.592.602.612.622.632.642.652.662.672.682.692.702.712.722.732.742.752.762.772.782.79在3次对称群S3中，H= 1， 23，那么S3对H的右陪集分解式是 S3的子群

18、H 1,123, 132的一切右陪集 。3G=(a)是 21 阶群，Hh (a ).那么G:H= 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个 同构。设G是群，N是G的非空子集，那么 N G的充要条件是 _ 5H = ，贝H G/H = 贝 y = 。(1 (S)6阶循环群有 个子群.设G是由a生成的30阶循环群，3设G=是10阶群，H= (a ),设：A A, S A，那么16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为 设：a A, a A，那么(a) = 。模10的剩余类加群Z10的生成元为 。15设a是群G中的一个6阶元，那么a的阶为 。一个6阶的非交换群

19、G中的非单位元的阶一定是 。剩余类加群(Z12,)中能作为它的生成元的元素有 。10 -1设 G是群，a, b G, |a|=12, 那么 |ba b | = 。设G是一个20阶的交换群，a G, |a|=2, 贝U G/也 H 1在整数加群Z中，H Z , ，贝V H 。在整数加群Z中，H 4 那么G： H = 。在4次对称群 S4中，S= (123) ,那么= ，在 S5 中， =(235)(13)(24),贝V = 13、平面上的正方形的对称群是3 证明题：的乘法构成群.3.5全体可逆的阶方阵的集合一二-关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵，每个元素即可逆矩阵丄的逆元

20、是二的逆矩阵二 G作成一个群。3.8 设G是一个群，证明：G是交换群的充分必要条件是，对任意 a,b G，都有2 2 2(ab) a b .i3.9证明：在群G中，a与a有相同的阶.13.10证明：在群G中，a与bab有相同的阶.3.11证明：在n阶群G中每个元都满足 xn=e.3.12设G为群狂证明:咖-I与b有相同的阶3.13证明：在群 G中，ab与ba有相同的阶.3.14 设 L为群-二.证明:Jl：, .u有相同的阶3.15设为二到I?的同构映射， = ，.证明：与有相同的阶.,_ n3.16 设亡为群,J,二的阶为；，；二， 证明： / .3.17设；J ；,主的阶为*，证明的阶是，

21、其中：八。3.18证明：循环群是交换群.3.19证明：有限群中阶数大于 2的元的个数必是偶数.3.20证明：任意偶数阶群必含有阶为 2的元素.3.21设为素数.证明：中每一个非零元都是生成元.3.23设G是一个交换群,m是固定的正整数.令H a G|a e.证明：H是g的一个子群.3.24假定心和：是一个群G的两个元，并且芒 -1，又假定；的阶是二，：的阶是, 帥川1,证明：必的阶是祕。3.25设 比屮2是群G的子群证明： 比 H2也是G的一个子群.3.26设G是一个群，令C a G|aX xa, X G 证明：C是G的一个子群.3.27设 G 是一个群，S 是 G 的一个非空子集.令C(S)

22、 a G I ax xa， x S.证明：CS是 G 的一个子群.3.28假设群G的阶是素数p，那么G是一个循环群，试证之.3.29证明：循环群的子群也是循环群.3.30假设群G与群G同态，且G是循环群，证明： G也是循环群.m3.31证明：阶为p的群p是素数一定包含有一个阶为 p的子群.3.32设H , K是群G的不变子群，证明： HK也是G的不变子群。3.33设H, K是群G的不变子群，且 H K e 证明： h H, k K，都有hk kh.3.34设H , K是群G的不变子群，证明： H K也是G的不变子群。3.35设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群.n3.36设

23、G是一个n阶有限群证明：G的每一个元素都满足方程 x e .3.37设G是一个群，C a G|ax xa, x G是g的中心，证明：C是G的一个不变子群.3.38设C是群G的中心，即C a G |ax xa, x G 且商群 是循环 群证明：G交换群.3.39假设G是循环群，H是G的一个子群证明： 也是循环群.13.40设G是一个群，令 ：x x ,x G 证明： 是g到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群.3.41设H是群G的子群，令2(H)=x|x G, xH=Hx,证明N(H)是G的子群.3.42设G是群，令C=x|x G, y G, xy=yx,证明C是G的正规子群。3.43设

24、G=(a)是一无限循环群，证明 G的生成元只有两个。3.44设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合 T是G的一个子群，且 I除单位元之外不含有限阶元素。13.45取定群G的元u,在G中定义新的o ： aob=au b. a.b G.证明G, o是群.3.46证明循环群的子群也是循环群。3.47设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群No23.48假设G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程 x e的解，证明G是- 个交换群。3.49假设G是一个循环群,N是G的一个子群，证明也是一个循环群.3.50证明阶是素数的群一定是循环群。3.51设G是一个43阶的有限群，证明G的子

25、群只有单位元群及 G本身。13.52证明：群G为交换群 f:x x (x G)为G到G的一个同构映射。3.53设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 a3.54设G是群，f : AG a a2,( a G)证明f是群G的自同态 G是交换群。3.55 设 G= a, b|a, b |R, a0,在 G上定义 “：(a, b) (c,d)(ac, ad b)证明G,构成一个群。3.56设G是有限交换群，f : GkG,f(g)=g ( g G)证明 fAut(G)(k,|G|)=1 。3.57设G是100阶的有限交换群，f: G G, f(g)=g 49( gG),证明fAut

26、(G)。3.58设A G,B G如果存在a, bG,使得 Aa=Bb,那么 A=B3.59设G是交换群，m是固定的整数，令 H= a|a G, a*，证明HG3.60设 H G,令 C(H)= g|g G,h H,gh=hg ,证明 Cg(H)Go3.61设G是非空有限集合，“ 是G的一个二元运算,律，证明：(G,)构成一个群，当G是无限集时呢?适合结合律及左、右消去3.62设G是2000阶的交换群，H G,|H|=200，证明： H是一个循环群。G的生成元只有两个，那么G是否一定同构于Z ？3.64设G是一个循环群，|G|3.65设G是有限群，H G, a3.66设G是奇阶群，那么对任意3.

27、63证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群3,4,G的生成元的个数为 2，证明G Z。G,证明存在最小正整数 m,使am H,且m| a。 g G,存在唯一元x G,使g=x2。3.67证明：整数加群 Z与偶数加群2Z同构。3.68 设 H G, g 是 G的一个固定元素，gHg-1= ghg1|h H 1证明：gHg -1 G。 2 证明:H gHg 1。对矩阵的加法也构成群，证明： G Ho3.70设H是群G的非空子集，且H中元的阶都有限，证明:3.72 设 G是群，a, b G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, n = e.证明：|ab|=m, n (m, n是m, n的最小公倍数)。3.73设 是一个n次置换，集合 X= 1,2, 3, ,n ，在X中，规定关系“ 为kl r Z,使r(k)=l.证明：“ 是X上的一个等价关系。证明：K S。3.74 设 K= (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)3.75设G是群，H G,规定关系“ a b ab H，a，b G证明：是 g的 一个等价关系，且 a所在的等价类a=Ha。3.76证明：1