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生函数学习中困难分析及教学对策研究
论文题目：
初中生函数学习中认知错误
分析及教学对策研究
单位：
天津市实验中学
姓名：
刘红英
初中生函数学习中困难分析及教学对策研究
内容摘要：
函数的学习对于初中生来说是一大难点，教师如何分析这些困难？
采取什么样的教学策略帮助学生更好地进行函数的学习？
学生又是怎样对待自己在数学函数学习过程中的困难？
这些都和我们的教学和学生的学习密切相关。
笔者认为有必要研究学生函数学习过程中出现的错误。
一、初中生函数学习的困难原因分析
1.函数概念本身的原因
（1）“变量”概念的复杂性和辩证性。
（2）函数概念表示方式的多样性。
（3）函数符号的抽象性。
2.学生思维发展水平方面的原因
函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换。
但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。
理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。
但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。
二、实践研究
（一）问卷调查
1.调查目的：
从学生学习兴趣，反思能力，合作学习，对待错误的心情，纠正错误的方式和态度等方面入手调查学生如何对待函数学习过程中出现的错误。
2.调查方法和对象：
采用问卷调查法。
结合个别访谈、自己的教学经验与平时理论学习，设计了如下问卷调查表，在天津市实验中学初三四个班的220人进行了无记名问卷调查。
3.调查结果
（1）样本总数：
220人
（2）各选项人数所占百分比
1
2
3
4
5
6
A
8.89%
20.00%
37.78%
14.67%
28.44%
22.22%
B
48.44%
32.44%
28.67%
32.89%
10.22%
11.56%
C
36.00%
31.11%
26.89%
45.78%
12.44%
26.22%
D
6.22%
12.00%
4.44%
0.44%
44.89%
36.44%
其他
0.44%
4.44%
2.22%
6.22%
4.00%
3.56%
7
8
9
10
11
12
A
30.22%
7.11%
7.56%
11.56%
21.33%
37.11%
B
14.22%
44.89%
48.89%
19.56%
11.56%
90.22%
C
40.44%
28.89%
39.56%
35.56%
20.89%
78.22%
D
13.78%
14.22%
3.56%
27.56%
34.22%
78.22%
其他
1.33%
4.89%
0.44%
5.78%
12.00%
0.00%
4、调查分析和结论
（1）调查表中1-3题是有关学习反思习惯和能力的问题。
通过这组调查数据表明许多同学没有反思的习惯，特别是中下水平的学生，对知识的理解和掌握满足当时的学习，缺乏自己分析、思考的过程。
不愿意多想想自己的错误是什么？
为什么错误？
怎么改进等问题，认识不到自己的问题所在。
（2）调查表中4题说明了在学习过程中同学之间相互学习和合作学习的重要性和可行性。
（3）调查表中5-6题是希望了解学生对待学习中错误的心情和态度。
出现错误不是人们学习的初衷和愿意看到的结果，所以持消极的心态比积极心态的学生稍多点。
所以当学生出现大量或普遍性错误时，教师应该调整自己的教学方式，使他们减少出现错误，有足够的信心和能力进一步学习。
同时教师应该让学生明白学习过程中出现错误是正常现象，学会在错误中学习，培养学生锲而不舍的学习态度。
（4）调查表中7题说明多数学生比较在意教师的评价方式，不同的学生有不同的要求，作为教师应尊重他们的意愿，要防止有的学生有难堪的感受。
（5）调查表中9题说明某个问题尽管出现多次对学生来说仍然会犯相同的错误，学习是一个反诉的过程或者说是个“螺旋上升”的过程。
我们要求学生不要“一错再错”这是我们教学追求的理想状态。
（6）通过学生在调查表中10题的回答，教师应该帮助学生对学习过程和结果进行检查和反思。
5.启示
（1）确立正确的数学观和错误观
正确的数学观对学生的学习动机起重要的支持作用。
12题37.11%的学生选择了“数学学习中出现了错误就表示失败，因为学习就为了寻找正确答案”，而一旦学生没有得到标准答案或不能正确对待自己的错误、误区，就会怀疑自己的学习能力，经常遇到这样的困惑，学生对数学学习缺乏自信，认为自己不是“学习数学的材料”，就会渐渐减低学习数学的动力，削弱在数学上的表现。
教师应常对学生进行“挫折”教育，帮助他们形成正确对待学习中的错误的观念。
教师教学中不要掩盖解决问题时所经历的曲折或失误，使学生有机会了解真正的思维过程，使学生明白学习过程中出现错误是正常现象，还应引导学生以积极的态度对待学习中出现的错误与疏忽，虽然错误与疏忽很容易使人生气或泄气，但更要看到这是完善认知结构、提高能力的一个好机会。
（2）培养学生的学习反思能力
调查表中3，4，10题数据表明部分学生没有养成良好的学习反思习惯，缺乏自我纠错能力，不能正确评价自己的认识过程，进而影响学生进一步的学习。
建构主义学习理论认为：
学生的错误显然不能单纯靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定的过程”。
这个“自我否定的过程”即反思。
因此在教学中我们不仅要注意知识与技能的学习，还应引导和激励学生在数学活动中进行反思性学习。
例如教师经常组织学生对问题进行思考和讨论而不是直接奉送正确答案，在对所犯错误的反思中，调整认知活动，吸取教训逐渐进步，这样有利于使纠正错误成为学生自觉的行动和掌握良好分析问题的方法，进而养成良好的反思能力。
（3）重视交流和鼓励合作学习。
本调查4题学生在回答“当你在数学学习中遇到困难时，谁帮助最大？
”选择“老师”的学生有32.89%，而选“同学”的有45.78%。
这比例值得我们思考，一方面教师忙于完成教学任务与学生的交流少，另一方面学生比较认可和接受同学之间的交流。
学生所学的知识或对某个问题的理解不是全部由教师教会的，例如当老师在给学生解释某个问题学生怎么也不明白时，而有可能他的同学的解释却能让他明白。
我们应该提倡和鼓励“合作学习”等形式，提供机会让学生互相学习，互相依赖，共享学习资源。
特别出现某个错误时，学生通过彼此的交流与思考解决认知冲突，进而达到对错误性质的认识和知识的理解。
三、教师对待学生学习错误的基本态度
差错人皆有之，笔者认为作为教师对学生的错误应该有一些基本的认识和态度。
（1）尊重学生的见解
（2）帮助学生比较不同观念
教师可以明确指出学生的错误，让他认识到自己的问题；也可以要学生自己反思；还可以使同学之间的观念进行比较，发挥合作学习的优越性，重视学生之间的互相作用，组织学生对问题进行讨论。
（3）要有足够的耐心
（4）要懂得学生的心理
心理实验皮格马利翁效应证明教师对学生的期待会影响学生的发展，我们应该以发展的眼光对待学生成长中的错误，建立积极的教师期待。
（5）帮助学生形成对待学习错误的积极态度
教师正确的数学观是学生正确数学观形成的重要条件。
作为教师应让学生明白一个道理∶学习是一个过程，错误的出现是不可避免的，错误是有意义的学习所必不可少的。
四、教学策略与措施
1.加强函数概念的教学
教学时，教师应采取以下有效的措施：
（1）注意早期渗透
例如，含有一个字母的代数式，就可看作它所含字母的函数．这是因为，含有一个字母的代数式的值，是由这个字母所取的值唯一确定的，它符合函数的定义．因此，在代数式的教学中，要有意识地渗透函数的概念．
（2）重视函数概念的形成过程
函数概念产生于研究变量之间关系的需要，函数是描述数学和现实问题的有效工具。
学生已有经验中存在许多可以用以说明函数产生过程的实例。
这对理解函数概念是很重要的。
（3）注重概念的引入
为引入函数概念，教师可根据学生的实际再增加一些例子．对每个例子都要进行分析，揭示它们的共同特性。
（4）准确理解定义
（a）“ｘ在某一范围内的每一个确定的值”，是说自变量是在某一范围内变化的，它揭示了自变量的取值范围；
（b）“ｙ都有唯一确定的值和它对应”，它既揭示了所研究的函数是单值函数，又反映了两个变量间有着一个相互依存的关系，即函数的对应法则；
（c）谁是谁的函数要搞清．定义中说的是“ｙ是ｘ的函数”．
（5）不断深化概念
在几类具体函数的研究过程中，要注重把所得的具体函数与函数的定义进行对照，使学生进一步加深对函数概念的理解．
（6）重视不同表示方式之间的转换
通常，在人们头脑中，函数的表示主要使用解析式，但实际上各种表示（语言的、图像的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解。
2.强化函数性质的应用
（1）借助函数解题
我们知道，代数式、方程、不等式与函数有着密切的关系，因此可构造函数，利用函数的性质解决有关的问题．例如构造二次函数研究一元二次方程根的分布问题、解一元二次不等式等．
（2）利用函数解决实际问题
利用函数知识解实际问题是近几年中考出题的热点．这类题目可以培养学生综合运用知识的能力，增强学生用数学的意识．
（3）注重数学知识及其思想方法的应用
（4）借助CAI辅助教学
四、结论与思考
（一）结论
1.教师应重视学生在函数学习中所遇到的困难。
2.教师应帮助学生形成对待学习错误的积极态度，培养学生学习反思习惯。
3.笔者提出了作为教师对待学生学习中错误的五个基本态度：
尊重学生的见解、帮助学生比较不同的观念、要有足够的耐心、要懂得学生的心理、帮助学生形成对待学习错误的积极态度。
4.针对函数知识学习错误的成因，教师应重视学生原有认知注意早期渗透、帮助学生掌握函数概念的本质、促进函数与其他知识的网络建构、使学生重视数学思想方法的学习、培养学生的学习反思能力。
（二）思考
虽然本文对如何对待学生函数学习中的错误问题的分析研究中的许多观点是基于教学经验和现有理论的结合，还有待深入，提出的教学对策有限，今后还需要经过时间的检验。
但是笔者认为这个课题是个契机，能够全面掌握函数教学的一般规律，能为教学实践打下良好的基础。
希望自己不断探索，继续学习，认真研究，对本课题有一个更为科学、全面的认识和教学策略。
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四川教育出版社，2001，292
附录:
数学学习调查问卷
1.你______对学习中的数学知识和方法（包括你的错误）进行总结和回顾。
A．经常B．有时C．很少D．从不
2.你在数学学习过程中的问题或错误通常是谁发现的？
A．教师B．自己C．同学D．其他人
3.如果你在学习过程中发现了自己的错误，如何对待它？
A．接受错误，自己对错误的原因进行思考
B．自己马上纠正错误
C．马上请教同学或老师
D．不管它
4.当你在数学学习中遇到困难时，谁对你帮助最大？
A．自己B．老师C．同学D．父母
5.当你遇到数学学习中的错误时，你的心情是：
A．会令我感到担心、紧张
B．无所谓，反正不会
C．不愿花时间去想，等待别人的帮助
D．某些错误问题对我来说是一种很好的挑战
6.如果在某阶段的数学学习中常常出现错误时，你是如何想的？
A．对学习丧失信心和兴趣
B．感到无可奈何
C．努力弥补，锲而不舍
D．需要改变自己的学习态度和方法
7.你是否愿意教师公开评论你在数学学习中的错误？
A．愿意B．不愿意C．要看情况而定D．无所谓
8.你的作业或试卷中出现了错误而又没有及时订正，是由于：
A.觉得没有必要订正B.不知道如何订正
C.懒于订正D.不存在此情况
9.对同一类型的问题，你________犯同样的错误：
A．经常B．有时C．很少D．从不
10.你是如何纠正自己学习数学函数过程中的错误问题？
A.知道正确的答案就可以了
B.将正确的答案抄写下来
C.多练习几遍类似的问题
D.反思错误的原因，找出解决的方法
11.如果你在数学函数的学习中出现错误，原因最可能是：
A.数学基础不好
B.没有记住函数中的定义、公式及基本知识
C.做相关练习尤其是函数综合题较少
D.没有很好地理解和分析函数知识和习题
12.选出你认为合理的观点：
（可以多选）
A.数学学习中出现了错误就表示失败，因为学生学习就为了寻找正确答案
B.数学学习中出现的错误是学习过程必须的辅助条件，因为认识某个问题有不同的阶段，我们可以从错误中学到知识和提高自己
C.对错误的问题通过反复练习几遍可以保证以后不会再犯类似的错误
D.教师在教学过程中出现某个错误是可以理解的
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