中考数学常考易错专题 24《一元一次不等式组》.docx
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中考数学常考易错专题24《一元一次不等式组》
一元一次不等式（组）
易错清单
1.对不等式的性质理解有误.
【例1】 （2014·山东滨州）已知a,b都是实数,且aA.a+x>b+xB.-a+1<-b+1
C.3a<3bD.>
【解析】 根据不等式的性质1,可判断A,根据不等式的性质3,1可判断B,根据不等式的性质2,可判断C,D.
不等式的两边都加或都减同一个整式,不等号的方向不变,故A错误;不等式的两边都乘或除以同一个负数,不等号的方向改变,故B错误;不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,故C正确,D错误.
【答案】 C
【误区纠错】 注意在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
2.在判断不等式成立或由不等式变形求某字母的范围时,要认真观察不等式的形状与不等号的方向.
【例2】 （2014·山东潍坊）若不等式组无解,则实数a的取值范围是（ ）.
A.a≥-1B.a<-1
C.a≤1D.a≤-1
【解析】 分别求出各不等式的解集,再与已知不等式组无解相比较即可得出a的取值范围.
由①得,x≥-a,由②得,x<1,
∵ 不等式组无解,
∴ -a≥1,解得a≤-1.
【答案】 D
【误区纠错】 学生在考虑有解无解题目时,弄不清什么时候该带等号什么时候不该带等号导致出错.
3.用一元一次不等式（组）解决实际问题时不能正确确定问题中的不等关系.
【例3】 （2014·四川绵阳）某商品的标价比成本价高m%,根据市场需要,该商品需降价n%出售,为了不亏本,n应满足（ ）.
A.n≤mB.n≤
C.n≤D.n≤
【解析】 根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价相等,进而得出不等式即可.
设进价为a元,
由题意,得a（1+m%）（1-n%）-a≥0,
即（1+m%）（1-n%）-1≥0,
整理,得100n+mn≤100m,
故n≤.
【答案】 B
【误区纠错】 解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,根据题目中的数量关系,得出正确的不等关系是解题关键.
名师点拨
1.掌握不等式性质.
2.能够说明一元一次不等式组解集的含义.
3.能利用类比思想,对照一元一次方程求解思想解一元一次不等式（组）.
4.能根据题意中的不等语句（如不低于最少、至多等）列不等式组解决实际问题.
提分策略
1.与不等式（组）的解集有关的问题.
已知不等式组的解集求字母（或有关字母代数式）的值,一般先求出已知不等式（组）的解集,再结合给定的解集,得出等量关系或者不等关系.
【例1】 关于x的不等式组有四个整数解,则a的取值范围是（ ）.
A.-C.-≤a≤-D.-【解析】 先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求a的取值范围即可.
设
由①得x>8;
由②得x<2-4a,
故不等式组的解集为8因为不等式组有四个整数解,为9,10,11,12,
所以
解得-≤a<-.
【答案】 B
2.一元一次不等式（组）的应用.
（1）一元一次不等式（组）与方程（组）相结合解决实际问题.
近几年,中考注重对学生“知识联系实际”的考查比较多,实际问题中往往蕴含着方程与不等式,分析问题中的等量关系和不等关系,建立方程（组）模型和不等式（组）模型,从而把实际问题转化为数学模型,然后运用数学知识来解决.
【例2】 某商场用3600元购进甲、乙两种商品,销售完后共获利6000元.其中甲种商品每件进价120元,售价138元;乙种商品每件进价100元,售价120元.
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件?
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品.购进乙种商品的件数不变,而购进甲种商品的件数是第一次的2倍,甲种商品按原售价出售,而乙种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于8160元,乙种商品最低售价为每件多少元?
【答案】
（1）设商场购进甲种商品x件,乙种商品y件,
根据题意,得
解得
故该商场购进甲种商品200件,乙种商品120件.
（2）设乙种商品每件售价z元,
根据题意,得120（z-100）+2×200×（138-120）≥8160,
解得z≥108.
故乙种商品最低售价为每件108元.
（2）运用一元一次不等式（组）进行方案设计.
利用一元一次不等式（组）解决方案的问题实质就是一个由列不等式（组）——求解——由实际问题取值的过程,由于一元一次不等式（组）的解一般情况下是无穷多个,但由于实际问题的限制,可能只有其中的某个或某些满足实际问题,这样也就随之产生了一种或几种设计方案.
【例3】 某服装店欲购甲、乙两种新款运动服,甲款每套进价350元,乙款每套进价200元,该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服.
（1）该店订购这两款运动服,共有哪几种方案?
（2）若该店以甲款每套400元,乙款每套300元的价格全部出售,哪种方案获利最大?
【答案】
（1）设该店订购甲款运动服x套,则订购乙款运动服（30-x）套,
由题意,得
解得≤x≤.
∵ x为整数,
∴ x取11,12,13.
∴ 30-x取19,18,17.
该店订购这两款运动服,共有3种方案:
方案一:
甲款11套,乙款19套;
方案二:
甲款12套,乙款18套;
方案三:
甲款13套,乙款17套.
（2）解法一:
设该店全部出售甲、乙两款运动服后获利y元,
则y=（400-350）x+（300-200）（30-x）
=50x+3000-100x=-50x+3000.
∵ -50<0,
∴ y随x的增大而减小.
∴ 当x=11时,y最大.
∴ 方案一,即甲款11套,乙款19套时,获利最大.
解法二:
三种方案分别获利为:
方案一:
（400-350）×11+（300-200）×19=2450（元）;
方案二:
（400-350）×12+（300-200）×18=2400（元）;
方案三:
（400-350）×13+（300-200）×17=2350（元）.
∵ 2450>2400>2350,
∴ 方案一,即甲款11套,乙款19套,获利最大.
专项训练
一、选择题
1.（2014·湖北黄冈模拟）某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x元;下午他又买了20斤,价格为每斤y元.后来他以每斤元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是（ ）.
A.xy
C.x≤yD.x≥y
2.（2014·湖北黄石九中模拟）若不等式组无解,则a的取值范围是（ ）.
A.a≤3B.a<3
C.a≥3D.a>3
3.（2014·安徽安庆二模）对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若=5,则x的取值可以是（ ）.
A.51B.45
C.40D.56
4.（2014·广西玉林模拟）把不等式组的解集表示在数轴上,正确的是（ ）.
A
B
C
D
5.（2013·河北三模）若不等式组有解,则a的取值范围是（ ）.
A.a>-1B.a≥-1
C.a≤1D.a<1
二、填空题
6.（2014·湖北襄阳模拟）不等式组的整数解是 .
7.（2014·浙江杭州模拟）如果不等式组的解集是x<2,那么m的取值范围是 .
8.（2013·江苏南京高淳区模拟）不等式组的解集是 .
三、解答题
9.（2014·四川成都七中模拟）已知关于x,y的方程组
的解都不大于1,求m的取值范围.
10.（2014·浙江宁波北仓区模拟）从2012年7月起,浙江省执行居民阶梯电价新规定,新规定中将原先的按月抄见电量实行阶梯式累进加价改为按年抄见电量实行阶梯式累进加价,
原方案如下:
第一档电价
第二档电价
第三档电价
月用电50千瓦时及以下部分,每千瓦时价格0.538元
月用电51~200千瓦时部分,每千瓦时比第一档提价0.03元
月用电201千瓦时及以上部分,每千瓦时比第一档提价0.10元
新方案如下:
第一档电价
第二档电价
第三档电价
年用电2760千瓦时及以下部分,每千瓦时价格0.538元
年用电2761~4800千瓦时部分,每千瓦时比第一档提价0.05元
年用电4801千瓦时及以上部分,每千瓦时比第一档提价0.30元
（1）按原方案计算,若小华家某月的电费为83.7元,请你求出小华家该月的用电量;若小华家每月的用电量不变,则按新方案计算,小华家平均每月电费支出是增加还是减少了,增加或减少了多少元?
（2）为了节省开支,小华计划2014年的电费不超过2214元,则小华家2014年最多能用电多少千瓦时?
11.（2013·上海模拟）试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解.
12.（2013·浙江湖州模拟）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表（注:
获利=售价-进价）:
甲
乙
进价（元/价）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
（2）若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案.
13.（2013·广东深圳育才二中一模）某校为开展好阳光体育活动,欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个.
（1）设购买排球数为x个,购买两种球的总费用为y元,请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）;
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元,并且篮球数不少于排球数的3倍,那么有哪几种购买方案?
（3）从节约开支的角度来看,你认为采用哪种方案更合算?
参考答案与解析
1.B [解析]由题意,得-=>0,
∴ x>y.
2.A [解析]解1+x>a,得x>a-1;
解2x-4≤0,得x≤2,
因为不等式组无解,所以a-1≤2,即a≤3.
3.A [解析]=[5.5]=5.
4.C [解析]原不等式组的解集是-15.D [解析]由第一个不等式,得x≥a;由第二个不等式,得x<1,因为原不等式组有解,所以a<1.
6.-2,-1,0 [解析]原不等式组的解集是-37.m≥2 [解析]由第一个不等式,得x<2,因为原不等式组的解集是x<2,所以m≥2.
8.0≤x<2 [解析]由第二个不等式,得x<2.故原不等式组的解集为0≤x<2.
9.解方程组得
∵
∴ 解得-3≤m≤5.
10.
（1）因为50×0.538=26.9<83.7,
而50×0.538+（200-50）×（0.538+0.03）=112.1>83.7,
所以小华家该月的用电量属于第二档.
设小华家该月的用电量为x千瓦时,
由题意,得50×0.538+（x-50）×（0.538+0.03）=83.7,
解得x=150.
所以小华家该月的用电量为150千瓦时.
按新方案计算:
因为150×12=1800<2760,
所以用电量属于第一档,150×0.538=80.7（元）,
83.7-80.7=3（元）.
所以小华家平均每月电费支出减少了3元.
（2）因为2760×0.538=1484.88<2214,
而2760×0.538+（4800-2760）×（0.538+0.05）=2684.4>2214,
所以小华家2014用电量属于第二档.
设小华家2014用电量为y千瓦时,
由题意,得2760×0.538+（y-2760）×（0.538+0.05）≤2214,
解得y≤4000,
所以小华家2014最多能用电4000千瓦时.
11.由+>0,得x>-;
由x+>（x+1）+a,得x<2a.
∴ 原不等式组的解集是-又 原不等式组恰有2个整数解,
∴ x=0,1.
∴ 1<2a≤2,解得12.
（1）设甲种商品应购进x件,乙种商品应购进y件.
根据题意,得
解得
故甲种商品购进100件,乙种商品购进60件.
（2）设甲种商品购进a件,则乙种商品购进（160-a）件.
根据题意,得
解得65∵ a为非负整数,
∴ a取66,67.
∴ 160-a相应取94,93.
故有两种购货方案:
方案一:
甲种商品购进66件,乙种商品购进94件;
方案二:
甲种商品购进67件,乙种商品购进93件.
其中获利最大的是方案一.
13.
（1）y=20x+80（100-x）=8000-60x.
（2）设购买排球x个,则篮球的个数是（100-x）,
根据题意,得
解得23≤x≤25.
∵ x为整数,
∴ x取23,24,25.
∴ 有3种购买方案:
方案一:
当买排球23个时,篮球的个数是77个;
方案二:
当买排球24个时,篮球的个数是76个;
方案三:
当买排球25个时,篮球的个数是75个.
（3）∵ y=8000-60x中,k=-60<0,
∴ y随x的增大而减小.
又 23≤x≤25,
∴ 采用方案三（买排球25个,篮球75个方案）更合算.
学法指导:
怎样学好数学
☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
☆人生的目标在于追求，这种追求不仅是纵向的拓展，更是横向的探索。
☆每个人都有自己不同的人生目标，它不一定是鸿鹄大志，不一定撼天动地，但要有一个切实的规划，目标既定，就要朝着你的目标勇敢前进。
☆所有的成绩都是努力的结果，都是勤奋的结晶，给自己确立一个通过努力能实现的目标，然后朝着这个目标努力，一个人要想生活得无怨无悔，就只有努力拼搏；只有努力拼搏过才能无怨无悔。
☆认真学习，加快生活、学习的节奏，排除一切杂念，全身心投入到学习中去，加入到竞争的行列中去，战胜自己，成为执掌自己命运的主人。
☆有人说自信是驾驭理想的风帆，是成功的基石！
成绩一时不理想并不可怕，可怕的是丧失了信心，可怕的是没走上战场就倒了下来。
☆人的生命是有限的，可它的广度、高度、深度是无限的，让自己有限的生命活出质量活出品味。
要回答这个似乎非常简单:
把定理、公式都记住，勤思好问，多做几道题，不就行了。
事实上并非如此，比如:
有的同学把书上的黑体字都能一字不落地背下来，可就是不会用；有的同学不重视知识、方法的产生过程，死记结论，生搬硬套；有的同学眼高手低，“想”和“说”都没问题，一到“写”和“算”，就漏洞百出，错误连篇；有的同学懒得做题，觉得做题太辛苦，太枯燥，负担太重；也有的同学题做了不少，辅导书也看了不少，成绩就是上不去，还有的同学复习不得力，学一段、丢一段。
究其原因有两个:
一是学习态度问题:
有的同学在学习上态度暧昧，说不清楚是进取还是退缩，是坚持还是放弃，是维持还是改进，他们勤奋学习的决心经常动摇，投入学习的精力也非常有限，思维通常也是被动的、浅层的和粗放的，学习成绩也总是徘徊不前。
反之，有的同学学习目的明确，学习动力强劲，他们拥有坚韧不拔的意志、刻苦钻研的精神和自主学习的意识，他们总是想方设法解决学习中遇到的困难，主动向同学、老师求教，具有良好的自我认识能力和创造学习条件的能力。
二是学习方法问题:
有的同学根本就不琢磨学习方法，被动地跟着老师走，上课记笔记，下课写作业，机械应付，效果平平；有的同学今天试这种方法、明天试那种方法，“病急乱投医”，从不认真领会学习方法的实质，更不会将多种学习方法融入自己的日常学习环节，养成良好的学习习惯；更多的同学对学习方法存在片面的、甚至是错误的理解，比如，什么叫“会了”？
是“听懂了”还是“能写了”，或者是“会讲了”？
这种带有评价性的体验，对不同的学生来说，差异是非常大的，这种差异影响着学生的学习行为及其效果。
由此可见，正确的学习态度和科学的学习方法是学好数学的两大基石。
这两大基石的形成又离不开平时的数学学习实践，下面就几个数学学习实践中的具体问题谈一谈如何学好数学。
运算是学好数学的基本功。
初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。
初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习:
从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。
从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，（33）2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。
帮助学生认真分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能力的有效手段之一。
在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点:
①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；
②要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。
二、数学基础知识
理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。
学数学没有捷径可走，保证做题的数量和质量是学好数学的必由之路。
1、如何保证数量？
①选准一本与教材同步的辅导书或练习册。
②做完一节的全部练习后，对照答案进行批改。
千万别做一道对一道的答案，因为这样会造成思维中断和对答案的依赖心理；先易后难，遇到不会的题一定要先跳过去，以平稳的速度过一遍所有题目，先彻底解决会做的题；不会的题过多时，千万别急躁、泄气，其实你认为困难的题，对其他人来讲也是如此，只不过需要点时间和耐心；对于例题，有两种处理方式:
“先做后看”与“先看后测”。
③选择有思考价值的题，与同学、老师交流，并把心得记在自习本上。
④每天保证1小时左右的练习时间。
2、如何保证质量？
①题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。
充分理解题意，注意对整个问题的转译，深化对题中某个条件的认识；看看与哪些数学基础知识相联系，有没有出现一些新的功能或用途？
再现思维活动经过，分析想法的产生及错因的由来，要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想，想到什么就写什么，以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法；一题多解，一题多变，多元归一。
②落实:
不仅要落实思维过程，而且要落实解答过程。
③复习:
“温故而知新”，把一些比较“经典”的题重做几遍，把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思，也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。
很多人在考试时总考不出自己的实际水平，拿不到理想的分数，究其原因，就是心理素质不过硬，考试时过于紧张的缘故，还有就是把考试的分数看得太重，所以才会导致考试失利，你要学会换一种方式来考虑问题，你要学会调整自己的心态，人们常说，考试考得三分是水平，七分是心理，过于地追求往往就会失去，就是这个缘故；不要把分数看得太重，即把考试当成一般的作业，理清自己的思路，认真对付每一道题，你就一定会考出好成绩的；你要学会超越自我，这句话的意思就是，心里不要总想着分数、总想着名次；只要我这次考试的成绩比我上一次考试的成绩有所提高，哪怕是只高一分，那我也是超越了自我；这也就是说，不与别人比成绩，就与自己比，这样你的心态就会平和许多，就会感到没有那么大的压力，学习与考试时就会感到轻松自如的；你试着按照这种方式来调整自己，你就会发现，在不经意中，你的成绩就会提高许多；
最祝你学习进步！
※准备一本数学笔记,记录每一节课老师所讲的基础知识和典型例题。
※准备一本错题本,记录每一次作业及考试的错题。
※准备多种颜色的笔做记号及着重号用。
※准备一本后的习题本，把讲过的书上的习题系统的做到习题本上。
※开学准备两本数学作业本，要套上本夹。
※每位同学要有一套数学工具:
一幅三角板，一个圆规，一把直尺，有条件的同学再准备一个多功能计算器。
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