教案数学最新高三最新数学1任意角的三角函数.docx

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教案数学最新高三最新数学1任意角的三角函数

第一节任意角的三角函数

一、知识清单

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．

（1）象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．

（2）象限界角（即终边在坐标轴上的角）

终边在x轴上的角表示为____________________；

终边在y轴上的角表示为__________________________________________；

终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．

（3）终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．

（4）弧度制

把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．

（5）度与弧度的换算关系

360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；

1rad＝_______________≈57.30°.

（6）弧长公式与扇形面积公式

l＝________，即弧长等于_________________________________________________．

S扇＝________＝____________.

2．三角函数的定义

任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么①____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝

（x≠0）．

（1）三角函数值的符号

各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

（2）三角函数线

下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．

自我检测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）小于90°的角是锐角．（）

（2）锐角是第一象限角，反之亦然．（）

（3）将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.（）

（4）若α∈

，则tanα＞α＞sinα.（）

（5）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．（）

2．下列与

的终边相同的角的表达式中正确的是（　　）

A．2kπ＋45°（k∈Z）B．k·360°＋

π（k∈Z）

C．k·360°－315°（k∈Z）D．kπ＋

（k∈Z）

3．（2014·新课标全国Ⅰ卷）若tanα＞0，则（　　）

A．sin2α＞0B．cosα＞0

C．sinα＞0D．cos2α＞0

4．（2014·大纲全国卷）已知角α的终边经过点（－4，3），则cosα＝（　　）

A.

B.

C．－

D．－

5．（人教A必修4P10A6改编）一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．

答案　

二、典例精讲

知识点一　象限角与三角函数值的符号判断

【例1】

（1）若角α是第二象限角，则

是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角

（2）若sinα·tanα＜0，且

＜0，则角α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

规律方法　

（1）已知θ所在的象限，求

或nθ（n∈N*）所在的象限的方法是：

将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到

或nθ（n∈N*）所在的象限．

（2）象限角的判定有两种方法：

一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．（3）由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．

【变式训练】

（1）设θ是第三象限角，且

＝－cos

，则

是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

（2）sin2·cos3·tan4的值（　　）

A．小于0B．大于0

C．等于0D．不存在

知识点二　三角函数的定义

【例2】已知角θ的终边经过点P（－

，m）（m≠0）且sinθ＝

m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

规律方法　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．

【变式训练】

已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

知识点三　扇形弧长、面积公式的应用

【例3】已知一扇形的圆心角为α（α>0），所在圆的半径为R.

（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

规律方法　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：

l＝|α|R，S＝

|α|R2＝

lR.

【变式训练】

已知扇形的周长为4cm，当它的半径为______cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.

知识点四　三角函数线的应用

三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义，考生在平时的备考中总认为它是概念性内容，事实并不然，其应用十分广泛，除了用来比较三角函数值的大小，解三角不等式外，还是数形结合的有效工具，借助它不但可以准确画出三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质．

【例4】函数y＝lg（2sinx－1）＋

的定义域为________．

点评　利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握0到2π范围内的特殊角的三角函数值，注意边界角的取舍，一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在．

三、课堂练习

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈（0，π）的弧度数为（　　）

A.

B.

C.

D．2

3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（　　）

A．sinα＋cosα＜0B．tanα－sinα＜0

C．cosα－tanα＜0D．tanαsinα＜0

4．（2014·南阳一模）已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1＋cos40°），则锐角α＝（　　）

A．80°B．70°C．20°D．10°

5．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；

④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；

⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

二、填空题

6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．

7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－

，则y＝______．

8．函数y＝

的定义域为________．

三、解答题

9．已知角α的终边上有一点的坐标是P（3a，4a），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα.

10．

（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；

（2）一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.

四、课堂总结

[思想方法]

1．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．如有可能则取终边与单位圆的交点．其中|OP|＝r一定是正值．

2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

[易错防范]

1．注意易混概念的区别：

象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

五、课后作业

（建议用时：

25分钟）

1．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－2，3]B．（－2，3）

C．[－2，3）D．[－2，3]

2．已知圆O：

x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动

弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝（　　）

A．－1B．1

C．－2D．2

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，

的坐标为________．

14．已知sinα＜0，tanα＞0.

（1）求α角的集合；

（2）求

终边所在的象限；

（3）试判断tan

sin

cos

的符号．