初中学生常见数学错误分析及解决办法.docx
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初中学生常见数学错误分析及解决办法
初中学生常见数学错误分析及解决办法
初中学生常见数学错误分析及应对策略
大关县玉碗镇中学杨光平
一、引言：
学生的数学错误一直是数学老师关注的热点问题。
大多数初中学数学教师，每天都在和学生的数学错误打交道。
他们把很多时间都花费在寻找错误、纠正错误、分析错误上。
传统的教育是“永远正确”的教育，是消灭错误、轻视错误的教育。
长期以来，这样的教育观念深深地影响着广大教育工作者，在教学的各个过程中，大家所关注的都主要是那些正确的、积极的部分，而对于学习过程中所产生的错误，大家更多地是持一种否定的、排斥的、消极的态度和做法。
比如，作业批改“一叉”了事，学生犯错“一骂”了之，使学生对于“错误”产生畏惧心理，在“错误”中不能获得任何有益的启示，不能汲取错误中一些合理成分。
其实，我们每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度的错误，这里的每一个人不仅指学生也指教师。
因此，学生在数学学习中出现错误是非常自然的现象。
问题是学生为什么一而再，再而三地重复同样的错误，纠错为什么这样难?
一方面，肯定有学生的原因，如上课没有专心听讲、作业马虎、订正不到位、知识没有及时消化理解等；另一方面，教师选择教法是否恰当、教学设计是否合理、作业的布置是否合适、纠错是否及时等等，这些都是我们需要分析和研究的问题。
对学生数学错误的研究不仅可以帮助学生找出错误产生的原因、提
出改正的意见，还有助于帮助教师完善自身的知识结构，改进教学观念，提高教师的专业能力。
随着国内外学者们对错误的研究领域在不断扩大和深入，人们对错误的理解以及认识也在不断发生变化，学生错误的合理性逐渐得到一些数学教育专家和一线数学教师的认可。
英国数学学会会长施瓦茨伯格，在1984年会上的长致词中曾提出这样的观点：
错误在数学中和正确答案一样重要，错误帮助了数学的发展；错误帮助我们了解数学的来龙去脉；错误可作为诊断工具，让我们能了解学生心里可能的想法，错误并非漫无目地发生，而是有其理由。
数学错误的地位和价值由此可见一斑。
目前在许多教育研究中，“错误率”的测量已经被当作是一种研究的重要工具，许多研究者已开始逐渐重视对错误的关注。
这些研究大都试图将学生所犯的错误予以特征化，通过分析学生错误的类型与性质，建立起有效的教学策略和方法。
研究数学错误对于数学教师来说，可以将学生所犯的数学错误作为检验学生数学知识掌握情况的一种工具，也可以借此了解学生内心的想法，从而使学生的错误得以有效地纠正。
而教师对于数学错误的研究，目的不仅仅是诊断与治疗，更应该把错误看作一种有效的教学资源。
数学学习过程中的错误一直是教师们关注的热点问题。
错误的产生并非偶然，而是反映了学生产生这些错误的各种潜在因素。
因此对错误的辨别、归纳、总结、分析与研究，以及在错误中吸取经验和教训，应当成为数学教育过程中一个不可忽视的重要方面。
本论文从不同角度阐述了错误在数学学习中的重要作用。
根据笔者在教学实践中对初中学生常见错误的收集和分类，归纳总结了初中学生常见的五
种错误类型：
1.概念性错误；2.审题错误；3.运算错误；4.逻辑型错误；5.思维错误。
并根据错误的不同错误的表现，对这些错误的常见类型进行了更加具体的再分类，列举了一些常见的实例，并
对产生这些错误的原因进行了分析和研究。
在此基础上提出了在教学中可行的策略与方法，即培养学生解题能力和通过课堂纠正学生的数学错误。
本论文试图通过系统研究学生在数学学习中产生错误的各种表现，寻找错误的根源，全面解决初中学生在学习数学时常犯错误，有效地推动初中数学的教学与实践。
二、初中学生常见数学错误的类型及错误原因分析
（1）概念性错误
对数学概念的正确理解是掌握数学基础知识的前提，也是数学解题的基础。
对数学概念的透彻理解和正确把握十分重要。
如果学生对数学概念或基本的数学事实缺乏准确理解，对概念的适用范围把握不住，对一个概念和另一个概念之间的区别和联系模糊不清，那么在运
用概念时，错误就会暴露出来。
对数学概念似是而非的理解都将造成学生的解题失误，并进一步阻碍学生数学能力的发展，对其学习态度的影响也是消极的。
比如，在二次根式的学习中，学生容易出现”、16二士4”这样的典型错误。
显然，学生是将平方根与算术平方根的概念混淆了，错误地认为.16表示的是求16的平方根。
这说明学生对二次根式ja（a>0）的意义没有掌握。
（a>o）的意义是“非负数a的算术平方根”，-、a本身也是个非负数。
如果学生能理解二次根式的这一概念，就不会出现类似“•一花=+4”的错误了。
另外，一些学生会把
“不大于”理解为“小于”，把两条直线“不平行”理解为两条直线
“相交”，把“点不在圆内”理解为“点一定在圆外”等等。
概念性错误的表现主要有：
1概念、性质含糊不清
学生在接受新概念的过程中，由于概念的抽象性，容易造成学生认识的偏差，另外对概念的条件与结论不能完整把握也会造成理解的支离破碎。
这种对概念和性质理解的不深刻性，都极易造成数学错误。
例1:
在下列的有理式中，属于分式的是（）
A.mjnB.旦+cC.如1D.8a2!
b
8m2
错解：
显然A式和D式中分母不含有字母，所以它们都是是整式；对于C式虽然是形如分式△的形式，但化简后的结果为5m,学生认
B
为因为5m脚是整式，所以5m也是整式；而B式中分母含有字母,
m
而且可化为分式A的形式的形式，即a—c，故应选B。
B
分析：
学生错误的原因是没有能正确理解分式的概念。
一般来说，分式可以表示成△的形式，A、B表示两个整式，A既可含字母，也可
B
以不含字母，但分式的分母B中必须含有字母。
若B不含有字母，那么式子-就是整式。
因此判断A、D是整式是正确的，问题是对于
B
B中分母虽然含有字母，但通常情况下表示圆周率，是一个常数，所以彦式虽然可以化成ac形式，但仍然是一个整式。
c式中的如
m
是一个分式，虽然可以化成整式5m的形式，但在化简的过程中运用
的正是分式的基本性质，另外竝与5m中字母的允许取值范围也是
m
不一样的，前者的mz0,后者的m是一切实数。
正解：
选C。
2.忽略公式和重要结构存在的条件
任何时候学习一个新的数学公式或定理时，都要先分清楚它适用的条件是什么，产生的结论又是什么，如何用数学符号或数学式子来表达。
对公式或定理中的关键词，要理解正确，不可偏颇。
尤其要注意公式或定理成立的条件，任何一个数学公式或定理总是在一定范围内成立的，公式或定理与它成立的条件是不可分割的。
单纯地记忆公式或定理，而对其本质缺乏深刻理解，不考虑公式成立的条件，生搬硬套公式或定理就有可能造成数学错误。
例2:
试判断函数y二ax2+bx+c的类型，下列说法中正确的是（）.
（A）它是二次函数；
（B）当az0时，它是二次函数；
（C）当az0时，它是二次函数；当a=0时，它是一次函数；
（D）以上说法都不正确
错解：
选C。
分析：
部分学生在做选择题时，有一个不好的习惯，在没有阅读完全部的选项后就匆匆作答。
比如此题，一些学生看到y=ax2+bx+c的形
式马上就认为它是二次函数，忽视了二次函数成立的条件az0。
而
选择B的学生是因为看到了条件“az0”，而忽视了对“a=0”这种情况的讨论。
有的学生认为选项C的说法更完整，但却没有考虑到一次函数y=bx+c同样要求bMO。
产生这种错误的原因，归根到底是对一次函数、二次函数成立的条件概念不清，是由于函数概念的抽象性和初中学生思维的具体性的矛盾引起的。
正解：
选D。
（二）审题错误
审题是解答数学题目的第一步，也是非常重要的一个环节，它是整个解题的基础。
学生往往忽视审题的重要性，具体表现为：
有的同学在拿到试卷后，匆匆一览便急于下手，以致题目的条件与要求都没有理解，也就无法找到正确的解题思路，解题也就及其容易出现错误。
审题错误的表现主要有：
1审题不仔细
一般来说，初中生对于短小的、直接用数学语言表示的题目阅读得比较准确；相反，对那些冗长的、需要他们自己转化为数学语言的文字题，阅读起来就比较吃力。
有些学生做题急于求成，读题马虎，忽视问题的关键词句，经常出现还未理解题意就已经开始答题的现象。
例3：
填空：
J16的算数平方根是.
错解：
、.16的算数平方根是4.
分析：
正确的解题过程应该包含两次运算，一次是求出.16=4;第二
次是求出4的算数平方根是2。
两次运算放在一起，容易造成学生审题不清，只做了其中的一种运算。
正解：
、.16的算数平方根是_2__.
2.题意理解不清
数学题意的理解包括语法的理解和数学知识的理解。
当题中有复杂长句时，有些学生弄不清楚主、谓、宾结构，不能把复杂的语句转化为简单的语句，造成对题意理解的不准确。
比如：
“顺次连接对角
线相等的四边形各边的中点，所得的是什么四边形？
”有的学生搞不
清连接的究竟是对角线各边，还是各边中点。
对于数学知识的理解，则体现学生在对数学概念的把握和将问题转化为数学语言与符号的能力上。
另外，还有些同学没有对题目所给出的条件，以及条件与结论之间的联系进行思考和分析，最后造成无法确定解决问题的方向。
例4:
一个数增加5倍与7的差等于10，求这个数。
错解：
设所求的数为x，依据题意得：
5x-7=10
所以，x=3.4
答：
这个数为3.4
分析：
“增加5倍”与”增加到原来的5倍”是截然不同的两个量，显然学生对这部分数学知识的理解上产生了混淆。
“增加5倍”指增
加的量是5倍，加上本身的量，得到的量是原来量的6倍。
“增加到
原来的5倍”指增加后的量就是原来量的5倍。
正解：
设所求的数为x，依据题意得：
6x-7=10所以，x=h
6
答：
这个数是17
6
3.忽视题目中的隐含条件
许多数学题目中的条件，有些是明确给出的，我们称之为显性条
件；另一些则是隐含在习题的其它条件、结论中的，我们称之为隐性条件。
正所谓明枪易躲，暗箭难防。
学生在解题过程中，往往容易忽视或不能发现题中的隐含条件而导致错误的产生。
其实，数学问题的
难易程度标志之一就是隐含条件的深度与广度。
一般来说，隐含条件
通常隐藏在定义、公式或定理中。
如果学生在解题中挖掘条件不够深入，那么就会造成解题错误。
一般认为，造成错误的原因主要有以下三个方面，一是未能正确理解题意，分析条件不够仔细缜密，对关键条件缺乏深入了解，未能发掘条件背后的隐藏信息；二是解题过程不够规范完整；三是对解得的结果不作检验。
2/
例5:
当x为何值时，分式f—的值为零。
x5x14
2.
错解：
当X2—4=0，即x=士2,分式f-的值为零。
x25x14
分析：
学生错误的原因是忽视了分式的分母不能等于0这个隐含条
件。
当x=2时，分母x2+5x一14=0,此时原分式就无意义，所以应该把X=2这一解舍去。
正解：
要使分式2x4的值为零，只要分子X2—4=0,且分母x2+5x
x5x14
一14工0,即x=-2。
所以当x=-2时，分式+4的值为零.
x5x14
4.随意添加条件（潜在假设）
在解题过程中，有的学生往往不自觉地将某些并不存在的条件作为已知条件，或者轻易把从一些特殊情况下得出的结论作为解题的依
据或结论，甚至根据解题的需要，人为地制造出一些“为我所用”的条件。
这种现象的产生，从心理上分析，是由于主体在缺乏对事物完整全面、深入细致了解的情况下，基于一些不正常心理态势的诱导,而做出了直觉性判定。
这种判定存在于主体的潜意识中，一旦被某些因素激活，就会被主体用以作为解题的依据，且主体对依据的真实性深信不疑。
例如，有些学生在一说起直角三角形，马上得到较小的直角边是斜边一半的结论（误认为有一个锐角是30度）。
在心理学上,我们把这种现象称为“潜在假设”。
引潜在假设作为一种曲解题意的
>1/
错误表现，其中有一定的心理性因素，它不是深思熟虑或不加考察的
结果，而是对某些事物尚未建立清晰概念而在置身于新环境的人，当他们对新事物尚未认识清楚时，过去的经验很可能促成一种“潜在假设”而影响他的正确思维。
例6:
求•、a7的值。
错解：
a2=a
分析：
学生在解题过程中，受到一些类似、、9等具体值运算的影响,对于字母的二次根式运算，没有对字母的取值范围进行讨论，因为“潜在假设”而添加了条件a>0,造成解题错误。
正解:
aa0
a,a0
（三）运算错误
运算能力是中学数学的基本能力之一。
但在数学学习中，许多学
生往往比较重视思维能力的发展，忽视对运算能力的培养和训练，从而造成基本运算技能不过关，解题时容易产生错误。
运算能力的薄弱是许多初中学生的突出问题，如公式记忆不准确、运算法则混乱、运算过程繁琐复杂等。
造成运算错误的主要原因有：
1．分母为零，任意约分
对于分式中的分母不能为零这一概念，很多同学都非常熟悉。
在等式两边同时除以一个代数式（等式两边公因式）的过程中，其实就是一个分式分母不能为零的问题（也可以用等式的基本性质2来解释），所以要分情况讨论，以免造成漏解的现象，当然也可以移项、分解因式后再解。
例7：
解方程：
x2=x
错解：
在等式两边同时除以X,得：
x=1
所以，方程的解是：
x=1分析：
学生在解题过程中的思考是不全面的,方程X2=z与X=1并不
等价。
或者说，在方程两边同时除以x的前提条件是XM0,而x=0恰好是方程的一个解,所以这种错误属于不等价变形最后造成漏解。
正解：
x2=x
x2-x=0
因式分解得：
x（x-1）=0
所以,方程的解是：
x1=0；x2=1
2．运算法则、顺序混乱一些学生由于对实数运算的一些概念、性质、运算顺序不熟悉,因而造成计算上的错误。
另一些学生在练习过程中片面追求答案,没
有养成良好解题习惯，解答时随心所欲，从而导致解题过程的不完整,证明过程的条理不清，表现为解题结果的漏洞百出
mn
例8:
不改变分式的值，把分式丄乜的分子、分母中的各项系数都
mn
23
化为整数。
个不等于零的整式，分式的值不变。
而本题错误的原因是将分子、分
母同时乘以两个完全不同的数，虽然这样可以将各项系数都化为了整
数，但实际上却改变了分式的值。
显然，在这个解题中，学生没有真正掌握分式的基本性质，造成了在化简过程中的错误
Im+—n-w）xl2j.
不解*3—=—=4w+3b
11J阴加
—岬i—m—
2
才
a1+6^+9
功一4
x（a-2）=
（卄矿
2（口-2）工2@_2}
x（a-2）
—8^48
323
W9=计算,
2a:
2xi-4
分析：
在运算中，哪些运算在前，哪些运算在后，应该牢记在心，运算中不能违反相关的运算顺序。
错解的原因是看到后两项的分式中含
有因式（a-2）可约分，就违背应有的运算顺序，约去了这两个因式，以
致错解
2（a-2）3
3.符号错误
去括号法则和添括号法则是整式变形中常见的两个法则，掌握得
如何，直接关系到学生以后的学习。
尽管这两个法则都十分明确，但学生应用起来还是经常出现差错。
例1山不改变分式笫的值，便分子.分母的第一顼索数赴正号.
—a—b
错解：
因为同时改变分子.分母的口顼的负号,分式的值不变，所以牢
=巴
a-h
分析：
符号错误是学生运算中比较常见的错误，比如此题，根据分式的基本性质应该同时改变分式的分子与分母的符号，分式的值不变;
而错解只改变了分子与分母第一项的符号，改变了分式的值。
显然学生没有正确掌握去括号的法则和添括号的法则，造成运算混乱
4.忽视条件的取值范围
-a+ba-b
-Q—ba4-6
任何一个数学命题都是由条件和结论两个部分组成的。
所以在解题前，要仔细审题，弄清楚题中给定的条件和需要的结果。
对条件存在的范围既不能扩大，也不能缩小。
例11:
在实数范围内分解因式：
x4-4
错解：
x4-4=（x2—2）（x2+2）
分析：
初看此题的错误原因是因式分解不够彻底，但是仔细分析题目
后，真正造成错误的原因是，因式分解的形式在不同数集的范围内是不同的，学生的解答是在有理数范围内的分解，说明学生缺乏对条件
中的取值范围的概念，造成因式分解的不够彻底。
正解：
=2X#十2）=（一迈X卄迈+2）
钏⑵已知理4■才4|治「尸-3）邛，求匕+/的饥
错解；令方程转化为；（”+1）（心-3）=5
解得：
幷=%町三-氛所以，134/-4或-2
分析：
学生解题时利用换元法，令x2+y2=a，解得a=-2或a=4然后直接填上答案，忽视了字母a允许的取值范围是非负数这个条件。
正解：
x2+y2=4
5.混淆“或”、“和”与“且”。
“或”表示选择的关系，“甲或乙”表示甲、乙二者必居其一。
如果用“和”则表示甲乙两部分连起来才是正确的。
“且”表示并且、而且，有同时满足的意思。
在使用时三者不能混淆。
M13：
当口为何值时*分式fW有意义?
tf*+4错瓠因为要使分式2有意义.只要d*5十3丸即可.即
a244tf+3
仗7（"1）*0，所以％—3或"一1时”分式叮口-2有意文
於+血3
分析：
”且”与”或”在数学上是表示不同意义的，”且’’与”和”相同，表示相连的关系，而”或”表示选择关系，两者不能混淆。
上题中的错解就是混淆了”“或”与“且”之间的关系，当a=-3时，分母等于零；当a=-1时，分母也等于零。
所以要使分式中的分母不等于0，a既不能等于-3也不能等于-1，两者是一个并列的关系，所以应该用“且”。
正解：
因为要使分式£二口•有意文t只要^+^+3^0即可.即
0卜3血+1）丸、所以当時-3且叶-1时，分式空兰二Z有意文.
a+4a+3
6.乱套公式定理、误用法则性质
有些数学题目在形式上相似，在解法上也雷同。
也有些题目在形式上虽然类似，但在解法上却大相径庭。
还有些题目在形式和解法上大致相同，但在一些细节处却有本质的区别。
比如不等式与解方程的求解。
学生也常因知识相近而机械地套用某些公式与定理，结果张冠
李戴，发生错误
计算;
m（冷
错朴124（]
--）=1
L2+--1
2+1=24^3$=-12
F比2
3
2
3
分析：
部分学生违背运算顺序，误认为除法也有类似乘法的分配率,导致错误发生。
说明学生运算法则模糊，乱套公式定理、误用法则
正解f
7.不等价转化
不等价转换是学生在已知条件进行转化的过程中，对已知条件
没有做等价的变化，导致了条件的扩大或缩小。
一般来说，用已知条
件的充分条件代替已知条件，就有可能造成失解；而用已知条件的必要条件代替己知条件，就有可能出现增解。
所以我们在转化已知条件时，转化的一定要是已知条件的充要条件，这样就可以避免失解、增解的现象出现。
侧15；解方程：
牛』+丄=]-丄
x-Jz-tl+r
错解匕去分每得*x^-m+3（jr+l）=x2-l-2（r-l）
§
分析：
一切实数，故在变化后需要验根。
如果缺少这个过程，那么分式方程化为整式方程的变化就不等价，会产生增根，所以解分式方程一定要注意验根
正解；一解駅耳二亍
因为*即午一隹1"ra*7:
所以，当血龙？
且折*3时，原方程的解社北畤
8结论错误
在数学解题过程中，学生往往比较重视问题的求解，但却忽视了对所得结论的检验。
解题的结论错误一般有三种表现形式：
忽视检验，取舍不当；结论表达不清或不完整；结论与实际情况不符。
倒若5卅“和是同类项，求I,（忽机检验，取舍不当》
错解*根据同类项的意文，由期-2*-3,解=
分析：
学生往往解到此了事，认为答案已求出。
实际上应该检验一下，答案是否符合题意。
当x=-1时，贝卩3x-1=x-3=-4，这时5m-4与7m-4不是整式，就不能有同类项的定义。
由此可见，在求得答案后对其结论进行检验是必不可少的。
正解：
x无解
例17：
已知五个三角形的三边长分别为：
（1）3、4、5；
（2）5、6、6；
（3）6、7、12；（4）6、6、6；（5）5、12、13。
问这些三角形可以分成哪几类？
（结论表达不清或不完整）
错解！
因为M*+卩・乳53M21
所弘
（1）和（5）是直轴三角形。
显热
（2）是等腰三角形”（4》是導边三角形，
所Kb这些三宦形可以分成四类：
直角三角臥的殷三角務、等边三角形*不等边三角形*
分析：
上述分类没有按照统一标准进行。
三角形可分别按边和角来分类。
按边来分，可以分成两类：
即
（1）、⑶、（5）是不等边三角形；
（2）、
（4）是等腰三角形；按照角来分，也可以分成两类，即
（1）、（5）是直角
三角形；
（2）、（3）、（4）是斜三角形。
正解：
见分析。
例18：
已知：
一个等腰三角形的一条边长为1厘米，另一条边长为3
厘米，求这个等腰三角形的周长。
（结论与实际情况不符）
错解：
（1）当腰长为1厘米，底边长为3厘米时，其周长为2X1+3=5厘米；
（2）当腰长为3厘米，底边长为I厘米时，其周长为2X3+仁7厘米。
分析：
（1）中的三角形是不存在的，因为三角形的基本性质是“三角
形任意两边之和大于第三边”，而三角形的两条腰长都为1厘米，其和是2厘米，小于底边长3厘米，不能构成三角形，应当舍去。
同样，也要对
（2）中的情况进行检验，有些同学在解题中喜欢运用排除法，认为剩下的结果就是一定是正确的结果，这也是非常不可取的。
正解：
依据题意可知，3厘米长的边为等腰三角形的腰，l厘米长的边必为等腰三角形的底边长
答：
其周长为2X3+仁7厘米。
（四）逻辑性错误
严谨性是数学学科的主要特征之一，表现在证明过程中都要遵守逻辑推理的规则。
数学证明是根据确定了真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题，来论证其他数学命题真实性的推理过程。
数学证明过程表现为一系列的逻辑推理，它关系到学生推理论证能力与逻辑思维能力的培养。
在证明过程中，学生容易犯的逻辑性错误主要表现为：
1．偷换论题
一些同学在解题过程中，因为某些原因人为地增加或者减少论题中的条件，导致论题改变，造成错误发生。
例22：
叙述命题“若a、b均为偶数，则a+b也为偶数”的逆否命题。
错解：
逆否命题为：
若a+b为奇数，则a、b均为奇数。
分析：
原命题与逆否命题是等价命题。
若原命题为真，则逆命题亦真。
但上述逆否命题不真。
其实“a、b均为偶数”的否定应包括两种情况：
（1）a、b均为奇数；
（2）a、b为一奇、一偶。
而
（1）、
（2）的统称应为
“a、b不全为偶数”或“a、b至少有一个奇数”。
“a、b均为奇数”
偷换了论题，造成了命题错误。
正解：
逆否命题为”若a+b为奇数，则a、b不全为偶数”。
2.论据不足
在推理论证的过程中，逻辑规则必须正确，推理论证所依据的原理、原则必须充分和恰当。
由于数学推理过程的复杂性和形式演变的多样性，极易产生由于论据不足而导致的“推不出”的错误。
例23,若四边形的一组対边中点的连线瞽
D
C
于另一组对边之和的一半，则后-组对边平厅.
/
己知’如图3-2,四边J^ABCD中，分
mA
别是AD^BC的中点.且寸肋心）
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