北师大版八年级上册 第六章 11 平均数 教案.docx
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北师大版八年级上册第六章11平均数教案
1.1 平均数（教案）
教学目标
知识与技能：
掌握算术平均数、加权平均数的概念.
过程与方法：
通过生活中的统计问题,培养学生的理解数据的能力.
情感态度与价值观：
帮助学生认识数学与人们生活的密切联系.
教学重难点
【重点】算术平均数和加权平均数的计算.
【难点】利用算术平均数和加权平均数解决实际问题.
教学准备：
【教师准备】教材中三个统计表的投影片.
【学生准备】复习学过的计算平均数的方法.
教学过程
一、导入新课
导入一:
师:
同学们,上次数学素质测试中,我们班的数学成绩比其他班级好,你知道学校是根据什么做出这一判断的吗?
生思考回答:
应当根据各班的数学平均成绩.
师:
很好!
生活中常用平均数对数据进行分析.另外也常用中位数、众数、方差等对数据进行分析和刻画.请同学们交流下面这个问题:
某小河平均水深1米,一个身高1.5米的小男孩在这条河里游泳是否安全?
生1:
平均水深才1米,身高1.5米的小男孩在这条河里游泳应当安全!
生2:
平均水深为1米,则可能有的地方水深不到1米,也可能有的地方水深2米多,还是有危险的.
师总结:
大家一定要真正理解“平均水深1米”的含义!
怎样才能更好地认识平均数呢?
今天我们就来研究这一内容.（教师板书课题:
1 平均数）
[设计意图] 创设接近学生生活的问题情境,让学生在轻松愉快的环境中,思考现实生活中的问题,并理解用数据的平均数做出判断的必要性.在课题引入中,激发学生学习本章新知识的兴趣,调动其积极性.
导入二:
通过播放一段CBA（中国男子篮球职业联赛）的视频引入本节课题,在学生观看了篮球比赛的片段后,请同学们思考:
影响比赛成绩的有哪些因素?
1.如何衡量两个球队队员的身高?
2.要比较两个球队队员的身高,需要收集哪些数据呢?
[处理方式] 本环节一要“有趣”,二要“紧凑”,达到引入课题,调动学生学习积极性的目的即可,不宜将时间拖得过长.
[设计意图] 创设接近学生生活的问题情境,让学生在轻松愉快的环境中,思考现实生活中收集数据、处理数据,并用数据的平均数做出判断的必要性.在课题引入中,激发学生学习本章新知识的兴趣,调动其积极性.
2、新知构建
[过渡语] 大家会计算一组数据的平均数吗?
（1）、算术平均数
思路一：
投影CBA（中国男子篮球职业联赛）2000~2001赛季冠、亚军球队队员的身高、年龄的表格,提出问题:
“八一双鹿队”和“上海东方大鲨鱼队”两支篮球队中,哪支球队队员的身高更高?
哪支球队队员更为年轻?
你是怎样判断的?
与同伴交流.
八一双鹿队
上海东方大鲨鱼队
号码
身高/米
年龄/岁
号码
身高/米
年龄/岁
4
1.78
31
4
1.85
24
5
1.88
23
5
1.96
21
6
1.96
32
6
2.02
29
7
2.08
20
7
2.05
21
8
2.04
21
8
1.88
21
9
2.04
22
9
1.94
29
10
2.00
31
10
1.85
24
11
1.98
27
11
2.08
34
12
1.93
24
12
1.98
18
13
1.98
29
13
1.97
18
14
2.14
22
14
1.96
23
15
2.02
22
15
2.23
21
16
1.98
24
17
1.86
26
18
2.02
16
教师小结:
日常生活中我们常用平均数来表示一组数据的“平均水平”.
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把
（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为
.
[处理方式]
（1）学生先独立思考,计算出平均数,然后再小组交流.
（2）各小组之间竞争回答,答对的打上星,给予鼓励.（3）最后,这三个问题由三名中等学生口答完成.
[设计意图] 独立思考是合作探究的一个前提,所以在学习求算术平均数的过程中先让学生独立思考,然后再与同伴交流.小组之间竞争回答问题,让学生经历、体验竞争的过程,并以打星的方式给予评价,旨在激发学生学习的积极性.
思路二
师:
篮球运动是大家喜欢的一种运动项目,尤其是男生们更是倍爱有加.下面播放一段CBA（中国男子篮球职业联赛）北京金隅队和广东东莞银行队的比赛视频片段,请同学们欣赏.
师:
影响比赛成绩的有哪些因素?
生1:
球员心理因素.
生2:
球员技术因素.
生3:
球员之间的配合问题.
生4:
年龄因素.
生5:
还有身高因素.
师:
说得太好啦!
在篮球比赛中,队员的身高是反映球队实力的一个重要因素,如何衡量两支球队队员的身高呢?
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”?
生:
衡量两支球队队员的身高,就是分别求两支球队队员的平均身高,然后再做比较;“甲队队员的身高比乙队更高”是指甲队队员的平均身高要比乙队队员的平均身高高.
师:
要比较两支球队队员的身高,需要收集哪些数据呢?
生:
需要知道每队各个队员的身高.
师:
下面是老师收集的两支球队队员的相关信息,如下表所示:
北京金隅队
号码
身高/cm
年龄/岁
3
188
35
6
175
28
7
190
27
8
188
22
9
196
22
10
206
22
12
195
29
13
209
22
20
204
19
21
185
23
25
204
23
31
195
28
32
211
26
51
202
26
55
227
29
广东东莞银行队
号码
身高/cm
年龄/岁
3
205
31
5
206
21
6
188
23
7
196
29
8
201
29
9
211
25
10
190
23
11
206
23
12
212
23
20
203
21
22
216
22
30
180
19
32
207
21
0
183
27
师:
上述两支篮球队中,哪支球队队员的身高更高?
哪支球队的队员更为年轻?
你是怎样判断的?
生1:
衡量两支球队队员的身高,就是分别求两支球队队员的平均身高,然后比较.
生2:
衡量哪支球队队员更年轻,就是分别求两支球队队员的平均年龄,然后再比较.
师:
下面各小组计算一下两支球队队员的平均身高和平均年龄,看哪一组计算既准又快,方法又多.
[处理方式] 学生先独立思考,计算出平均数,然后再小组交流.教师巡视、指导学生,学生完成后回答,分享学生的计算成果.
生:
广东东莞银行队队员的平均身高约为2.00米,平均年龄约为24.1岁;北京金隅队队员的平均身高约为1.98米,平均年龄为25.4岁.所以广东东莞银行队队员的身高更高,更为年轻.
师:
能告诉老师求平均数的方法吗?
生:
把一支队中的所有队员的年龄求和,再除以人数就是本队队员的平均年龄.
如北京金隅队队员的平均年龄:
（35+28+26+22+22+29+22+23+26+28+22+19+29+23+27）÷15=25.4（岁）.
求平均身高类似.
师:
这种求平均数的方法我们并不陌生,我们经常用到它,这种平均数叫算术平均数.
师:
日常生活中我们常用平均数描述一组数据的集中趋势.
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把
（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为
.读作“x拔”.
[设计意图] 引导学生体会现实生活中数据收集和数据处理的必要性.由此引出算术平均数的概念.通过小组讨论,培养学生合作交流的意识和能力.
（2）、求算术平均数的常用方法
出示教材想一想:
师:
除了上面求平均数的方法之外,小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的:
（多媒体展示）
年龄/岁
19
22
23
26
27
28
29
35
相应的队员数
1
4
2
2
1
2
2
1
平均年龄=（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷（1+4+2+2+1+2+2+1）=25.4（岁）.
师:
你能说说小明这样做的道理吗?
生:
小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的,只是在求相同加数的和时用了乘法,这是一种求算术平均数的简便方法.
师:
你们还有关于计算平均数的简便方法吗?
生:
我通过变大为小的方法解决.如广东东莞银行队队员的身高数据都比较大,而且都在200左右,因此可以先将各个数减去200,再算出新的一组数据的平均数,最后加上200即可.
=（5+6-12-4+1+11-10+6+12+3+16-20+7-17）÷14+200≈200（cm）.
师:
你的方法很好,我们在以后做题中可以学习使用.
[设计意图] “想一想”是从算术平均数到加权平均数的一个台阶,想让学生顺利完成新知识的建构.同时让学生经历运用多种方法解决问题的过程,培养学生的发散思维能力,激发和调动学生的学习积极性.
【小试身手】
师:
下面是某班30位同学一次数学测试的成绩（单位:
分）,你有几种方法求出他们的平均分?
（多媒体展示）
95,99,87,90,90,86,99,100,95,87,88,86,94,92,90,95,87,86,88,86,90,90,99,80,87,86,99,95,92,92
[处理方式] 学生独立思考,计算出平均数并交流.教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,学生完成后用实物投影,展示正确的答案,并给予鼓励.
生:
平均分:
=91（分）.
师:
很好,计算准确,还有不同求法吗?
生:
=（95×4+99×4+90×5+86×5+87×4+88×2+92×3+100+94+80）÷30=91（分）.
师:
不错,计算简便,还有不同求法吗?
生:
先取一个数90作为基准,则每个数分别与90的差为:
5,9,-3,0,0,-4,…,2,2,求出以上新的一组数据的平均数为1,所以原数据的平均数为
=90+1=91（分）.
[设计意图] 总结求算术平均数的方法,将琐碎的知识纳入知识系统,同时强调一些细节,即计算要准确、方法要灵活选择、单位要注意.
（3）、加权平均数的概念和计算方法
师:
当今社会是人才竞争的时代,每个人都应该不断地增强自己的综合素质,只有这样才会在竞争中立于不败之地,我们通过下面的例题来感受一下.
某广告公司欲招聘广告策划人员一名,对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试.他们的各项测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩
A
B
C
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
师:
如果你是该公司的老总,你打算聘用谁?
说出你的理由.
[处理方式] 学生独立思考,并交流解决方法.教师巡视学生并与学生交流,实物投影展示学生正确的答案.
生1:
聘用A,通过计算:
A的平均成绩为
（72+50+88）=70（分）.
B的平均成绩为
（85+74+45）=68（分）.
C的平均成绩为
（67+70+67）=68（分）.
因为A是平均成绩最高的,所以候选人A将被录用.
生2:
聘用C,因为C的各方面都比较平均,而A,B都有一项不及格.
生3:
聘用B,我认为广告策划关键看创新,且B的综合知识也比较扎实.
师:
同学们的表现很棒!
下面请大家结合这个职业的特点谈一谈对广告策划人员来说最重要的条件是什么.
生:
创新.
师:
其次呢?
生:
综合知识.
师:
根据实际需要,公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩,你能计算此时各人员的平均成绩吗?
此时谁将被录用呢?
生1:
A的测试成绩为
=65.75（分）.
B的测试成绩为
=75.875（分）.
C的测试成绩为
=68.125（分）.
因此候选人B将被录用.
生2:
A的测试成绩为72×
+50×
+88×
=65.75（分）.
B的测试成绩为85×
+74×
+45×
=75.875（分）.
C的测试成绩为67×
+70×
+67×
=68.125（分）.
因此候选人B将被录用.
师:
这两种算法结果一样,每种算法都可以.
师:
上面两种情况中的结果为什么不一样呢?
生:
测试的每一项的重要性不同,计算出的平均数就不同.
师:
重要性的差异对结果的影响是很大的,所以有些时候我们要考虑重要性不同.这里的重要程度从哪里体现的?
生:
4∶3∶1.
师:
这说明在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”.如例题中4,3,1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权,而称
为A的三项测试成绩的加权平均数.（教师板书）
师:
虽然A的成绩最低,但我们不能否认他也很优秀,可是他并不适合广告策划,你认为他适合哪一项工作?
说说你的理由.
生:
推销员.因为语言对于推销员来说最重要,其次是综合知识,最后是创新.
师:
那么,请你也给每个数据一个“权”吧!
生:
语言是5,综合知识是3,创新是2.
师:
到底此时是不是A的成绩最高呢?
请同学们通过计算加以验证.
[处理方式] 学生独立解决.教师巡视学生,对个别学生进行指导,鼓励学生板演.
生:
A的成绩为73.4分,B的成绩为61.7分,C的成绩为67.9分.
师:
你们很聪明,做得也很好.其实加权平均数并不是那么高深莫测,它就在我们身边.
师:
通过以上的探究,大家讨论一下,算术平均数与加权平均数有什么区别与联系?
[处理方式] 学生讨论交流解决.对学生的总结进行补充.
生1:
算术平均数就是把数字直接相加,然后除以个数,而加权平均数是各个数所占的比重不同,按照相应的权重计算出来的.
生2:
算术平均数是加权平均数的特例,算术平均数每一项的权重均为1.
[设计意图] 例题是引导学生思考重要性的差异对结果（平均数）的影响,以引入加权平均数的概念并加以诠释.教学过程中要充分发挥学生的主观能动性,让他们积极思考,合作探究,学会新知.尤其认识到加权平均数的概念后让学生自己对例题中的权重加以更改,充分地调动了学生学习的积极性.
（4）、实际应用,升华新知
[过渡语] 请根据你学到的知识解决下面的问题.
[处理方式] 学生分析后独立作答,完成后,让学生校正答案、评价.教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,并规范解题步骤.
1.某次体操比赛,六位评委对某选手的打分如下（单位:
分）:
9.5,9.3,9.1,9.5,9.4,9.3.
（1）求这六个分数的平均分;
（2）如果规定:
去掉一个最高分和一个最低分,余下分数的平均值作为这位选手的最后得分,那么该选手的最后得分是多少?
2.某校在期末考核学生的体育成绩时,规定:
早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%,体育理论测试占30%,体育技能测试占50%.小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分,则小颖这学期的体育成绩是多少?
[设计意图] 这两题是算术平均数和加权平均数的直接应用,巩固本节课的“双基”内容.
[知识拓展] 算术平均数与加权平均数是既有联系又有区别的,一般而言,求一组数据的算术平均数,必须是该组数据中各数的“重要性”相当（“权”相等）,且重复数据较少;求一组数据的加权平均数有两种情况:
一是该组数据中各数据重要程度不一,所占比重不一样.二是该组数据中有多个数据多次出现.
三、课堂总结
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）,当实际问题中,各项的权不相等时,计算平均数时就要采用加权平均数;当各项的权相等时,计算平均数就要采用算术平均数,两者不可混淆.如:
计算彩票的平均收益时,不是求各个等次奖金额的算术平均数,而应考虑不同等次奖金的获奖比重.
四、课堂练习
1.在演唱比赛中,5位评委给一位歌手的打分如下:
8.2分,8.3分,7.8分,7.7分,8.0分,则这位歌手的平均得分是 分.
解析:
根据算术平均数的计算公式,先求出这5个数的和,再除以5即可.（8.2+8.3+7.8+7.7+8.0）÷5=8（分）.故填8.
2.有6个数,它们的平均数是12,再添加一个数5,求这7个数的平均数.
解:
有6个数,它们的平均数是12,
那么这6个数的和为6×12=72.
再添加一个数5,
则这7个数的平均数是
=11.
3.CBA（中国男子篮球职业联赛）2000~2001赛季亚军球队“上海东方大鳖鱼队”队员的年龄如下:
号码
4
5
6
7
8
9
10
年龄/岁
24
21
29
21
21
29
24
号码
11
12
13
14
15
16
17
18
年龄/岁
34
18
18
23
21
24
26
16
求这支球队的队员的平均年龄.
解析:
计算算术平均数的基本方法是将数据总和除以总个数.考虑到这个队年龄相同的队员较多,故可以将数据做如下处理:
年龄/岁
16
18
21
23
24
26
29
34
相应的队员数
1
2
4
1
3
1
2
1
解:
平均年龄=（16×1+18×2+21×4+23×1+24×3+26×1+29×2+34×1）÷（1+2+4+1+3+1+2+1）≈23.3（岁）.
五、板书设计
第1课时
（1）、算术平均数
（2）、求算术平均数的常用方法
（3）、加权平均数的概念和计算方法
（4）、实际应用,升华新知
六、布置作业
（1）、教材作业
【必做题】教材习题6.1第1,2题.
【选做题】教材习题6.1第5题.
（2）、课后作业
【基础巩固】1.陕西省某市五月份第一周连续七天的空气质量指数分别为:
111,96,47,68,70,77,105,则这七天空气质量指数的平均数是（ ）
A.71.8B.77C.82D.95.7
2.某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示.那么这6天的日平均用水量是（ ）
A.30吨B.31吨C.32吨D.33吨
3.为了解某中学八
（2）班学生每天的睡眠时间,随机抽取了该班10名学生,在一段时间里,每人平均每天的睡眠时间统计如下（单位:
小时）:
6,8,8,7,7,9,10,7,6,9,由此估计该班多数学生平均每天的睡眠时间为（ ）
A.7小时B.7.5小时C.7.7小时D.8小时
4.某学习小组共有8人,第一次数学测验中,得100分的1人,得90分的2人,得74分的4人,得64分的1人,那么这个小组的平均成绩是（ ）
A.82分B.80分C.74分D.90分
5.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:
时间/小时
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）
A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时
6.第十三届全国青年歌手大奖赛中,12位评委给通俗组某歌手打分的情况如下（单位:
分）:
96.5,97.5,97.6,97.8,97.8,98.1,98.3,98.5,98.5,98.5,98.6,99.2.去掉一个最高分,去掉一个最低分,这位歌手的最后平均得分为 .
【能力提升】7.某次能力测试中,10人的成绩统计如下表,则这10人成绩的平均数为 分.
分数/分
5
4
3
2
1
人数
3
1
2
2
2
8.某校欲招聘一名数学教师,学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,各项测试成绩满分均为100分,根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩（分）
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
（1）根据三项测试的平均成绩,谁将被录用?
说明理由;
（2）根据实际需要,学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比重确定每人的成绩,谁将被录用?
说明理由.
【拓展探究】9.已知两组数据x1,x2,x3,…,xn和y1,y2,y3,…,yn的平均数分别是4和18.
（1）若x1,x2,x3的平均数为4,y1,y2,y3,y4的平均数为18,求x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4的平均数;
（2）求一组新数据6x1,6x2,…,6xn的平均数;
（3）求一组新数据mx1+ky1,mx2+ky2,…,mxn+kyn的平均数.
【答案与解析】
1.C
2.C（解析:
（30+34+32+37+28+31）÷6=32（吨）.）
3.C（解析:
（6×2+8×2+7×3+9×2+10）÷10=7.7（小时）.）
4.B
5.B
6.98.12分（解析:
（97.5+97.6+97.8+97.8+98.1+98.3+98.5+98.5+98.5+98.6）÷10=98.12（分）.）
7.3.1（解析:
利用加权平均数的计算方法即可得解.
×（5×3+4×1+3×2+2×2+1×2）=
×（15+4+6+4+2）=
×31=3.1（分）.所以这10人成绩的平均数为3.1分.故填3.1.）
8.解:
（1）甲的平均成绩为（85+70+64）÷3=73（分）;乙的平均成绩为（73+71+72）÷3=72（分）;丙的平均成绩为（73+65+84）÷3=74（分）.所以丙的平均成绩最高,候选人丙将被录用.
（2）甲的测试成绩为（85×5+70×3+64×2）÷（5+3+2）=76.3（分）,乙的测试成绩为（73×5+71×3+72×2）÷（5+3+2）=72.2（分）,丙的测试成绩为（73×5+65×3+84×2）÷（5+3+2）=72.8（分）,所以甲的综合成绩最高,候选人甲将被录用.
9.解:
（1）因为x1,x2,x3的平均数是4,y1,y2,y3,y4的平均数是18,所以x1+x2+x3=4×3=12,y1+y2+y3+y4=18×4=72,所以x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4的平均数是（12+72）÷7=12.
（2）因为x1,x2,…,xn的平均数是4,所以x1+x2+…+xn=4n,所以6x1,6x2,…,6xn的平均数是
（6x1+6x2+…+6xn）=
×6×（x1+x2+…+xn）=24. （3）mx1+ky1,mx2+ky2,…,mxn+kyn的平均数是
（mx1+ky1+mx2+ky2+…+mxn+kyn）=
[m（x1+x2+…+xn）+k（y1+y2+…+yn）]=m·
（x1+x2+…+xn）+k·
·（y1+y2+…+yn）=4m+18k.
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