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《相关与回归分析》
第十二章相关与回归分析
四、名词解释
1．消减误差比例
变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的误差
，减去知道Y与X有关系时预测Y的误差
，再将其化为比例来度量。
将削减误差比例记为PRE。
2．确定性关系
当一个变量值确定后，另一个变量值夜完全确定了。
确定性关系往往表现成函数形式。
3．非确定性关系
在非确定性关系中，给定了一个变量值，另一个变量值还可以在一定范围内变化。
4．因果关系
变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。
1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的；3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。
5．单相关和复相关
单相关只涉及到两个变量，所以又称为二元相关。
三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关，又称多元相关。
6．正相关与负相关
正相关与负相关：
正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。
7．散点图
散点图：
将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X与Y的相互关系，即得相关图，又称散点图。
8．皮尔逊相关系数r
皮尔逊相关系数是协方差与两个随机变量X、Y的标准差乘积的比率。
9．同序对
在观察X序列时，如果看到
，在Y中看到的是
，则称这一配对是同序对。
10．异序对
在观察X序列时，如果看到
，在Y中看到的是
，则称这一配对是异序对。
11．同分对
如果在X序列中，我们观察到
（此时Y序列中无
），则这个配对仅是X方向而非Y方向的同分对；如果在Y序列中，我们观察到
（此时X序列中无
），则这个配对仅是Y方向而非X方向的同分对；我们观察到
，也观察到
，则称这个配对为X与Y同分对。
六、计算题
1．对某市市民按老中青进行喜欢民族音乐情况的调查，样本容量为200人，调查结果示于下表，试把该频数列联表：
①转化为相对频数的联合分布列联表②转化为相对频数的条件分布列联表；③指出对于民族音乐的态度与被调查者的年岁有无关系，并说明理由。
对于民族音乐的
态度（Y）
年岁（X）
Σ
老中青
喜欢
不喜欢
383830
153346
Σ
2．已知十名学生身高和体重资料如下表，
（1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；
（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量）。
身高（cm）
171
167
177
154
169
体重（kg）
53
56
64
49
55
身高（cm）
175
163
152
172
162
体重（kg）
66
52
47
58
50
【皮尔逊相关系数：
0.889，斯皮尔曼相关系数：
0.94，回归方程：
Y=-54.48+0.66X】
3．假定有不同文化程度的35～45岁育龄妇女100人的生育情况如下表，求文化程度与平均生育数的相关系数r。
序号
一
二
三
四
五
育龄妇女人数
20
20
20
20
20
文化程度（年）
平均生育数
0
4.74
6
3.31
9
3.08
12
2.41
16
1.94
4．某市有12所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。
环境名次
3
9
7
5
12
8
10
2
11
4
1
6
体质名次
5
9
6
7
12
8
11
1
10
3
2
4
【斯皮尔曼相关系数：
0.94，肯德尔等级相关系数：
0.83】
5．以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度之Gamma系数和肯德尔相关系数τc。
文化程度
大学
中学
小学
婚姻美满
美满
9
16
5
一般
8
30
18
不美满
3
4
7
【τc=0.18】
6．以下为两位评判员对10名参赛人名次的打分。
试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。
参赛人
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
评判员1
评判员2
1
1
2
2
4
3
3
4
5
5
8
6
6
7
7
8
9
9
10
10
【斯皮尔曼相关系数：
0.95】
7．某原始资料为：
X
65
73
91
88
76
53
96
67
82
85
Y
5
7
13
13.5
7
4.5
15
6.7
10
11
要求：
（1）求回归方程；
（2）这是正相关还是负相关；（3）求估计标准误差；
（4）用积差法求相关系数。
【Y=-11.48+0.27X】【正相关】【相关系数r=0.95】
8．两变量X、Y之间的关系如下表，
X
2
4
6
8
10
12
Y
14
10
9
7
5
4
（1）求回归方程；
（2）求相关系数。
【Y=-0.957X+14.867】【r=0.98】
9．试就下表所示资料，计算关于身高和体重的皮尔逊相关系数。
N0
身高（厘米）
体重（千克）
1
2
3
4
5
6
7
160
161
165
165
167
170
172
51
56
59
66
63
70
69
8
9
10
174
176
180
73
80
65
【r=0.77】
10．青年歌手大奖赛评委会对10名决赛选手的演唱水平（X）和综合素质（Y）进行打分，评价结果如下表（表中已先将选手按演唱水平作了次序排列）所示，试计算选手的演唱水平和综合素质间的肯德尔等级相关系数及斯皮尔曼等级相关系数。
选手名
ABCDEFGHIJ
演唱水平（X）
综合素质（Y）
12345678910
31527410869
【肯德尔系数：
0.56，斯皮尔曼系数：
0.76】
11．青年歌手大奖赛，假设五位评委对10名决赛选手的演唱水平进行排序，他们的有关评价结果列于下表，试通过计算肯德尔和谐系数，检验专家意见的一致性和相关程度。
五位评委
10名决赛选手
ABCDEFGHIJ
A
B
C
D
E
12345678910
32145897106
13248765910
42153108679
52193846107
【0.76】
12．某地区失业率与通货膨胀率之间的资料如下表所示，试求：
（1）拟合指数回归方程
＝
；
（2）失业率与通货膨胀率之间的相关系数。
失业率（%）
1.01.62.02.53.13.64.04.55.15.66.06.5
通胀率（%）
1.61.51.11.30.60.90.80.80.70.60.60.6
【
】【相关系数0.76】
13．试就下表所示资料，求算员工工作满足感高与归属感之Gamma系数，并解释Gamma系数具有削减误差比例PRE性质。
工作满足感与归属感
归属感（Y）
工作满足感（X）
低
（1）中
（2）高（3）
低
（1）
中
（2）
高（3）
843
651
445
15
12
13
Fx
18139
40
【G=0.092】
14．已知相关系数r＝0.6，估计标准误差
＝8，样本容量为62。
求：
1）剩余变差值；
2）剩余变差占总变差的百分比；
3）求总变差值。
15．在相关和回归分析中，已知下列资料：
＝16，
＝25，
＝－19，a＝30。
要求：
1）计算相关系数r，说明相关程度；2）求出直线回归方程。
16．在相关和回归分析中，已知下列有关资料：
＝5，
＝10，n＝20，r＝0.9，
＝2000。
试计算：
1）回归系数b；
2）回归变差和剩余变差；
3）估计标准误差
。
17．根据下述假设资料求回归方程。
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
23.0
23.4
24.1
25.2
26.1
26.9
27.3
18．某10户家庭样本具有下列收入（元）和食品支出（元/周）数据：
收入（X）
20
30
33
40
15
13
26
38
25
43
支出（Y）
7
9
8
11
5
4
8
10
9
10
要求：
1）写出最小平方法计算的回归直线方程；
2）在95.46％把握下，当X＝45时，写出Y的预测区间。
19．根据下述假设资料，试用积差法求相关系数。
输出X（亿元）
12
10
6
16
8
9
10
输出Y（亿元）
12
8
6
11
10
8
11
20．对40个企业的横截面样本数据进行一元回归分析，因变量与其平均数的离差平方和为6000，而回归直线拟合的剩余变差为2000，求：
1）变量间的相关指数R；
2）该方程的估计标准误差。
七、问答题
1．简述积差系数的特性。
2．简述回归分析和相关分析之间的密切联系。
部分计算参考：
（见计算题六）
2.已知十名学生身高和体重资料如下表，
（1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；
（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量）。
编号
身高（cm）
体重（kg）
1
171
53
2
167
56
3
177
64
4
154
49
5
169
55
6
175
66
7
163
52
8
152
47
9
172
58
10
162
50
皮尔逊相关系数与回归方程
编号
身高（cm）x
体重
（kg）y
xy
1
171
53
29241
2809
9063
2
167
56
27889
3136
9352
3
177
64
31329
4096
11328
4
154
49
23716
2401
7546
5
169
55
28561
3025
9295
6
175
66
30625
4356
11550
7
163
52
26569
2704
8476
8
152
47
23104
2209
7144
9
172
58
29584
3364
9976
10
162
50
26244
2500
8100
合计
1662
550
276862
30600
91830
斯皮尔曼相关系数
编号
身高（cm）
次序
体重（kg）
次序
d
1
171
4
53
6
-2
4
2
167
6
56
4
2
4
3
177
1
64
2
-1
1
4
154
9
49
9
0
0
5
169
5
55
5
0
0
6
175
2
66
1
1
1
7
163
7
52
7
0
0
8
152
10
47
10
0
0
9
172
3
58
3
0
0
10
162
8
50
8
0
0
合计
10
4.某市有12所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结
果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。
环境名次
3
9
7
5
12
8
10
2
11
4
1
6
体质名次
5
9
6
7
12
8
11
1
10
3
2
4
斯皮尔曼等级相关系数
环境名次
体质名次
d
3
5
-2
4
9
9
0
0
7
6
1
1
5
7
-2
4
12
12
0
0
8
8
0
0
10
11
-1
1
2
1
1
1
11
10
1
1
4
3
1
1
1
2
-1
1
6
4
2
4
合计
18
肯德尔等级相关系数
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
环境名次（x）
3
9
7
5
12
8
10
2
11
4
1
6
体质名次（y）
5
9
6
7
12
8
11
1
10
3
2
4
1）A：
同序对ACABADAEAFAGAHAIAK9异序对AJAL2
2）B：
同序对BCBDBGBHBIBJBKBLBEBF10
3）C：
同序对CECFCGCHCICJCKCL8异序对CD1
4D：
同序对DEDFDGDHDIDJDK7异序对DL1
5）E：
同序对EGEHEIEJEKELEF7
6）F：
同序对FGFHFIFJFKFL6
7）G：
同序对GHGJGKGL4异序对GI1
8）H：
同序对HIHJHKHL4
9）I：
同序对IJIKIL3
10）J：
同序对JKJL2
11）K：
同序对KL1
合计：
同序对
异序对
5.以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度
Gamma系数和肯德尔相关系数τc。
文化程度
婚姻美满
大学
中学
小学
美满
9
16
5
一般
8
30
18
不美满
3
4
7
=9×（30+18+4+7）+16×（18+7）+8×（4+7）+30×7=1229
=5×（30+8+3+4）+18×（3+4）+16×（8+3）+30×3=617
0.18
6．以下试两位评判员对10名参赛人名次的打分。
试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。
参赛人
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
评判员1
评判员2
1
1
2
2
4
3
3
4
5
5
8
6
6
7
7
8
9
9
10
10
参赛人
评审员1
评审员2
d
A
1
1
0
0
B
2
2
0
0
C
4
3
1
1
D
3
4
-1
1
E
5
5
0
0
F
8
6
2
4
G
6
7
-1
1
H
7
8
-1
1
I
9
9
0
0
J
10
10
0
0
合计
8
7．某原始资料为：
X
65
73
91
88
76
53
96
67
82
85
Y
5
7
13
13.5
7
4.5
15
6.7
10
11
要求：
（1）求回归方程；
（2）这是正相关还是负相关；【正相关】
（3）求估计标准误差；
（4）用积差法求相关系数。
X
Y
xy
65
5
4225
25
325
73
7
5329
49
511
91
13
8281
169
1183
88
13.5
7744
182.25
1188
76
7
5776
49
532
53
4.5
2809
20.25
238.5
96
15
9216
225
1440
67
6.7
4489
44.89
448.9
82
10
6724
100
820
85
11
7225
121
935
776
92.7
61818
985.39
7621.4
17．根据下述假设资料求回归方程。
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
23.0
23.4
24.1
25.2
26.1
26.9
27.3
编号
x
y
xy
1
1
23.0
1
529
23
2
2
23.4
4
547.56
46.8
3
3
24.1
9
580.81
72.3
4
4
25.2
16
635.04
100.8
5
5
26.1
25
681.21
130.5
6
6
26.9
36
723.61
161.4
7
7
27.3
49
745.29
191.1
合计
28
176.0
140
4442.52
725.9
7
r
a
b
0.992832
22.0143
0.782143
18．某10户家庭样本具有下列收入（元）和食品支出（元/周）数据：
收入（X）
20
30
33
40
15
13
26
38
25
43
支出（Y）
7
9
8
11
5
4
8
10
9
10
要求：
1）写出最小平方法计算的回归直线方程；
2）在95.46％把握下，当X＝45时，写出Y的预测区间。
收入（X）
支出（Y）
xy
20
7
400
49
140
30
9
900
81
270
33
8
1089
64
264
40
11
1600
121
440
15
5
225
25
75
13
4
169
16
52
26
8
676
64
208
38
10
1444
100
380
24
9
576
81
216
43
10
1849
100
430
282
81
8928
701
2475
19．根据下述假设资料，试用积差法求相关系数。
输出X（亿元）
12
10
6
16
8
9
10
输出Y（亿元）
12
8
6
11
10
8
11
输出
x（亿元）
输出
y（亿元
xy
12
12
144
144
144
10
8
100
64
80
6
6
36
36
36
16
11
256
121
176
8
10
64
100
80
9
8
81
64
72
10
11
100
121
110
（注：
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