初三四边形折叠拔高专题真题含答案.docx

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初三四边形折叠拔高专题真题含答案

2019-2020四边形折叠拔高专题（真题含答案）

几何三大变换思考层次

【平移的思考层次】

①全等变换：

对应边平行且相等、对应角相等．

②对应点：

对应点所连线段平行且相等．

③新关系：

平移会产生平行四边形．

④应用：

常应用在天桥问题、存在性问题等．

【旋转的思考层次】

①全等变换：

对应边相等、对应角相等．

②对应点：

对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；

对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心．

③新关系：

旋转会产生等腰三角形．

④应用：

当题目中出现等线段共点的时候考虑旋转结构等．

【轴对称的思考层次】

①全等变换：

对应边相等、对应角相等．

②对应点：

对应点所连线段被对称轴垂直平分；

对称轴上的点到对应点的距离相等．

③新关系：

折叠会产生垂直平分、等腰三角形．

④应用：

常应用在折叠问题、最值问题等．

一、单选题

1．如图，菱形纸片中，，将纸片折叠，点、分别落在、处，且经过，为折痕，当时，的值为（）.

A．B．C．D．

2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为（）

A．2B．C．2或D．2或

3．如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点．若OF＝1，FD＝2，则G点的坐标为（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．（，）

4．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为（）

A．3B．C．2或3D．3或

5．如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则的值为

A．B．C．D．

6．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB＝4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（）

A．B．2C．2﹣2D．4

7．如图，菱形的边，，,是上一点，，是边上一动点，将梯形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，的长为（　　）

A．B．C．D．

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是（　　）

A．B．△PBC是等边三角形

C．AC＝2APD．S△BGC＝3S△AGP

9．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：

①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．

以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．1B．2C．3D．4

10．如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：

①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2－；③S△ADF＝S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

11．已知中，，．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（）．

A．种B．种C．种D．种

12．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）

A．B．C．D．3

二、填空题

13．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把矩形沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为____________．

14．如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的值为_____________．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．

16．如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______.

17．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为_____．

18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．

19．在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．

20．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____．

21．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交直线AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．

22．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置．若点B的坐标为（2，4），则点D的横坐标是___________．

23．如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为_____．

24．如图，在矩形中，，，．分别是线段，上的点，连接，使四边形为正方形，若点是上的动点，连接，将矩形沿折叠使得点落在正方形的对角线所在的直线上，对应点为，则线段的长为________．

25．如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

延长与交于点.根据折叠的性质，可得，利用角度的变换得到，所以，设，，则，所以.中，，解出x、y的关系即可

【详解】

如图，延长与交于点.由已知可得，.根据折叠的性质，可得，所以.因为，所以.因为，所以，即得，所以.设，，则，所以.在中，，解得，所以.

【点睛】

本题考查菱形的性质以及三角函数的基本应用，本题关键在于作出准确的辅助线

2．C

【解析】

【分析】

根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：

①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．

【详解】

①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB

∴A'A=A'B

由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP

∴△ABA'是等边三角形

∴∠ABP=30°

∴AP=；

②如图，当A'D=DC时，A'D=2

由折叠得，A'B=AB=2

∴A'B+A'D=2+2=4

连接BD，则Rt△ABD中，BD=

∴A'B+A'D＜BD（不合题意）

故这种情况不存在；

③如图，当CD=CA'时，CA'=2

由折叠得，A'B=AB=2

∴A'B+A'C=2+2=4

∴点A'落在BC上的中点处

此时，∠ABP=∠ABA'=45°

∴AP=AB=2．

综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．

故选C.

【点睛】

本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．

3．B

【解析】

【分析】

连结EF，作GH⊥x轴于H，根据矩形的性质得AB=OD=OF+FD=3，再根据折叠的性质得BA=BG=3，EA=EG，∠BGE=∠A=90°，而AE=DE，则GE=DE，于是可根据“HL”证明Rt△DEF≌Rt△GEF，得到FD=FG=2，则BF=BG+GF=5．在Rt△OBF中，利用勾股定理计算出OB，然后根据△FGH∽△FBO，利用相似比计算出GH和FH，根据OH=OF﹣HF，即可得到G点的坐标．

【详解】

连结EF，作GH⊥x轴于H，如图，

∵四边形ABOD为矩形，

∴AB=OD=OF+FD=1+2=3．

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴BA=BG=3，EA=EG，∠BGE=∠A=90°．

∵点E为AD的中点，

∴AE=DE，

∴GE=DE．

在Rt△DEF和Rt△GEF中，

∵，

∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），

∴FD=FG=2，

∴BF=BG+GF=3+2=5．

在Rt△OBF中，OF=1，BF=5，

∴OB．

∵GH∥OB，

∴△FGH∽△FBO，

∴，

即，

∴GH，FH，

∴OH=OF﹣HF=1，

∴G点坐标为（）．

故选B．

【点睛】

本题考查了折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了坐标与图形的性质和相似三角形的判定与性质．

4．D

【解析】

【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．

【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=3，

∴CB′=5-3=2，

设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2=CE2，

∴x2+22=（4-x）2，解得x=，

∴BE=；

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．

此时ABEB′为正方形，

∴BE=AB=3．

综上所述，BE的长为或3．

故选D．

【点睛】

本题考查了折叠问题：

折叠前后两图形全等，即对应线段相等；