如何证明等差数列精选多篇.docx
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如何证明等差数列精选多篇
如何证明等差数列（精选多篇）
如何证明等差数列
设等差数列an=a1+（n-1）d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+（n-1）d/2
{an}的平均数为
sn/n=/n=a1+（n-1）d/2
得证
1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a
c^2（a+b）-b^2（c+a）=（c-b）（ac+bc+ab）
b^2（c+a）-a^2（b+c）=（b-a）（ac+bc+ab）
因c-b=b-a，则（c-b）（ac+bc+ab）=（b-a）（ac+bc+ab）
即c^2（a+b）-b^2（c+a）=b^2（c+a）-a^2（b+c）
所以a^2（b+c）,b^2（c+a）,c^2（a+b）成等差数列
等差：
an-（an-1）=常数（n≥2）
等比：
an/（an-1=常数（n≥2）
等差：
an-（an-1）=d或2an=（an-1）+（an+1）,（n≥2）
等比：
an/（an-1）=q或an平方=（an-1）*（an+1）（n≥2）.
2
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明：
1）容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立
2）假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5（j-1）-4，（j≤k）
则sk=a1+a2+…ak=5*（1+2+…+k）-4k=5k（k+1）/2-4k=k（5k-3）/2
于是s（k+1）=a（k+1）+sk
而由题意知：
（5k-8）s（k+1）-（5k+2）sk=-20k-8
即：
（5k-8）*-（5k+2）sk=-20k-8
所以（5k-8）a（k+1）-10sk=-20k-8
即：
（5k-8）a（k+1）=5k（5k-3）-20k-8=25k^2-35k-8=（5k-8）（5k+1）
所以a（k+1）=5k+1=5（k+1）-4
即知n=k+1时，推测仍成立。
3
在新的数列中
an=s
=a（4n-4）+a（4n-3）+a（4n-2）+a（4n-1）+a（4n）
a（n-1）=s
=a（4n-8）+a（4n-7）+a（4n-6）+a（4n-5）+a（4n-4）
an-a（n-1）=a（4n-4）+a（4n-3）+a（4n-2）+a（4n-1）+a（4n）-a（4n-8）+a（4n-7）+a（4n-6）+a（4n-5）+a（4n-4）
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d（d为原数列公差）
20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。
4
a（n+1）-2an=2（an-2an-1）a（n+1）-2an=3*2^（n-1）两边同时除2^（n+1）得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列
5
那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a²+（a+b）²=（a+2b）²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化简得a²=2ab+3b²
两边同时除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三边可以写为3b，3b+b。
3b+2b
所以三边之比为3：
4：
5
6
设等差数列an=a1+（n-1）d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+（n-1）d/2
{an}的平均数为
sn/n=/n=a1+（n-1）d/2
得证
第二篇：
等差数列的证明
等差数列的证明
1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a
c^2（a+b）-b^2（c+a）=（c-b）（ac+bc+ab）
b^2（c+a）-a^2（b+c）=（b-a）（ac+bc+ab）
因c-b=b-a，则（c-b）（ac+bc+ab）=（b-a）（ac+bc+ab）
即c^2（a+b）-b^2（c+a）=b^2（c+a）-a^2（b+c）
所以a^2（b+c）,b^2（c+a）,c^2（a+b）成等差数列
等差：
an-（an-1）=常数（n≥2）
等比：
an/（an-1=常数（n≥2）
等差：
an-（an-1）=d或2an=（an-1）+（an+1）,（n≥2）
等比：
an/（an-1）=q或an平方=（an-1）*（an+1）（n≥2）.
2
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明：
1）容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立
2）假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5（j-1）-4，（j≤k）
则sk=a1+a2+…ak=5*（1+2+…+k）-4k=5k（k+1）/2-4k=k（5k-3）/2
于是s（k+1）=a（k+1）+sk
而由题意知：
（5k-8）s（k+1）-（5k+2）sk=-20k-8
即：
（5k-8）*-（5k+2）sk=-20k-8
所以（5k-8）a（k+1）-10sk=-20k-8
即：
（5k-8）a（k+1）=5k（5k-3）-20k-8=25k^2-35k-8=（5k-8）（5k+1）
所以a（k+1）=5k+1=5（k+1）-4
即知n=k+1时，推测仍成立。
3
在新的数列中
an=s
=a（4n-4）+a（4n-3）+a（4n-2）+a（4n-1）+a（4n）
a（n-1）=s
=a（4n-8）+a（4n-7）+a（4n-6）+a（4n-5）+a（4n-4）
an-a（n-1）=a（4n-4）+a（4n-3）+a（4n-2）+a（4n-1）+a（4n）-a（4n-8）+a（4n-7）+a（4n-6）+a（4n-5）+a（4n-4）
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d（d为原数列公差）
20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。
4
a（n+1）-2an=2（an-2an-1）a（n+1）-2an=3*2^（n-1）两边同时除2^（n+1）得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列
5
证明：
an=sn-sn-1=n（a1+an）/2-（n-1）（a1+an-1）/2
2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1
（n-2）an=（n-1）*（an-1）-a1
（1）
同理
（n-1）*（an+1）=nan-a1
（2）
（1）-
（2）
得到
（2n-2）an=（n-1）*（an-1）+（n-1）（an+1）
2an=an-1+an+1
所以an+1-an=an-an-1
所以数列{an}是等差数列
那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a²+（a+b）&su（感谢访问麦档网：
;=（a+2b）²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化简得a²=2ab+3b²
两边同时除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三边可以写为3b，3b+b。
3b+2b
所以三边之比为3：
4：
5
6
设等差数列an=a1+（n-1）d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+（n-1）d/2
{an}的平均数为
sn/n=/n=a1+（n-1）d/2
得证
第三篇：
等差数列证明
设数列｛an｝的前n项和为sn，若对于所有的正整数n，都有sn=n（a1+an）/2,求证：
｛an｝是等差数列
解：
证法一：
令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈n*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，
当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.
②假设当n=k（k∈n，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d由题设，有sk?
k（a1?
ak）（k?
1）（a1?
ak?
1）
sk?
1?
，22
（k?
1）（a1?
ak?
1）k（a1?
ak）
?
+ak+1
22
又sk+1=sk+ak+1，所以
将ak=a1+（k－1）d代入上式，
得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.
由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：
当n≥2时，由题设，sn?
1?
（n?
1）（a1?
an?
1）n（a1?
an）
sn?
22
所以an?
sn?
sn?
1?
n（a1?
a2）（n?
1）（a1?
an?
1）
?
22
（n?
1）（a1?
an?
1）n（a1?
an）
?
同理有an?
1?
22
从而an?
1?
an?
（n?
1）（a1?
an?
1）（n?
1）（a1?
an?
1）
?
n（a1?
an）?
22
整理得：
an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.
从而{an}是等差数列.
评述：
本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.
第四篇：
等差数列的证明
一、等差数列的证明利用等差（等比）数列的定义
在数列{an}中，若an?
an?
1?
d
二．运用等差中项性质
an?
an?
2?
2an?
1?
{an}是等差数列
三．通项与前n项和法
若数列通项an能表示成an?
an?
b（a，b为常数）的形式，则数列?
an?
是等差数列；若数列?
an?
的前n项和sn能表示成sn?
an2?
bn（a，b为常数）的形式，则数列?
an?
等差数列；
例1.若sn是数列?
an?
的前n项和，sn?
n2,则?
an?
是（）.
ａ．等比数列，但不是等差数列ｂ.等差数列，但不是等比数列ｃ．等差数列，而且也是等比数列ｄ.既非等比数列又非等差数列
练习：
已知数列前n项和sn?
n2?
2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。
练习：
设数列?
an?
的前n项的和sn?
n2?
2n?
4,?
n?
n?
?
，
⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；
⑵证明：
数列?
an?
除去首项后所成的数列a2,a3,a4?
是等差数列。
例2：
已知数列?
an?
满足a1?
1，an?
2an?
1?
2
（ⅰ）求证：
数列?
n?
n?
2?
，?
an?
是等差数列；n?
2?
?
（ⅱ）求数列?
an?
的通项公式。
练习：
已知数列?
an?
满足a1?
2，an?
1?
an，1?
2an（ⅰ）求证：
数列?
?
1?
?
是等差数列；a?
n?
（ⅱ）求数列?
an?
的通项公式。
第五篇：
已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n1-a2n证明：
数列{bn}是等差数列
已知数列{an}是等差数列，设ｂｎ＝ａ2n+1－ａ2n证明：
数列｛ｂn｝是等差数列
思路：
这个题的方法和上课讲的方法是一致的，你没有做出来，是因为忽略了数列{an}是等差数列这个条件，这个条件就以为着对于{an}来说，前后两项的差为常数
证明：
设等差数列{an}的公差为d
bn?
1?
bn
2222?
（an?
2?
an?
1）?
（an?
1?
an）
?
（an?
2?
an?
1）（an?
2?
an?
1）?
（an?
1?
an）（an?
1?
an）
?
d（an?
2?
an?
1）?
d（an?
1?
an）
?
d（an?
2?
an?
1?
an?
1?
an）
?
d（an?
2?
an）
?
d?
2d
?
2d2
⊙已知函数ｆ﹙ｘ）＝ｘ3＋ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ2＋ａｘ＋４）÷ｘ（１）若对任意的ｘ1属于【１，３】，存在ｘ2属于【１，３】，使得ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。
（２）若对任意的ｘ1，ｘ2属于【１，３】都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。
思路：
第2问是恒成立问题，你说的对，第一个问不是。
因为是“存在ｘ2”，所
以应该满足的条件是f（x）的最大值大于等于g（x）的最大值，f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值，
解：
f（x）通过求导可求得值域为f（x1）?
[2,30]，g（x2）?
x?
4?
a?
[4?
a,5?
a]x
?
30?
5?
a所以
（1）解不等式?
，解不等式即可2?
4?
a?
（2）2?
5?
a，解不等式即可
⊙设ｍ属于ｒ，在平面直角坐标系中，已知向量ａ＝（ｍｘ，ｙ＋１），向量ｂ＝（ｘ，ｙ－１），向量ａ⊥向量ｂ，动点ｍ（ｘ，ｙ）的轨迹为ｅ。
已知ｍ＝１／４，证明：
存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹ｅ恒有两个交点ａ，ｂ，且ｏａ⊥ｏｂ（ｏ为坐标原点），并求出该圆的方程。
思路：
该题就是一个“直线和圆锥曲线相交”的问题，方法是韦达定理法。
关于解析几何的大题，我会在寒假的时候，重点训练大家的，这种题的特点是运算量大，思路倒是没有什么问题。
先根据向量垂直，求出m的轨迹方程为椭圆。
然后在根据圆的性质：
切点与圆心的连线与切线垂直，切点与圆心的距离等于半径，再加上向量垂直，即可求解。
?
12x2
222?
y2?
1解：
?
b?
x?
y?
1?
0?
x?
4y?
4?
44
设圆的切线的切点坐标为p（x0,y0），则k0p?
y0x，因为op和ab垂直，所以kab?
?
0，x0y0则设直线ab的方程：
y?
y0?
?
x0（x?
x0）带入到椭圆方程中，得：
y0
2（y0?
4x0）x?
8x0rx?
4r?
4y0?
0?
x1?
x2?
222248x0r2
y0?
4x022,x1x2?
4r4?
4y0y0?
4x0222
r2?
x0x1r2?
x0x2又因为0a?
0p?
x1x2?
y1y2?
0?
x1x2?
（）（）?
0y0y0
?
x1x2?
r2?
x0（x1?
x2）?
0
将上面求得的x1?
x2?
8x0r2
y0?
4x022,x1x2?
4r4?
4y0y0?
4x0222带入到上式中，整理可求得
r2?
4422，即圆的方程为x?
y?
55
⊙设ａ＞１，则双曲线ｘ2÷ａ2－ｙ2÷（ａ＋１）2＝１的离心率ｅ的取值范围是？
a2?
（a?
1）21解：
e?
?
2a?
?
2?
5aa
总结;最后求范围是根据对勾函数求的，如果不懂，可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。
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