什么是三角形.docx
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什么是三角形
什么是三角形？
由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,这个是个准确的数!
）的封闭图形叫做三角形
例题：
已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
证明：
做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E
∵AB∥CE（已知）
∴∠ABC=∠ECD（两直线平行,同位角相等）,∠BAC=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCD=180°
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）
三角形是几何图案的基本图形，几边形都是由三角形组成的。
两直线平行，同旁内角互补。
三角形的内角和
在欧几里德的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
（注：
在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形的平面也变为了球面或者伪球面）
证明：
根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《优因培：
走进三角形》
（1）如何证明三角形的内角和
方法1：
将三角形的三个角撕下来拼在一起，求出内角和为180°
方法2：
在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°
编辑本段三角形分类
（1）按角度分
a.锐角三角形：
三个角都小于90度。
并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt三角形）：
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；
c.钝角三角形：
有一个角大于90度（锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形）。
d.证明全等时可用HL方法
（2）按角分
a.锐角三角形：
三个角都小于90度。
b.直角三角形：
有一个角等于90度。
c.钝角三角形：
有一个角大于90度。
（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）
（3）按边分
不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
解直角三角形（斜三角形特殊情况）：
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：
3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：
3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.
其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：
3,4,5；5,12,13；8,15,17等等
解斜三角形：
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有
（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R（R为三角形外接圆半径）
（2）余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
注：
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
（3）余弦定理变形公式
cosA=（b^2+C^2-a^2）/2bC
cosb=（a^2+c^2-b^2）/2aC
cosC=（a^2+b^2-C^2）/2ab
斜三角形的解法：
已知条件
定理应用
一般解法
一边和两角
（如a、B、C）
正弦定理
由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
有一解。
两边和夹角
（如a、b、c）
余弦定理
由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边
（如a、b、c）
余弦定理
由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C
在有解时只有一解。
两边和其中一边的对角
（如a、b、A）
正弦定理
由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正
弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。
编辑本段三角形的性质
1.三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：
a^2+b^2=c^2。
那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。
11.等底等高的三角形面积相等。
12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
16.全等三角形对应边相等，对应角相等。
17.三角形的重心在三条中线的交点上。
18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
（包括等边三角形）
编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线
三角形的五心四圆三点一线
这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。
“五心”指重心（barycenter）、垂心、内心（incenter）、外心（circumcenter）和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。
以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K（a）=-a^2+b^2+c^2，K（b）、K（c）类推。
三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：
记某点面积坐标为（μa,μb,μc），三分量之和为μ，则有Px=（μa·Xa+μb·Xb+μc·Xc）/μ，Py类推。
五心
名称
定义
三线坐标
（内心坐标）
面积坐标
（重心坐标）
重心
三条中线（顶点到对边中点连线）的交点
1/a:
1/b:
1/c
1:
1:
1
垂心
三条高（顶点到对边的垂线）的交点
secA:
secB:
secC
1/K（a）:
1/K（b）:
1/K（c）或
tan（A）:
tan（B）:
tan（C）
内心
三条内角平分线的交点
1:
1:
1
a:
b:
c
外心
三边中垂线的交点
cosA:
cosB:
cosC
a^2·K（a）:
b^2·K（b）:
c^2·K（c）
旁心
一内角平分线和另两角外角平分线的交点
-1:
1:
1，余类推
-a:
b:
c，余类推
四圆
内切圆：
以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。
外接圆：
以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。
旁切圆：
以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。
欧拉圆：
又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。
九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：
cos（B-C）:
cos（C-A）:
cos（A-B），半径为外接圆半径的一半。
内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切。
三点
名称
定义
三线坐标
勒莫恩点
三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心
a:
b:
c
奈格尔点
三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心
csc^2（A/2）:
csc^2（B/2）:
csc^2（C/2）
欧拉点
三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点
（暂缺）
一线
垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。
界心（不常见）
三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。
三角形界心性质：
设点D、E、F分别为⊿ABC的BC、CA、AB边上的周界中点，R、r分别为⊿ABC的
外接圆和内切圆的半径，则
（1）S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R；
（2）S⊿DEF≤S⊿ABC/4。
编辑本段三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性
编辑本段三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：
角平分线，中线，高，中位线.
（注①：
等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠
②：
三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半）
（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意:
①三角形的内心、重心都在三角形的内部
.②钝角三角形垂心、垂心在三角形外部。
（三条高的延长线交于一点，在三角形的外部）
③直角三角形垂心、垂心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
）
④锐角三角形垂心、垂心在三角形内部。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，的一则应用！
《周长固定三角形面积的最大值》
——数学建模一例
谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。
好吧，就从矩形开始吧！
问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：
什么样的矩形面积才是最大的？
首先，我们要建立数学模型！
那么什么是矩形呢？
它有些什么性质呢？
初等几何说：
有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。
那么什么是平行四边形呢？
它有些什么性质呢？
几何又说：
两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
其中，平行四边形有一条重要的性质：
平行四边形的对边相等。
好了，现在我们对矩形也有一个印象了。
简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。
而且我们知道它的面积公式：
s=a*b，由平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等。
可知它的周长公式：
L=2*（a+b）。
有了这些，就可以建模分析了：
首先，我们分析L=2*（a+b），经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：
b=L/2-a要注意条件，a是不为0的，即（a＞0）。
现在，把b=L/2-a代入s=a*b就有：
s=a*（L/2-a）=-a^2+（L/2）*a（a＞0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1＜0，函数s有最大值。
微积分的解法：
因为：
s=-a^2+（L/2）*a（a＞0），所以s｀=-2a+L/2（a＞0）令s｀=0有：
2a=L/2所以a=L/4。
所以Smax=L/4（L/2-L/4）=L^2/16max：
最大值b=a=L/4（此时，矩形为正方形）
也可以用不等式：
因为（a-b）^2≥0，又因（a-b）^2=（a+b）^2-4ab，所以有：
（a+b）^2-4ab≥0即a*b≤（a+b）^2/4当a=b，去“=”，s有最大值
因为：
a+b=L/2，s=a*b所以：
s≤（L/2）^2/4=L^2/16。
现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：
什么样的三角形面积才是最大的？
好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：
三角形两边之和大于第三边。
和一个内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
还有个推论：
三角形两边之差小于第三边。
不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x。
根据三边关系定理有：
x（0我们何不使用呢？
假设x为一个常量，则L-x也为常量。
且x2a=L-x，2c=x，且有：
2a>2c。
可以，以2c=x的中点建立坐标系，则：
a^2=（L-x/2）^2，b^2=（L-x/2）^2-（x/2）^2=L（L-2x）/。
三角形与椭圆
[1]
所以椭圆方程为：
X^2/（L-x/2）^2+Y^2/L（L+2x）/4=1
函数图像的直观反映
[2]
，三角形的面积为：
s=（1/2）*（2c）*Y，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b时，s有最大值。
即：
S=s（x）max（且此时，该三角形为等要三角形）
=c*[（L^2-2Lx）/4]^1/2
=（1/4）*x（L^2-2Lx）^1/2（0 现在，我们得到了一个关于s最大值的函数，或者说以最大值s为自变量的函数S=s（x）,可以说我们的目标是，函数最大值的最大值！
Smax=max[s（x）max]，剩下的就是微积分的技巧了，对S=s（x）max，求导：
S｀=-LX/（L^2-2Lx）^1/2+（L^2-2Lx）^1/2令S｀=0有：
LX/（L^2-2Lx）^1/2=（L^2-2Lx）^1/2，则LX=L^2-2Lx解之得：
x=L/3，且有，x=L/3 此时的三角形是一个正三角形！
Smax=max[s（x）max]=（3^1/2）*L^2/36，此模型的思想有点类似变分法，函数的函数（泛函），但还是有本质的差别。
也可以用海伦公式s=[p（p-a）*（p-b）*（p-c）]^1/2，其中p=（a+b+c）/2。
用不等式来解决！
或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。
不要以为，海伦公式s=[p（p-a）*（p-b）*（p-c）]^1/2比微积分简单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！
我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！
要证明海伦公式s=[p（p-a）*（p-b）*（p-c）]^1/2，首先，要知道余弦定理：
勾股定理的扩展——余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccosA，
则有：
cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc
所以，sinA={1-[（b^2+c^2-a^2）/2bc]^2}^1/2
={[（a^2+b^2+c^2）^2–2（a^4+b^4+c^4）]/（2bc）^2}^1/2
又因为，三角形面积公式：
s=（1/2）*bcsinA
=（1/2）*bc*{[（a^2+b^2+c^2）^2–2（a^4+b^4+c^4）]/（2bc）^2}^1/2
=（1/4）*[（a^2+b^2+c^2）^2–2（a^4+b^4+c^4）]^1/2（与角度A并无直接关系）
又∵[（a^2+b^2+c^2）^2–2（a^4+b^4+c^4）
=2a^b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4
=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+a^2c^2+b^2c^2-c^4
=b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-（b^4+a^4-2a^b^2）+a^2c^2+b^2c^2+2abc^2-c^4（配方）
=c^2（b^2-2ab+a^2）-（b^2-a^2）+c^2（b^2+2ab+a^2）-c^4
=c^2（b-a）^2-[（b+a）（b-a）]^2+c^2（b+a）^2-c^4
=c^2（b-a）^2-c^4-（b+a）^2（b-a）^2+c^2（b+a）^2（分解因式）
=c^2[（b-a）^2-c^2]-（b+a）^2[（b-a）^2-c^2]
=[（b-a）^2-c^2]*[c^2-（b+a）^2]（提公因式）
=-[（b-a）^2-c^2]*[（b+a）^2-c^2]
=[（b+a）^2-c^2]*（-1）*[（b-a）^2-c^2]
=[（b+a）^2-c^2]*（-1）（b-a+c）*（b-a-c）
=[（b+a）^2-c^2]*（b-a+c）*（a+c-b）
=（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（a+c-b）
∴s=（1/4）[（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（a+c-b）]^1/2
=[（a+b+c）/2*（a+b-c）/2*（b+c-a）/2*（a+c-b）/2]^1/2
={[（a+b+c）/2]*[（a+b+c）/2-c]*[（b+c+a）/2–b]*[（a+c+b）/2-a]}^1/2
在令：
p=（a+b+c）/2
就得到海伦公式：
s=[p（p-a）*（p-b）*（p-c）]^1/2
有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。
需要知道的一个不等式：
（a+b+c）^3/27≥abc（a，b，c均为正数，当a=b=c时，取“=”）
∵（p-a）*（p-b）*（p-c）≤[3p-（a+b+c）]^3/27，又∵2p=a+b+c；
∴（p-a）*（p-b）*（p-c）≤p3/27
则有：
[（p-a）*（p-b）*（p-c）]^1/2≤p（p）^1/2/3（3）^1/2
所以：
p^1/2[（p-a）*（p-b）*（p-c）]^1/2≤p2/3（3）^1/2
即：
s≤（3^1/2/36）p2，当p-a=p-b=p-c,即，a=b=c时，取“=”s有最大值（3^1/2/36）L^2
（2006全国卷l理科第11题）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：
㎝）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是……（B）
A8*5^1/2B6*10^1/2C3*55^1/2D20
分析：
首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。
现在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后找出这些三角形中面积最大的一个。
如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！
这个时候就需要你会建立，数学模型了，并且能够转化数学。
把离散组合，转化为连续的数学。
数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。
把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形。
无论怎么变化，有一条是不变的：
它们的和为20；于是要解决的问题就是：
当三角形周长固定时：
什么样的三角形面积才是最大的？
上面研究过，正三角形的面积最大，并且由
S=s（x）max（且此时，该三角形为等腰三角形）
=（1/4）*x（L^2-2Lx）^1/2（0 的函数图像可知，x在区间[0，L/3]]为增函数，在（L/3，L/2]为减函数。
所以，当三角形周长固定时：
越接近正三角形形状的三角形面积越大！
20/3≈6.6667，显然这里的5个数是组合不成6.6667的，只能退而求其次了，我们发现（猜出来的）：
（2+5）、（3+4）、6的组合是最接近正三角形的，所以它的面积最大。
经过简单的计算，就知道结果了：
B6*10^1/2
我们在来做一件事，比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积：
L^2/16与（3^1/2/36）L2。
为了方便比较，把它们换为小数：
0.0625L^2与0.048112522L^2我们发现四边形（正方形）的面积要大一些！
根据这中经验，是否可以数学归纳，提出猜想1：
在平面内曲线周长固定时，圆的面积最大！
猜想2：
在平面内曲线周长固定时，围成的n边形中，正n边形的面积最大！
事实上，第一个猜想是正确的，不过需要变分法来处理。
同样需要微积分来研究，不过是高等微积分了。
编辑本段特殊三角形
1.相似三角形
（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
（2）相似三角形性质
相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比
若a、b、b、c成比例，即a:
b=b:
c，则称b是a和c的比例中项
（3）相似三角形的判定
【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
【3】两角对应相等则两三角形相似
2.全等三角形
图案设计
1、图案的设计：
应用全等图形的知识，对基本图形适当进行分割、拼接，设计出美丽的图案
2、图案设计的基本步骤：
（四）、全等三角形
（1）能够完全
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