泛函分析知识总结.docx
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泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用
学习泛函分析主要学习了五大主要内容：
一、度量空间和赋
范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、度量空间和赋范线性空间
（一）度量空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间
Rn（有限维空间）的推
广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1.度量定义：
设X是一个集合，若对于X中任意两个兀素x,y,都有唯确定的实数d（）与之对应，而且这对应关系满足下列条件：
1°d（）>0,d（）=0二x=y（非负性）
2°d（）=d（）（对称性）
3°对-z，都有d（）wd（）（）（三点不等式）
则称d（）是x、y之间的度量或距离（或），称为（）度量空间或距离空间（）。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:
⑴定义在X中任意两个元素x,y确定的实数d（），只要
满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3。
被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度量函数di和d2，则我们认为（X,di）和（X,d2）是两个不同的度量空间。
⑶集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间（）中的元素为“点”，例如若x•X，则称为“X中的点”。
⑷在称呼度量空间（）时可以省略度量函数d，而称“度量空间X”。
1.1举例
1.11离散的度量空间：
设X是任意的非空集合，对X中任意两点€X,令
dx,y=1当X一y，则称（X,d）为离散
10,当x=y
度量空间。
1.13有界函数空间
B（A）:
A是给定的集合，B（A）表示A上有界
实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点，定义d（）=supx（t）-y（t）
导1
1.14可测函数空间M（X）:
M（X）为X上实值（或复值）的L可测函数全体。
d（f,g）=f（t）—g（t）dt切+|f（t）-g（t）|
1.15C［］空间（重要的度量空间）：
C［］表示闭区间［］上实值（或
复值）连续函数全体，对C［］中任意两点，定义
d（）=maxx（t）-y（t）
ag^b
1.16|2:
无限维空间（重要的度量空间）
★例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。
2.度量空间中的极限，稠密集，可分空间
2.1X0的■:
—领域：
设（X,d）为度量空间，d是距离，定义
u=（心；）=3XId（x,xo）v」为X0的以；为半径的开球，亦称
为X。
的；一领域。
注：
通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。
2.2度量空间的收敛点列：
设（X,d）是一个度量空间，g是（X,
d）中点列,如果存在xX,收敛于x使lim冷二x，即d*x）0n）心,
称点列「xj是（X,d）中的收敛点列，X叫做点列「xj的极限，且收敛点列的极限是唯一的。
注：
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
2.3有界集：
设M是度量空间（X,d）中的点集，定义6（M）=supd（x，y）
x,^-M为点集M的直径。
若，则称M为（X,d）中的有界集。
（类似于Rn,我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集）
2.4闭集：
A是闭集二A中任意收敛点列的极限都在A中，即若
XnA,1,2，.…Xn—X,则XA。
（要会证明）
2.5举例
2.5.1n维欧氏空间疋中，点列依距离收敛d（Xk,x），o=依分量收敛。
2.5.2C[]空间中，点列依距离收敛d（Xk,x）>0=依分量一致收敛。
2.5.3序列空间S中，点列依坐标收敛。
2.5.4可测函数空间M（X）:
函数列依测度收敛于f,即
d（fn,f）r0二fn=fO
2.6稠密子集和可分度量空间
有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。
261定义：
设X是度量空间，E和M是X的两个子集，令M表示M的闭包，如果E?
M，则称集M在集E中稠密，当时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。
注：
可分空间与稠密集的关系：
由可分空间定义知，在可分空间
X中一定有稠密的可数集。
这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。
2.6.2举例
1n维欧式空间Rn是可分空间：
坐标为有理数的全体是Rn的可数稠密子集。
2离散度量空间X可分=X是可数集。
（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身）
31二是不可分空间。
数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了
度量空间中映射连续性的概念。
3.连续映射
3.1定义：
设（X,d）（Y，d）是两个度量空间，T是X到Y
中的映射Xo?
X,如果对-£>0,5>0,使对X中一切满足d（X,xo）<8的X，有d（Tx,Txo）v;,则称T在Xo连续。
（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，
特别，当映射是值域空间
丫-R时，映射就是度量空间上的函数。
）
注：
对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。
下面用邻域描述：
对Txo的£-邻域U,存在xo的某个8—邻域V使，其中表示V在映射T作用下的像。
3.2定理1:
设T是度量空间（X,d）到度量空间（丫，d）中映射，
T在X连续？
当xn>xo（n》：
：
）时，必有
Txn—；Tx0（n—'）。
在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。
3.3原像的定义：
映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合｛xlx€X,?
M?
Y｝为集合M在映射T下的原像，简记为TJM。
★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以
用原像的定义来证明。
3.4定理2:
度量空间X到丫中的映射T是X上连续映射？
丫中任意开集M的原像t'm是X中的开集（除此之外，利用T4（M的补集）=（T^M）的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。
）注：
像开原像开，像
闭原像闭，映射连续。
在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。
现
在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。
4.柯西（Cauchy）点列和完备的度量空间。
4.1柯西点列的定义：
设（X，d）是度量空间，｛&｝是X中的点列，对-£>0,正整数仁），使当n,m>N时，必有d（Xn,Xm）<£，贝U称｛Xn｝是X中的柯西（）点列或基本点列。
【会判断：
柯西点列是有界点列】
我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是列，这由实数的完备性所致。
在度量空间中，这一结果未必成立。
但在度量空间中的确存在完备的度量空间。
4.2完备的度量空间的定义：
如果度量空间（X,d）中每一个柯西点列都在（X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.
★但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。
4.3举例（记住结论）
4.3.1有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式
空间Rn是完备的度量空间。
432在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列：
C、C［］、1:
:
也是完
备的度量空间。
4.4定理完备度量空间X的子空间M是完备空间二M是X中的闭子空间。
P：
a,b］（表示闭区间［a,b］上实系数多项式全体，作为C：
a,b］的子空间）是不完备的度量空间.
5.度量空间的完备化。
5.1等距映射：
设（X,d）,（x,d）是两个度量空间，T是从X到X上的映射，即对-•X,d（）（）,则称T是等距映射。
5.2定义：
设（X,d）,（x,d）是两个度量空间，如果存在一个从
X到X上的等距映射T,则称（X,d）和（X,d）等距同构，此时T称为X到x上的等距同构映射。
（像的距离等于原像的距离）
注:
在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视
为同一的。
5.2定理1（度量空间的完备化定理）：
设（X,d）是度量空间，
那么一定存在完备度量空间X=（X,d），使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且x在等距同构下是唯一的，即若（X,d）也是一个完备的度量空间，且X与刃的某个稠密子空间等距同构，贝卩（x,d）与（X,d）等距同构。
（不需要掌握证明但是要记住结论）
521定理1的改述：
设X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的
完备度量空间x=（x,d），使X为x的稠密子空间。
6.压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握并会证明）
学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。
6.1压缩映射定义：
X是度量空间，T是X到X的映射，如果存
在一个数a,…（0,1），使
对-X,yX,d（,）三ad（x,y）则称T为压缩映射。
6.2（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且仅有一个
不动点（即方程，有且只有一个解）。
（x是T的不动点二x是方程的解）
这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的
解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。
6.3压缩映射原理的应用：
在众多情况下，求解各种方程的问题
可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程
乎二f（x,y）
dx
（1）
为例来说明这一点。
求微分方程
（1）满足初始条件y（X0）=y。
的解与求积分方程
X
y（x）=y。
f（x,y（t））dt
（2）
等价。
我们做映射
x
Ty（x）二y。
f（x,y（t））dt
则方程
（2）的解就转化为求y，使之满足Ty二y。
也就是求这样的y，它经映射作用后仍变为y。
因此，求解方程
（1）就变为求映射T的不动点，这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。
那么如何求解映射的不动点呢？
在R中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。
这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。
在解决
上述问题中，看到实数完备性的重要作用。
代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近
法在泛函分析中成了一个一般原理，即压缩映射原理，压缩映射原理就是某一类映射不动点存在性和惟一性问题，不动点可以通过迭代序列求出。
注：
（1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟一不动点。
（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即
n
a
■（x..,Xn）（TXo,Xo）
1-a
因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，
所以定理中的压缩映射不需要在整个空间X上有定义，只要在某
个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依然成立。
在实际应用过程中，有时T本身未必是压缩映射，但T的若干次复合Tn是压缩映射，这时T仍然有惟一不动点，下面是压缩映射原理的应用及相关证明。
例1线性代数方程Ax=b均可写成如下形式
x二CxD（3）
其中C=（Cj）nn,D=（di,d2,,dn）T。
如果矩阵C满足条件
n
送Cjc1（i=1,2,…，n）
jm
则式（3）存在惟一解，且此解可由迭代求得。
证明：
取X=Rn，定义度量为
p（「）=maxai-bi
1玉童
F；=（a1,a2,,an）T,r=（64,…,bn）T
构造映射T:
X>X为Tx二CxD，那么方程（3）的解等价于映射T的不动点。
对于X=（X1,X2，…，Xn）T,y=（%』2,…，yn）T，由于
心劝弋骅GXj+djn+dj）
〒max送Cij（Xj—yj）兰mOX^Cijp（x,y）
jz4
n
记a=m.axE5，由条件acl，因此T是压缩映像，于是T有惟1空j4
不动点，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列
近似计算求得。
例2考察如下常微分方程的初值问题
y（x°）=y°
（4）
如果f（X,y）在R2上连续，且关于第二元y满足Lipschitz条件，
即
f（x,yj—f（x,y2）兰K屮—
这里K0是常数，则方程（4）在[X0—,X0，]上有惟一解（―十）
证明：
方程（4）的解等价于如下方程
X
y（x）=y°+Jf（t,y（t））dt
x0
（5）
的解。
取连续函数空间C[X0-「X。
」，定义其上的映射
T:
C[x。
-、,x。
C[x。
-、,x。
、]
x
（Ty）（x）=y。
+Jf（t,y（t））dt
x0
则积分方程（5）的解等价于T的不动点。
对任意两个连续函数yi（x），y2（x）•C[x。
一,x。
，]，由于
x
P（T%,Ty2）=max、[[f（t,yi（t））—f（t,y2（t））]dt
X柱X%x。
増%
x
巳甘xmax。
悔.f（t,yi（t））—f（t,y2（t））dt
x
兰maxKJyi（t）—y2（t）dt^6KP（yi,y2）
X[x^-■,x0\'Jx0
令a=K「.，则a：
1，故T是压缩映射，从而T有惟一不动点，即积分方程（5）有唯一解，从而微分方程（4）在[x0—、：
x0•、：
]上有惟一解。
例3设K（s,t）是定义在[a,b][a,b]上的二元连续函数，则对
于任何常数及任何给定的连续函数f（t）・C[a,b]，如下Volterra型
积分方程
t
x（t）='f；JK（s,t）x（s）dsf（t）
■a
（6）
存在唯一解。
证明：
取连续函数空间C[a,b]，其上定义映射T:
C[a,b>C[a,b]]为
t
（Tx）（t）K（s,t）x（s）dsf（t）
a
则方程（6）的解等价于T的不动点。
由于K（s,.t）在[a,b][a,b]上连续，于是K（s,t）在[a,b][a,b]有最大值，记为M，即
M二max、K（s,t）:
（s,t）[a,b][a,b]f
对任何两个连续函数/⑴必⑴，由于
t
（TxJ（t）—（Tx2）（t）|=JaK（s,t）[Xi（s）—X2（s）]ds
X2（s）
（t一a）maxx1（s）一
a兰s乞
=九M（t-a）P（Xj,x2）
（T2Xi）（t）-（T2X2）（t）=囚fk（s,t）[（TxJ（s）-（Tx2）（s）]ds
■a
<扎2m2P（xj,x2）[（s-a）ds
*a
.222
'（Xi，X2）
刘M2（t_a）2
2
因此
P（TnXi,TnX2）=m©x（TnXi）（t）—（TnX2）（t）
注意到
-nran’g、n
lim
nr：
n!
M（b—a）=0,因此存在自然数n°，满足
这说明
Tn0是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点，
亦即Volterra型积分方程（6）有惟一解。
例4（隐函数存在定理）设函数f（x,y）在带状域
a空x乞b,：
y：
：
：
：
:
中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy（x,y）。
如果存在常数m和M，满足
°：
：
m-fy（x,y）-M,mM
贝U方程f（x,y）=0在区间[a,b]上必有惟一的连续函数y=（x）作为解，即
f（x,：
（x））=0,x[a,b]
证明：
在完备空间C[a,b]中作映射T，使对于任意的函数
:
C[a,b]，有
1
（TJ（x）「（X）-石f（x,（x））
M
按定理条件，f（x,y）是连续的，所以仃）（x）也是连续的，即T-C[a,b]，故T是C[a,b]到C[a,b]的映射。
现证T是压缩映射，
-;：
i,2C[a,b]由微分中值定理存在0“<1使
11
（T%）（x）-（T爲）（x）|=咒（x）—^fd,申2（x））—%（x）+蔷f（x,^（x））
MM
1'
=®2（x）—®1（x）—Mfy[x,®1（x）W（®2（x）—®1（x））]・（®2（x）—®1（x））
-，2（x）—l（x）（1-乎）
M
又OcmcM所以0vmv1令a=1_卫则Ovo（<1且
MM?
，
按C[a,b]中距离的定义，有P（T®2，T®1）兰叫申2（x）-®1（x），所以T是
f（x,「（x））三0，所以
f（x,（x））三0（a乞X乞b）
★可见，压缩映射原理在处理迭代数列的收敛、微分方程定
解等问题上有着重要的应用，其观点与方法已经渗透到数学的各个分支如常微分方程、数值计算，加深了各分支间的相互联系，应用压缩映射原理解决问题也十分简洁、灵活和方便。
（二）赋范线性空间
1.线性空间
设X是非空集合，F是实数域或复数域，称X为F上的线性空间，如果满足以下条件：
对-两个元素x,yX，X中惟一个元素u与之对应，u称为x与y的和，记为u=x・y，且满足：
（1）交换律xy二yx（x,yX）；
（2）结合律x（yz）=（xy）z（x,y,zX）；
（3）在X中存在一个元素「称为零元，使xt-x（x・X）；
（4）对每个X，存在-*X，使x•（―x）7，-x称为x的负丿元。
对任意数：
…F及x・X，存在X中惟一元素v与之对应，记为
v「X，称为「与x的数乘，且满足：
（1）结合律-C-x）=^'-）xG/）FxX:
（2）1x=x;
（3）数乘对加法分配律（-：
：
H）x»x「x；
（4）加法对数乘分配律：
（xy）「X沖。
如果F=R，称X为实线性空间；如果F二C（复数域），称X为复线性空间。
对于线性空间:
X是线性空间（满足加法和数乘运算），丫是X的非空子集，任意x,yY及任意a?
R，都有x+y.丫及ax•丫，那么丫按X中加法和数乘运算也成为线性空间，称为X的子空间，X和｛0｝是平凡
子空间。
若X=Y，则称丫是X的真子空间。
2.赋范线性空间和巴拿赫（）空间（重点内容）
2.1定义：
设X为实（或复）的线性空间，如果对每一个向量xX,有一个确定的实数，记为丨x|与之对应，并且满足：
（1）|x|>0且|x|=0=0
（2）|ax|=a|x|其中a为任意实（复）数
（3）||<|x|+|y|x,yeX
则称|X|为向量x的范数，称X按范数|x|成为赋范线性空间
扩展：
①|x|是x的连续函数。
（要会证明）
2设｛Xn｝是X中的点列，如果mx^x，使|Xn-x|f0（n
fX）则称｛Xn｝依
范数收敛于x，记为xn>x（n—x）或limx^x
3如果令d（x,y）=||（x,y^X）,｛xn｝依范数收敛
于X=｛Xn｝按距离
d（x,y）收敛于x，称d（x,y）为是由范数|x|导
出的距离。
★注意：
线性贱范空间一定是度量空间，反过来不一定成立。
2.2完备的线性赋范空间称为巴拿赫（）空间
221巴拿赫空间的举例
1n维欧式空间R错误！
②C[a，b]③L④L
错误！
[a，b]（p_i）⑤ip2.2.2其他：
①霍尔德（不等式）:
bIII
屮⑴一g（t）兰fpgp；
②闵可夫斯基不等式：
f+g兰fg』。
（记住结论并会应用）
二、有界线性算子和连续线性泛函
1.算子定义：
赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y的映射，
被称为算子，如果Y是数域，
则被称为泛函。
2.线性算子和线性泛函
2.1定义：
设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D（?
）
是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对任何X,y€D及数a,都有
T（）
（1）
T（aX）=a
（2）
则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D（T）,Td称为T的值域记为r（T），当T取值于实（或复）数域时，称T为实（或复）线性泛
函。
2.2几种常见的线性算子和线性泛函的例子：
1相似算子ax当a=1时为恒等算子；当a=0时为零算子；
2P[0，1]是[0，1]上的多项式全体，定义微分算子：
（Tx）（t）=秽x（t）,
dt
若t°€[0,1]，对-x?
P[0,1]，定义f（x厂（0）则f是P[0,1]上的线性泛函。
3积分算子：
x€C[a,b]（t）=/错误！
xc）d.由积分
线性性质知T为线性算子，若令f（x）=/错误！
x（）d则f是C[a,b]中的线性泛函
4乘法算子：
x€C[a,b]（t）（t）
5R错误！
中的线性变换是线性算子
3.有界线性算子
3.1定义：
设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间
D（T）到Y中线性算子，如果存在常数c,使对所有x€d（T）,有：
||wc|xI,则称T是D（T）到Y中的线性有界算子，当D（T）时，称T为X到Y中的线性有界算子，简称为有界算子。
否则，称为无—界算子。
3.2定理1:
设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子，则T为有界的充要条件是T是X上的连续
算子。
（重要定理要会证明）
3.3定理2:
设X是线性赋范空间，f是X上线性泛函，f是X
上连续泛函的？
f的零空间？
（f）是X中的闭子空间。
（重要定理要会证明）
（若f为有界线性算子，则结论不成立，同时这也是证明泛函连续常用的方法。
）
3.4扩展
341||||《C||XII,贝UT是有界线性算子。
342定理：
T为有界算子二T是X上的连续算子
（证明有界方法：
①IT||vx②定义法③定理
法）
3.4.3例子：
1（）（t）aR（t,）有界；
2（）（t）=d（X（t））无界。
（记住结论）
dx
联系：
只有X、Y是两个赋范线性空间，并且满足一定条件下，
才能形成T是有界线性算子
4.共轭空间
4.1定义：
连续线性泛函全体所成的空间为共轭空间，
4.2性质：
①任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。
②当Y是巴拿赫（）空间时，？
（X-Y）也是巴拿赫空
间。
（
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