泛函分析知识总结.docx

1、泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容： 一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间 和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子 的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念， 它是n维欧氏空间Rn(有限维空间)的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1.度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个兀素x, y,都有唯 确定的实数d()与之对应，而且这 对 应关系满足下列条件：1 d() 0 , d()=0 二 x=y (非负

2、性)2 d()= d() (对称性)3对-z，都有d() wd()() (三点不等式)则称d()是x、y之间的度量或距离(或)，称为 ()度量空间或距离空间()。(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意: 定义在X中任意两个元素x, y确定的实数d()，只要满足1、2、3都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X中两个事物接近的程度，而条件1、2、3。被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 度量空间中由集合 X和度量函数d所组成，在同一个 集合X上若有两个不同的度量函数di和d2，则我们认为 (X, di)和(X, d2)是两个不同的度量空间

3、。集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点”，例如若 x X，则称为“ X中的点”。 在称呼度量空间()时可以省略度量函数 d，而称“度 量空间X” 。1.1举例1.11离散的度量空间：设 X是任意的非空集合，对 X中任意两 点 X,令d x, y = 1当X 一 y，则称(X, d)为离散10,当 x=y度量空间。1.13 有界函数空间B(A) : A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体，对 B(A) 中任意两点，定义d()= sup x(t) - y(t)导11.14可测函数空间M(X): M(X)为X上实值(或复值)的L可

4、测 函数全体。d(f,g)= f(t)g(t) dt 切+ |f(t)-g(t)|1.15C空间(重要的度量空间)：C表示闭区间上实值(或复值)连续函数全体， 对C中任意两点，定 义d()= maxx(t)- y(t)a gb1.16|2 :无限维空间(重要的度量空间) 例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。2.度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1X0的:领域：设(X, d)为度量空间，d是距离，定义u =(心；)=3 XI d(x,x o)v为X0的以；为半 径的开球，亦称为X。的；一领域。注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离 空间中一个点集的内点，外点，边界点

5、及聚点，导集，闭包， 开集等概念。2.2度量空间的收敛点列：设(X, d)是一个度量空间， g是(X,d）中点列,如果存在x X , 收敛 于x 使lim冷二x，即d* x） 0 n ）心 ,称点列xj是（X, d）中的收敛点列， X叫做点列xj的极限，且收敛点列 的极限是唯一的。注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同 之处。2.3有界集：设M是度量空间（X,d）中的点集，定义6（M） = supd（x，y）x,-M 为点集M的直径。若，则称M为（X, d） 中的有界集。（类似于Rn,我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界 点集）2.4闭集：A是闭集二A中任意收敛点列的极限都在

6、 A中，即若Xn A , 1,2，.Xn X,则 X A。（要会证明）2.5举例2.5.1n 维欧氏空间 疋中，点列依距离收敛d（Xk,x），o=依分量 收敛。2.5.2C空间中，点列依距离收敛d（Xk,x） 0=依分量一致收 敛。2.5.3序列空间S中，点列依坐标收敛。2.5.4可测函数空间M（X）:函数列依测度收敛于f ,即d ( fn , f ) r 0 二 fn = f O2.6稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性， 它属于实数集中，现把稠密性推 广到一般的度量空间中。261定义：设X是度量空间，E和M是X的两个子集，令M表 示M的闭包，如果E? M，则称集M在集E中稠密，

7、 当时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可 数的稠密子集，则称 X为可分空间。注：可分空间与稠密集的关系： 由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。这时 必有X中的有限个或可数个点 在X中稠密。2.6.2举例1n维欧式空间Rn是可分空间：坐标为有理数的全体是 Rn的可数 稠密子集。2离散度量空间X可分=X是可数集。（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有 X本身）31二是不可分空间。数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义， 引进了度量空间中映射连续性的概念。3.连续映射3.1定义：设（X, d） （ Y，d ）是两个度量空间，T是X到Y中的映射Xo?X,如果对- 0

8、, 5 0 ,使对X中一 切满足d （ X , xo ） xo （n：）时，必有Txn；Tx0（ n）。在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。3.3原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的 连续映射，称集合xl x X, ? M? Y为集合 M在映射T下的原像，简记为TJM。可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明， 也可以用原像的定义来证明。3.4定理2:度量空间X到丫中的映射T是X上连续映射？ 丫中 任意开集M的原像tm是X中的开集（除此之外， 利用T4 （ M的补集）=（TM ）的补集，可将定理中 开集改成闭集，定理也成立。）注：像开原像开，像闭原像闭，映

9、射连续。在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在 R中。现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。4.柯西（Cauchy ）点列和完备的度量空间。4.1柯西点列的定义：设（X，d）是度量空间，&是X中的点 列，对- 0, 正整数仁），使当n, m N 时，必有 d （ Xn , Xm ） X为Tx二Cx D，那么方程(3)的解等价于映射T 的不动点。对于 X =（X1,X2，Xn）T ,y =（%2,，yn）T，由于心劝弋骅GXj+djn+dj)max送 Cij (Xj yj)兰 mOX Cij p(x,y) j z4n记a=m.axE 5，由条件a cl，因此T是压缩映像，于是T

10、有惟 1空j4不动点，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列近似计算求得。例2 考察如下常微分方程的初值问题y(x) =y（4）如果f （X, y）在R2上连续，且关于第二元 y满足Lipschitz条件，即f （x, yj f （x, y2）兰 K 屮这里K 0是常数，则方程（4）在X0,X0，上有惟一解（十）证明：方程（4）的解等价于如下方程Xy（x） = y + J f（t,y（t）dtx0（5）的解。取连续函数空间CX0-X。，定义其上的映射T :Cx。-、,x。 Cx。-、,x。、x(Ty)(x) = y。+ J f (t,y(t)dtx0则积分方程(5)的解等价于T的不动点

11、。对任意两个连续函数 yi (x)， y2 (x) Cx。一, x。，由于xP(T%,Ty2)= max、 f(t,yi(t) f (t,y2(t)dtX柱X%x。増%x巳甘xmax。悔.f(t,yi(t)f(t,y2(t)dtx兰 max KJ yi(t) y2(t) dt6KP(yi,y2)X x -,x0 J x0令a=K.，则a ：1，故T是压缩映射，从而T有惟一不动点， 即积分方程(5)有唯一解，从而微分方程(4)在x0、：,x0 、：上 有惟一解。例3 设K(s,t)是定义在a,b a,b上的二元连续函数，则对于任何常数 及任何给定的连续函数 f(t) Ca,b，如下Volterr

12、a型积分方程tx(t) = f； J K (s,t)x(s)ds f (t)a(6)存在唯一解。证明：取连续函数空间Ca,b，其上定义映射T : Ca,b Ca,b 为t(Tx)(t) K(s,t)x(s)ds f(t)a则方程(6)的解等价于T的不动点。由于K(s,.t)在a,b a,b上连 续，于是K(s,t)在a,b a,b有最大值，记为M，即M 二 max、K(s,t) :(s,t) a,b a,bf对任何两个连续函数/必，由于t(TxJ(t) (Tx2)(t)| = Ja K(s,t)Xi(s) X2(s)dsX2 (s)(t 一 a) max x1 (s) 一a兰s乞=九 M (t

13、 - a) P(Xj, x2)(T 2 Xi )(t) - (T 2 X2)(t)=囚 f k (s, t)( TxJ( s) - (Tx 2)(s)dsa 扎 2 m 2 P(xj, x2) (s - a)ds*a.2 2 2(Xi，X2)刘 M2(t _a)22因此P(TnXi,TnX2)=mx(TnXi)(t)(TnX2)(t)注意到-n ra ng 、nlimnr： n!M (ba) =0,因此存在自然数n，满足这说明Tn0是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点，亦即Volterra型积分方程(6)有惟一解。例4 (隐函数存在定理) 设函数f(x, y)在带状域a空x乞b, ：

14、y ：:中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy(x,y)。如果存在常数m和M，满足 ： m - fy(x, y) - M , m M贝U方程f(x,y) =0在区间a,b上必有惟一的连续函数y= (x)作 为解，即f (x, ：(x) =0,x a,b证明：在完备空间Ca,b中作映射T，使对于任意的函数:Ca,b，有1(T J(x)(X)- 石 f(x, (x)M按定理条件， f(x, y)是连续的，所以 仃)(x)也是连续的，即 T- Ca,b，故T是Ca,b到Ca,b的映射。现证T是压缩映射，-;：i, 2 Ca,b由微分中值定理存在0 “ 1使1 1(T%)(x) -(T爲)(x)| =

15、咒(x) fd,申2(x) %(x) +蔷 f(x,(x)M M1 =2（x） 1（x） M fyx, 1（x） W（2（x） 1（x） （2（x） 1 （x）-，2（x） l（x）（1 - 乎）M又OcmcM所以0vmv1令a =1_卫 则Ovo（1且M M ? ， 0 且 | x | =0 = 0(2)|a x | = a| x |其中a为任意实(复)数(3)| x (nx)或lim x x3如果令d (x, y) = | ( x,yX ) , xn依范数收敛于X = Xn按距离d (x, y)收敛于x，称d (x, y)为是由范数| x |导出的距离。注意：线性贱范空间一定是度量空间，反

16、过来不一定成立。2.2完备的线性赋范空间称为巴拿赫()空间221巴拿赫空间的举例1n维欧式空间R错误！Ca，b L L错误！a，b(p_i) ip 2.2.2 其他：霍尔德(不等式):b I II屮一g(t)兰 f p gp ；闵可夫斯基不等式： f + g兰f g。(记住结论并会应用)二、有界线性算子和连续线性泛函1.算子定义：赋范线性空间 X到另一个赋范线性空间 Y的映射，被称为算子，如果Y是数域，则被称为泛函。2.线性算子和线性泛函2.1定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间， D(?)是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对任何 X, y D及数a,都有T () (1)T (

17、a X) = a (2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义 域，记为D (T), Td称为T的值域记为r(T)，当T 取值于实(或复)数域时，称 T为实(或复)线性泛函。2.2几种常见的线性算子和线性泛函的例子：1相似算子ax 当a =1时为恒等算子；当a =0时为零 算子；2P0，1是0，1上的多项式全体，定义微分算子：(Tx)( t)=秽 x(t),dt若 t 0 , 1，对- x?P0, 1，定义 f (x 厂(0)则 f 是P0, 1上的线性泛函。3积分算子：x Ca, b (t) =/错误！xc)d.由积分线性性质知T为线性算子，若令f (x) = /错误！ x()d则f

18、是Ca , b中的线性泛函4乘法算子：x Ca, b (t ) (t )5R错误！中的线性变换是线性算子3.有界线性算子3.1定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D (T)到Y中线性算子，如果存在常数 c,使对所有 x d (T),有：|w c | x I,则称 T 是 D (T)到 Y中的线性有界算子，当D (T)时，称T为X到Y 中的线性有界算子，简称为有界算子。否则，称为无 界算子。3.2定理1:设T是线必性赋范空间 X到线性赋范空间 Y中的线 性算子，则T为有界的充要条件是 T是X上的连续算子。（重要定理要会证明）3.3定理2 :设X是线性赋范空间，f是X上线性泛函，f

19、是X上连续泛函的？ f的零空间？（ f ）是X中的闭子空 间。（重要定理要会证明）（若f为有界线性算子，则结论不成立，同时这也是证明泛函连 续常用的方法。）3.4扩展341 |C| XII,贝U T是有界线性算子。342定理：T为有界算子二T是X上的连续算子（证明有界方法：I T|vx 定义法 定理法）3.4.3例子：1（）（t）a R（t,）有界；2（）（t ）= d （X （t）无界。（记住结论）dx联系：只有X、Y是两个赋范线性空间，并且满足一定条件下，才能形成T是有界线性算子4.共轭空间4.1定义：连续线性泛函全体所成的空间为共轭空间，4.2性质：任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。当Y是巴拿赫（）空间时，？（X-Y）也是巴拿赫空间。（