强线性相关与弱线性无关.docx

强线性相关与弱线性无关.docx

《强线性相关与弱线性无关.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《强线性相关与弱线性无关.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

强线性相关与弱线性无关

强线性相关与弱线性无关

杨闻起

【摘要】目的推广线性相关与线性无关的定义与性质.方法借助于对比分析的方法进行研究.结果/结论引入了强线性相关与弱线性无关的定义,给出了它们的性质和判别方法,并得到线性空间的一些结论.

【期刊名称】《宝鸡文理学院学报（自然科学版）》

【年（卷）,期】2009（029）002

【总页数】3页（P1-3）

【关键词】线性相关;强线性相关;线性无关;弱线性无关

【作者】杨闻起

【作者单位】宝鸡文理学院,数学系,陕西,宝鸡,721013

【正文语种】中文

【中图分类】基础科学

宝鸡文理学院学报（自然科学版），第29卷，第2期，第1-2,3页,2009年6月JournalofBaojiUniversityofArtsandSciences（NaturalScience）,Vol.29,No.2,pp.1-2,3,Jun.2009强线性相关与弱线性无关’杨闻起（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013）·摘要：

目的推广线性相关与线性无关的定义与性质。

方法借助于对比分析的方法进行研究。

结果／结论引入了强线性相关与弱线性无关的定义，给出了它们的性质和判别方法，并得到线性空间的一些结论。

关键词：

线性相关；强线性相关；线性无关；弱线性无关．，一7一中图分类号：

0151.2文献标志码：

A文章鲡号：

1007-1261（2009）02-0001-02StronglineardependenceandweaklinearindependenceYANGWen-qi（DepartmentofMathematics,BaojiUniversityofArtsandSciences,Baoji721013,Shaanxi,China）Abstract:

AimTogeneratetheconceptsandpropertiesoflineardependenceandlinearindepend-ence.MethodsThemethodofcontrastanalysiswasemployed.ResultsandConclusionThecon-ceptsofstronglineardependenceandweaklinearindependenceareintroduced,theirsomepropertiesanddistinguishingmethodaregiven,andsomeresultsoflinearspaceareobtained.Keywords:

lineardependence;stronglineardependence;linearindependence;weaklinearindependenceMSC2000:

15A03l定义在高等代数中，把向量组口．，口：

，…，瓯（s≥1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数kl，k2，…，是，，使得kia,+k2a2+…+是，a。

=0。

否则，由是1口1+k2口2+…+是，口；-0可推出ki一最2一…一忌；-0，称口l，口2，…，口，线性无关‘1'2]。

，本文中，把线性相关的条件予以加强，同时把线性无关的条件相应减弱，给出两个新概念。

定义I在线性空间V中，向量组a，，口：

，…，口，（s≥1）称为强线性相关，如果存在数域P中全不为零的数尼，，屉：

，…，点，，使kia,+k2rr2+…+k，口；-O。

否则，如果由kit;t1+k2a2+…+k，口；-O可推出有一个走，-0，称口l，a2，…，口，弱线性无关。

显然，一个向量强线性相关当且仅当它线性相关，一般地，强线性相关必线性相关，但线性相关未必强线性相关。

例l口，一（1，O，O），a2一（0，1，-1），口。

一（0，-1，1）线性相关，但不是强线性相关，因为由kl口,+k2口2+k3口3—0可推出走l-O。

2性质定理l如果口，，cr2，…，口，强线性相关，那么每个向量都可由其余向量线性表出。

证明因为al，tl2，…，口，强线性相关，所以存在全不为零的数k，，忌：

，…，k，，使得k1口l+k2a2+…+愚，口，一O，对任意口．（i—l，2，…，s），则有kia，一一是I口l一…一是r．Iai-l-是，+1ar+l-…-是，口，，壶因为是，≠o，上式可化为：

口，一一}口-一·一k}口r．，一笔}口件-一…一筹口。

推论l如果∞，啦，…，饭中有一个向量不能由其余向量线性表出，那么，c．，嘞，…，a弱线性无关。

定理2如果a．，锄，…，仉强线性相关，那么，其中含任意n-l个向量的部分组等价。

*收稿日期：

2008-10-2

4．基金项目：

宝鸡文理学院第七批教育教学研究立项（wljg0716）；宝鸡文理学院重点科研基金资助项目（ZK076）作者简介：

杨闻起（1962-），男，陕西歧山人，副教授，研究方向：

代数学．E-mail．baojiywq@126.camUniversityofArtsandSciences（NaturalScience）,Vol.29,No.2,pp.1-2,3,Jun.2009杨闻起（·摘要：

目的推广线性相关与线性无关的定义与性质。

方法究。

结果／结论引入了强线性相关与弱线性无关的定义，给出了它们的性质和判别方法，并得到线性．，一7一文章鲡号：

1007-1261（2009）02-0001-02lineardependenceandweaklinearindependence（DepartmentofMathematics,BaojiUniversityofArtsandSciences,Baoji721013,Shaanxi,China）AimTogeneratetheconceptsandpropertiesoflineardependenceandlinearindepend-ence.MethodsTheanalysiswasemployed.ResultsandConclusioncon-ceptslineardependenceandweaklinearindependenceareintroduced,theirsomepropertiesdistinguishingmethodaregiven,andsomeresultsoflinearspaceareobtained.Keywords:

lineardependence;stronglineardependence;linearindependence;weaklinearindependenceMSC2000:

15A03l定义在高等代数中，把向量组口．，口：

，…，瓯（s≥1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数kl，k2，…，是，，使得kia,+k2a2+…+是，a。

=0。

否则，由是1口1+k2口2+…+是，口；-0可推出ki一最2…忌；-0，称口l，口2，口，线性无关‘1'2]。

本文中，把线性相关的条件予以加强，同时把线性无关的条件相应减弱，给出两个新概念。

定义Ikia,+k2rr2+…+k，口；-O。

否则，如果由kit;t1+k2a2+…+k，口；-O可推出有一个走，-0，称口l，a2，…，口，弱线性无关。

显然，一个向量强线性相关当且仅当它线性相关，一般地，强线性相关必线性相关，但线性相关未必强线性相关。

例l口，（1，O，O），a201，-1），口。

-1）线性相关，但不是强线性相关，因为由kl口,+k2口2+k3口3—0可推出走l-O。

2性质定理l如果口，，cr2，…，口，强线性相关，那么因为al，tl2强线性相关，所以+愚O对任意口．（i—l，2，…，s），则有一一是I口l一…一是r．Iai-l-是+1ar+l--壶因为是，≠o，上式可化为：

口，一一}口k}r笔}口件-筹口。

基金项目：

宝鸡文理学院第七批教育教学研究立项（wljg0716）；宝鸡文理学院重点科研基金资助项目（ZK076）作者简介：

杨闻起（1962-），男，陕西歧山人，副教授，研究方向：

代数学．E-mail．baojiywq@126.cam宝鸡文理学院学报（自然科学版）证明取al，a2，…，佴中任意n-l个向量口．，锄，…，口}l，口I+l，…，a,，我们证明它与a1，C，…，a"-1等价。

设z

由定理2显然可以得出以下结论：

推论2设口，，口2，…，亿强线性相关，如果其中有s-l个向量线性无关，那么，其中任意s-1个向量线性无关。

如果其中有s-1个向量线性相关，那么，其中任意s-1个向量线性相关。

推论3如果向量组口，，啦，…，瓯中有s-1个向量线性无关，另有s-1个向量线性相关，那么，口，，嘞，…，饭弱线性无关。

定理3如果向量组a，，口2，…，峨线性相关，且其中任意n-1个向量线性无关，那么口，，锄，…，%强线性相关。

证明因为a，，嘞，…，峨线性相关，所以存在一组不全为零的数忌，，kz，…，k。

，使k,al+k2a2+…+志。

口。

-O，假如其中有一个数为零，取壶i-0，则有kial十k2a2+…+krta，1+志斗lo“l+…+志。

口。

-0，但a1，嘞，…，Ctr．1，口汁l，…，瓯线性无关，从而志1一是：

一…一走。

一0，矛盾。

所以，k,，k：

，…，是。

全不为零，从而，口，，啦，…，口。

强线性相关。

由定理3显然可以得出以下结论：

定理4如果crl，a。

，…，口，中的每个向量都可由其余向量线性表出，且其中有s-l个向量线性无关，那么口，，口。

，…，口，强线性相关。

证明显然口，，口。

，…，crs线性相关，且其中含任意s-1个向量的部分组等价。

其中有s-1个向量线性无关，故其中含任意s-1个向量的部分组线性无关，由定理3得，口，，口：

，…，口。

强线性相关。

3判别方法如果向量口一（z．，z：

，…，z。

）∈P”中有一个分量为0，称它为弱零向量。

如果向量口一（zl，工2，…，丁。

）∈P”中的每个分量都不为0，称它为强非零向量。

如果齐次线性方程组AX-0的系数矩阵的列向量为CtI，口。

，…，a。

，那么，该方程组可写成riai+r2a2+…+z。

口。

-O，故AX-0有强非零解向量当且仅当口，，口：

，…，c。

强线性相关，AX=0只有弱零解向量当且仅当al，口z，…，口。

弱线性无关。

下面给出判别n维向量强线性相关与弱线性无关的方法。

定理4口，，C：

，…，口，∈P"是秩为r的向量组，A是以口，，a2，…，口，为列的矩阵，且A经过三种初等行变换和交换列的变换化为B-0.N.00.-.o令p-一（

6．．H．，…，bh），…，肛一（br．件，，…，6。

）。

则口-，口z，…，c，强线性相关当且仅当Pi，…，pr全不为零，口，，口z．…，口，弱线性无关当且仅当p，，…，卢，中至少有一个为零。

显然齐次线性方程组AX-0等价于BX'-0，即化简为z712—61．，+lz7件l一…一6ljz7s；

（1）z7r=一6，，一lz7件I一…一6nz75如果P，…，pr中至少有一个为零，不妨取pl-O，则它的任意解向量中T7，-0，故AX=O只有弱零解向量，从而al，口：

，…，口，弱线性无关。

反过来，如果C．，a2，…，口，弱线性无关，则

（1）只有弱零解向量，也就是说，对z7件．，…，z7，的任意取值，z，，…，I，的值不全为零，故pl，…，p中至少有一个为零。

例2设口t一[1】，cz一[Oi]，口。

一哮]，以它们为列作出的矩阵为㈠㈩㈨故aI，口。

，C。

强线性相关。

4应用利用强线性相关与弱线性无关，可以给出线性空间的基的有关结论。

定理5口，，口：

，…，口。

是线性空间V的一组基，口∈V，如果al，a：

，…，口。

，口强线性相关，那么，用cr替换C，，Ct2，…，a。

中的任意一个向量后也是V的基。

反过来，如果C，，a2，…，口。

，口抖，中任意去掉一个向量后都是线性空间V的基，那么口．，口。

，…，c。

，arr+l必强线性相关。

由于口，，a。

，…，cr。

是线性空间V的一组基，故al，口2，…，口。

线性无关，但口，，口2，…，口。

，a强线性相关，由推论2，Ct1，a2，…，口。

，tr中的任意n个向量线性无关，从而，用口替换a，，a2，…，a。

中的任意一个向量后也是V的基。

取al，…，佴中任意n-l个向量口．，，…，口}l，口I+l，…，a,，我们证明它与a1，C，…，a"-1等价。

设z

由定理2显然可以得出以下结论：

推论2个向量线性无关，那么，其中任意s-1个向量线性无关。

如果其中有s-1个向量线性相关，那么，其中任意s-1线性相关。

证明因为a，，嘞，…，峨线性相关，所以存在志。

口。

-O假如其中有一个数为零，取壶i-0，则有斗lo“l+但a1，嘞，Ctr．1，口汁l，…，瓯线性无关，从而志1一：

走矛盾。

所以，k,，k：

，…，是。

全不为零，从而，口，，啦，…，口。

强线性相关。

由定理3显然可以得出以下结论：

定理4由其余向量线性表出，且其中有s-l个向量线性无关，那么口，，口。

，…，口，强线性相关。

证量线性无关，故其中含任意s-1个向量的部分组线性无关，由定理3得，口，，口：

，…，口。

强线性相关。

3”中有一个分量为0，称它为弱零向量。

如果向量zl，工2，丁。

）∈P中的每个分量都不为0，称它为强非零向量。

如果齐次线性方程组AX-0的系数矩阵的列向量为CtI，口。

，…，a。

，那么，该方程组可写成riai+r2a2++z故AX强线性相关，AX=0只有弱零解向量当且仅当al，口z弱线性无关。

下面给出判别n维向量强线性相关与弱线性B-0.N..-.o令p-一（6．．H．，…，bh），…，肛一（br．件，，…，6。

）。

则口-，c强线性相关当且仅当Pi，…，pr全不显然齐次线性方程组AX-0等价于BX'即化简为z712—61．，+lz7件l一…一6ljz7sz7r=6，，一lz7件I一…一6nz5如果P，pr中至少有一个为零，不妨取pl-O，则它的任意解向量中T7，-0，故AX=O只有弱零解向量，从而al，口：

，…，口，弱线性无关。

反过来，如果C．，a2，…，口，弱线性无关，则

（1）只有弱零解向量，也就是说，对z7件．，…，z7，的任意取值，z，，…，I，的值不全为零，故pl，…，p中至少有一个为零。

口t[1】，cz[Oi]哮]以故aI，口。

，C。

强线性相关。

4应用利用强线性相关与弱线性无关，可以给出线基，口∈V如果al，a，口强线性相关，那么用cr替换C，，Ct2，…，a。

中的任意一个向量后也的基。

反过来，如果C，，a2，…，口。

，口抖，中任意宝鸡文理学院学报（自然科学版），第29卷，第2期，第3-7页,2009年6月JournalofBaojiUniversityofArtsandSciences（NaturalScience）,Vol.29,No.2,pp.3-7,Jun.2009Normequalitiesinpre-HilbertC'-modulesGUOI,i-min,CAOHuai-xin,ZHANGYe（CollegeofMathematicsandlnformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi'an710062,Shaanxi,China）Abstract:

AimresearchthenecessaryandsufficientconditionsforIIz+ylI=lIr-lI+lIylIandPythagoras'equalityinapre-HilbertC'-module.MethodsOperatortheoreticmethodisused.ResultsIIx+yl[=[VrlI+lIylIprovestenableifandonlyifthereexistsastate+oftheC'-algebra.0suchthat+《lIylI工-lI.rlIy,lIyILr-IUrlIy》=0andeither+《r,x2工'lIx112,or声（

C'-algebra;pre-HilbertC'-modull;numericalrange;triangleinequality;Cauchy-Schwartzinequality;Pythagoras'equalityCLCnumber:

0177.1Documentcode:

AArticleID:

1007-1261（2009）02-0003-05MSC2000:

46L08;42C40准HilbertC*一模上的范数等式郭丽敏，曹怀信，张陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西邺西安710062）摘要：

目的为了研究0T+y0一IUr0+』y0和毕达哥拉斯等式在准HilbertC’一模中成立的充要条件。

方法采用了算子论方法进行研究。

结果证明了II.r+y0一lIzlI+0y0成立当且仅当存在．。

一上的态庐使得≠（）-o且声（（z，z>）一111II2或+《y，y》一IIy02成立。

也给出了准HilbertC’一模中毕达哥拉斯等式成立的充要条件。

结论本文的结果对研究准HilbertC一模中的范数等式非常有用。

关键词：

C‘一代数；准HilbertC’一模；数值域；三角不等式；（,auchy-Schwartz不等式；毕达哥拉斯等式中图分类号：

0177.1文献标志码：

A文章编号：

1007-1261（2009）02-0003-05IIntroductionI.etHbeaHilbertspaceoverF-（RorC）withaninnerproduct（.,.）,denotebyB（H）thealgebraofalt-~------*------~---------------..---------------------------~----------------------*----------+--+-N------*---**----*------+-+-+----------+-----------------------------反过来，显然V是72维空间，故口，，o：

，…，口。

，a，沣1线性相关，且口l，crz，…，a。

，口抖l中的任意n个向量线性无关，由定理3知，ai，口：

，…，a。

，口。

+l必强线性相关。

定理6在n维线性空间V中，如果al，口。

，…，a。

弱线性无关，且其中任意n-l个向量线性无关，则a，，a2，…，口。

是V的基。

由于口，，口2，…，口。

弱线性无关，且任意取掉一个向量后线性无关，由定理3知