强线性相关与弱线性无关.docx

1、强线性相关与弱线性无关强线性相关与弱线性无关杨闻起【摘 要】目的 推广线性相关与线性无关的定义与性质.方法 借助于对比分析的方法进行研究.结果 /结论引入了强线性相关与弱线性无关的定义,给出了它们的性质和判别方法,并得到线性空间的一些结论.【期刊名称】宝鸡文理学院学报（自然科学版）【年(卷),期】2009(029)002【总页数】3页(P1-3)【关键词】线性相关;强线性相关;线性无关;弱线性无关【作 者】杨闻起【作者单位】宝鸡文理学院,数学系,陕西,宝鸡,721013【正文语种】中 文【中图分类】基础科学宝鸡文理学院学报（ 自然科学版） ，第 29 卷 ，第 2 期 ，第 1-2,3 页 ,

2、2009 年 6 月 Journal of Baoji Universityof ArtsandSciences(NaturalScience),Vol.29, No.2,pp.1-2,3,Jun.2009强线性相关与弱线性无 关杨 闻起 （宝鸡文理学院 数学系 ，陕西 宝鸡 721013 ） 摘 要 ：目的 推 广 线性 相 关 与 线 性 无 关 的 定 义 与 性质 。 方 法借 助 于 对 比 分 析 的 方 法 进行研究 。 结 果 结论 引入 了 强 线性 相 关 与 弱 线性无 关 的 定 义 ，给 出 了 它 们 的 性 质 和 判 别 方 法 ，并得 到 线性空 间 的 一

3、些 结 论 。关键词 ：线性相 关 ；强 线性相 关 ；线性无 关 ；弱 线性无 关 ，一7 一中图分类号 ：0151.2文献标 志码 ：A文章鲡 号 ：1007-1261(2009)02-0001-02 Strong lineardependenceandweaklinearindependence YANG Wen-qi (Departmentof Mathematics,BaojiUniversityof ArtsandSciences,Baoji721013,Shaanxi,China) Abstract: AimTogeneratetheconceptsandpropertiesof

4、 linear dependenceandlinear independ- ence.MethodsThe method of contrast analysiswasemployed.ResultsandConclusion Thecon-cepts of strong linear dependenceandweaklinearindependenceareintroduced,theirsomeproperties and distinguishingmethodaregiven,andsomeresultsof linear spaceareobtained. Keywords:lin

5、ear dependence;stronglinear dependence;linear independence;weaklinear independence MSC2000:15A03 l 定 义 在 高等代 数 中， 把 向量 组 口，口：， ，瓯 (s 1)称为线性相关 ，如果有数域 P 中不 全为零 的数kl，k2 ， ，是 ， ，使得 kia,+k2a2+ + 是 ，a 。 =0 。 否则 ， 由 是 1 口1+k2 口2+ + 是 ，口； -0 可推 出 ki 一 最2 一 一 忌 ； -0 ，称 口l ，口2 ， ，口， 线性无关 12 。，本 文 中 ，把线性相关 的条件

6、予 以 加强 ， 同时把 线性无关 的条件相应减弱 ，给 出两个新概念 。 定 义 I在线性空 间 V 中 ， 向量组 a ，口： ， ，口，(s 1) 称为强线性相关 ，如果存在数域 P 中全不为零 的数 尼，屉 ：， ，点 ， ，使 kia,+k2rr2+ +k ，口； -O 。否则 ，如果 由 kit;t1 +k2a2+ +k ，口； -O 可推 出 有一个 走 ， -0 ，称 口l ，a2 ， ，口， 弱线性无关 。 显然 ，一 个 向量强线性 相关 当且 仅 当它 线性 相关 ，一般地 ， 强线 性 相关必线性 相 关 ，但线性 相 关未必强线性相关 。例 l 口， 一 (1 ，O

7、，O) ，a2 一 （ 0 ， 1 ，-1 ） ，口。 一 （0 ， -1 ， 1 ）线性相关 ，但不是强线性相关 ，因为 由 kl 口,+k2 口2+k3 口3 0 可推 出 走 l-O 。 2 性质 定理 l 如果 口，cr2 ， ，口， 强线性相关 ，那 么每个 向量都可 由其余 向量线性表 出 。证 明因为 al ，tl2 ， ，口， 强线性相 关 ，所 以存在全不 为零 的数 k ，忌 ： ， ，k ， ，使得 k1 口l+k2a2+ + 愚 ， 口， 一 O ， 对 任意 口(i l ，2 ， ，s) ，则有 kia，一一 是 I口l 一 一 是 rI ai-l-是 ， +1ar+

8、l- - 是 ， 口， ， 壶 因为 是 ， o ，上式可化为 ：口， 一一 口 - 一 一 k 口 r ， 一 笔 口件- 一 一 筹 口。推论 l如果 ，啦 ， ，饭 中有一个向量不能由其余向量线性表出，那么 ，c ，嘞 ， ，a 弱线性无关。定理 2如果 a ，锄 ， ，仉 强线性相关 ，那么 ，其中含任意 n-l个向量的部分组等价 。 *收稿 日期 ：2008-10-24 基金项 目：宝鸡文理学院第七批教育教学研究立项 (wljg0716) ；宝鸡文理学院重点科研基金资助项 目(ZK076) 作者简介 ：杨闻起(1962-) ，男 ，陕西歧山人 ，副教授 ，研究方向 ：代数学 E-ma

9、il baojiywq126.cam Universityof ArtsandSciences(NaturalScience),Vol.29, No.2,pp.1-2,3,Jun.2009杨闻起（摘要：目的推 广 线性 相 关 与 线 性 无 关 的 定 义 与 性质 。 方 法究 。结 果 结论引入 了 强 线性 相 关 与 弱 线性无 关 的 定 义 ，给 出 了 它 们 的 性 质 和 判 别 方 法 ，并得 到 线性，一7一文章鲡 号 ：1007-1261(2009)02-0001-02 lineardependenceandweaklinearindependence (Depart

10、mentof Mathematics,BaojiUniversityof ArtsandSciences,Baoji721013,Shaanxi,China) Aim To generate theconceptsandpropertiesof linear dependenceandlinear independ- ence. Methods The analysiswasemployed.ResultsandConclusion con- cepts linear dependenceandweaklinearindependenceareintroduced,theirsomeprope

11、rties distinguishingmethodaregiven,andsomeresultsof linear spaceareobtained. Keywords:linear dependence;stronglinear dependence;linear independence;weaklinear independence MSC 2000:15A03 l定 义在 高等代 数 中， 把 向量 组 口，口：， ，瓯 (s 1)称为线性相关 ，如果有数域 P 中不 全为零 的数 kl，k2 ， ，是 ， ，使得 kia,+k2a2+ + 是 ，a 。 =0 。否则 ， 由 是 1

12、 口1+k2 口2+ + 是 ，口； -0 可推 出 ki 一最2忌；-0，称口l，口2，口，线性无关 12。本 文 中 ，把线性相关 的条件予 以 加强 ， 同时把线性无关 的条件相应减弱 ，给 出两个新概念 。定 义 I kia,+k2rr2+ +k ，口； -O 。否则 ，如果 由 kit;t1 +k2a2+ +k ，口； -O 可推 出有一个 走 ， -0 ，称 口l ，a2 ， ，口， 弱线性无关 。显然 ，一 个 向量强线性 相关 当且 仅 当它 线性相关 ，一般地 ， 强线 性 相关必线性 相 关 ，但线性 相关未必强线性相关 。例l口，(1，O，O)，a201，-1），口。-1

13、）线性相关 ，但不是强线性相关 ，因为 由 kl 口,+k2 口2+k3 口3 0 可推 出 走 l-O 。 2性质定理 l如果 口，cr2 ， ，口， 强线性相关 ，那 么因为 al，tl2强线性相 关 ，所 以+愚O对 任意 口(i l ，2 ， ，s) ，则有一一 是 I口l 一 一 是 rI ai-l-是+1ar+l -壶因为 是 ， o ，上式可化为 ：口， 一一 口kr笔口件-筹口。基金项 目：宝鸡文理学院第七批教育教学研究立项 (wljg0716) ；宝鸡文理学院重点科研基金资助项 目(ZK076)作者简介 ：杨闻起(1962-) ，男 ，陕西歧山人 ，副教授 ，研究方向 ：代数

14、学 E-mail baojiywq126.cam宝鸡文理学院学报（ 自然科学版）证 明 取 al ，a2 ， ，佴 中任意 n-l 个向量 口，锄， ，口l ，口I+l ， ，a, ，我们证明它 与 a1 ，C ， ，a-1 等价 。设 zn ，由于 口，锄 ， ，a 强线性相关 ，由定理1得 ， %可 由a ，嘞 ， ，crn-1 线性表出，且 霸 可 由 口， ，tri-l ，tlr+l ， ，% 线性 表 出， 故 a1 ，啦 ， ，ai-l ， at+l ， ，峨 与 口l ，嘞 ， ，an-l 等价。 由定理 2 显然可 以得出以下结论 ： 推论 2设口，口2 ， ，亿 强线性相关

15、，如果其中有 s-l个向量线性无关 ，那么 ，其中任意 s-1 个向量 线性无关。 如果其中有 s-1 个向量线性相关 ，那么 ， 其中任意 s-1个向量线性相关 。推论 3如果向量组 口，啦 ， ，瓯 中有 s-1 个向量线性无关 ，另有 s-1 个向量线性相关 ，那么 ，口，嘞， ，饭 弱线性无关。定理 3如果向量组 a ，口2 ， ，峨 线性相关 ，且其中任意 n-1 个向量线性无关 ，那么 口，锄 ， ，% 强线性相关。 证明 因为 a ，嘞 ， ，峨 线性相关 ，所 以存在一组不全为零的数 忌 ，kz ， ，k。 ，使 k,al+k2a2+ + 志 。口。 -O ， 假如其中有一个数

16、为零 ，取 壶 i-0 ，则有 kial十 k2a2+ +krta ，1+志 斗lo “l+ + 志 。口。 -0 ， 但a1 ，嘞 ， ，Ctr1 ，口汁l ， ，瓯 线性无关 ， 从 而 志 1 一是 ： 一 一 走 。 一 0 ， 矛盾 。所 以 ，k, ，k：， ，是 。 全不 为零 ，从而 ，口，啦 ， ，口。 强线性相关 。 由定理 3 显然可 以 得 出 以下结论 ： 定理 4如果 crl ，a 。， ，口， 中的每个 向量 都可由其余 向量线性表 出 ，且其 中有 s-l 个 向量线 性无关 ，那么 口，口。 ， ，口， 强线性相关 。 证明显然 口，口。， ，crs 线性相关

17、 ， 且其中含任意 s-1个向量的部分组等价 。其 中有 s-1 个 向量线性无关 ，故其中含任意 s-1 个 向量的部分组线 性无关 ，由定理 3 得 ，口，口：， ，口。 强线性相关 。3判别方法如果 向量 口 一 (z ，z ：， ，z 。 ) P” 中有一 个 分量 为 0 ，称它为弱零 向量 。 如果 向量口 一 （ zl ，工2 ， ，丁。 ） P ”中的每个分量都不 为 0 ，称它 为强非零向量 。 如果齐次线性方程组 AX-0 的系数矩 阵 的 列 向量为 Ct I，口。 ， ，a 。 ，那 么 ，该方程组 可写成riai +r2a2+ +z 。口。 -O ， 故 AX -0有

18、强非零解 向量 当且仅 当 口，口： ， ，c 。强线性相 关 ，AX=0 只 有 弱 零 解 向量 当且 仅 当 al ，口z ， ，口。 弱线性无关 。 下 面给出判别 n 维 向量强线性相关 与弱线性无关 的方法 。定 理 4口，C ： ， ，口， P 是秩 为 r 的 向量组 ，A是 以 口 ，a2 ， ，口， 为列 的矩 阵 ，且 A 经过三种初 等行变换和交换列 的变换化为 B-0.N.00.-.o 令 p- 一 (6 H ， ，bh) ， ，肛 一 （ br件， ，6 。 ） 。 则口- ，口z ， ，c ， 强线性相关 当且 仅 当 Pi ， ，pr 全 不为零 ，口，口z ，

19、口， 弱线性无关 当且仅 当p ， ，卢 ，中至 少有一个 为零 。显 然齐次线性方程组 AX-0 等价 于 BX-0 ， 即化简为z712 61， +lz7 件l 一 一 6ljz 7s ； (1) z7 r= 一 6 ，一lz7 件I 一 一 6nz 75 如果P ， ，pr 中 至 少 有 一 个 为 零 ， 不 妨 取 pl -O ，则它 的任 意解 向量 中 T7 ， -0 ，故 AX=O 只有弱零解 向量 ，从而 al ，口： ， ，口， 弱线性无关 。 反过来 ， 如 果 C ，a2 ， ，口， 弱 线 性 无 关 ， 则(1) 只 有 弱 零解 向量 ， 也 就 是 说 ， 对

20、 z7 件， ，z7 ， 的任意取值 ，z ， ，I ， 的值不全为零 ，故 pl， ，p 中至少有一个为零 。例 2 设 口t 一 1 】 ，cz 一 Oi，口。 一 哮 ， 以它们为列 作 出的矩 阵为 故 aI ，口。 ，C 。 强线性相关 。 4 应 用 利用 强 线性相 关 与弱线性无关 ， 可 以 给 出线性空 间的基 的有关结论 。定理 5口，口： ， ，口。 是线 性 空 间 V 的一 组基 ，口 V ， 如 果 al ，a ： ， ，口。 ，口 强 线性 相 关 ， 那么 ， 用 cr 替换C ，Ct2 ， ，a 。 中的任意一个 向量后也是 V 的基 。 反 过来 ，如果

21、C ，a2 ， ，口。 ，口抖， 中任 意去掉一个 向量后 都是线 性 空 间 V 的基 ， 那 么 口，口。， ，c 。 ，arr+l 必强线性相关 。由于 口，a 。， ，cr。 是线性空 间 V 的一组基 ，故 al ，口2 ， ，口。 线性无关 ，但 口，口2 ， ，口。 ， a强线性相关 ， 由推论 2 ，Ct 1，a2 ， ，口。 ，tr 中的任意 n个 向量线 性 无关 ， 从 而 ， 用 口 替换 a ，a2 ， ，a 。中的任意一个 向量后 也是 V 的基 。取 al， ，佴 中任意 n-l 个向量 口， ，口l ，口I+l ， ，a, ，我们证明它 与 a1 ，C ， ，a

22、-1等价 。设 zn ，由于 口，锄 ， ，a 强线性相关 ，由定理 1得 ， % at+l ， ，峨 与 口l ，嘞 ， ，an-l 等价。由定理 2 显然可 以得出以下结论 ：推论 2个向量线性无关 ，那么 ，其中任意 s-1 个向量线性无关。 如果其中有 s-1 个向量线性相关 ，那么 ，其中任意 s-1线性相关。证明因为 a ，嘞 ， ，峨 线性相关 ，所 以存在志。口。-O假如其中有一个数为零 ，取 壶 i-0 ，则有斗lo “l+但a1，嘞，Ctr1 ，口汁l ， ，瓯 线性无关 ， 从 而 志 1 一：走矛盾 。所 以 ，k, ，k：， ，是 。 全不 为零 ，从而 ，口，啦 ，

23、 ，口。 强线性相关 。由定理 3 显然可 以 得 出 以下结论 ：定理 4由其余 向量线性表 出 ，且其 中有 s-l 个 向量线性无关 ，那么 口，口。 ， ，口， 强线性相关 。证量线性无关 ，故其中含任意 s-1 个 向量的部分组线性无关 ，由定理 3 得 ，口，口：， ，口。 强线性相关 。 3”中有一 个分量 为 0 ，称它为弱零 向量 。 如果 向量zl，工2，丁。 ） P中的每个分量都不 为 0 ，称它 为强非零向量 。如果齐次线性方程组 AX-0 的系数矩 阵 的列 向量为 Ct I，口。 ， ，a 。 ，那 么 ，该方程组 可写成 riai + r2a2+z故 AX强线性相

24、 关 ，AX=0 只 有 弱 零 解 向量 当且 仅 当 al，口z弱线性无关 。下 面给出判别 n 维 向量强线性相关 与弱线性 B- 0.N.-. o令 p- 一 (6 H ， ，bh) ， ，肛 一 （ br件， ，6 。 ） 。 则口-，c强线性相关 当且 仅 当 Pi ， ，pr 全 不显 然齐次线性方程组 AX-0 等价 于 BX即化简为 z71 2 61， +lz7 件l 一 一 6ljz 7 s z7 r=6，一lz7 件I 一 一 6nz 5如果P，pr中 至 少 有 一 个 为 零 ， 不 妨 取 pl -O ，则它 的任 意解 向量 中 T7 ， -0 ，故 AX=O只有

25、弱零解 向量 ，从而 al ，口： ， ，口， 弱线性无关 。反过来 ， 如 果 C ，a2 ， ，口， 弱 线 性 无 关 ， 则 (1) 只 有 弱 零解 向量 ， 也 就 是 说 ， 对 z7 件， ，z7 ，的任意取值 ，z ， ，I ， 的值不全为零 ，故 pl， ，p中至少有一个为零 。口t1】，czOi哮以故aI，口。 ，C 。 强线性相关 。 4应 用利用 强 线性相 关 与弱线性无关 ， 可 以 给 出线基 ，口V如果al，a，口强 线性 相 关 ， 那么用cr替换C ，Ct2 ， ，a 。 中的任意一个 向量后也的基 。 反 过来 ，如果 C ，a2 ， ，口。 ，口抖，

26、中任 意宝鸡文理学院学报 （ 自然科学版 ） ，第 29 卷 ，第 2 期 ，第 3-7 页 ,2009 年 6 月 Journal of BaojiUniversityof ArtsandSciences(NaturalScience),Vol.29, No.2,pp.3-7 ,Jun.2009 Norm equalitiesinpre-HilbertC-modules GUOI,i-min,CAOHuai-xin, ZHANG Ye (Collegeof MathematicsandlnformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xian 710062

27、,Shaanxi,China) Abstract:Aim researchthe necessaryandsufficientconditionsforIIz+ylI =lIr-lI+lIylIandPythagorasequalityinapre-HilbertC-module.Methods Operatortheoreticmethodis used.Results IIx+yl=VrlI+lIylIprovestenable ifandonlyifthere exists astate+of the C -algebra.0such that + lIylI 工 -lI.rlIy,lI

28、yILr-IUrlIy=0 andeither +r,x2 工 lIx112,or 声 (y,y =lIy112 Thenecessaryandsufficientconditionsfor Pythagorasequality irpre-HilbertC -module. Conclusion result is veryuseful for researchingnormequalities in pre-HilbertC-modules. Keywords:C-algebra;pre-HilbertC-modull;numericalrange;triangleinequality;C

29、auchy- Schwartz inequality;Pythagorasequality CLCnumber:0177.1 Document code:A ArticleID:1007-1261( 2009)02-0003-05 MSC2000:46L08;42C40准HilbertC*一模上 的范数等式郭 丽 敏 ， 曹怀 信 ， 张陕西 师范大学 数学 与信息科学学 院 ， 陕西邺 西安 710062)摘 要 ：目的 为了研 究0T+y0一 IUr0+ y 0和毕达哥拉斯等式在 准 HilbertC 一模 中成 立 的 充要条件 。 方法采 用 了 算子 论方 法进行研 究 。 结 果证

30、 明 了II.r+y0一 lIzlI+0y0成 立 当且仅 当存在 。 一上 的 态 庐使得 （ ）-o 且 声 (z ，z) 一 111II 2 或+ y ，y 一 IIy02 成 立 。 也给 出 了 准 HilbertC 一 模 中毕达哥拉斯等式成 立 的 充要条件 。 结论 本 文的 结 果对研 究 准 HilbertC一模 中的 范数等式 非 常有用 。关键词 ：C一代数； 准 HilbertC 一 模 ； 数值域 ； 三 角不 等式 ； (,auchy-Schwartz 不等式 ； 毕达哥拉斯等式中图分类号 ： 0177.1文献标志码 ：A文章编号 ：1007-1261(2009)

31、02-0003-05 IIntroductionI.et HbeaHilbertspaceoverF-(RorC)withaninnerproduct(.,.),denotebyB(H)thealgebraof alt - - - -*- - - -.- - - - - - - - - - - - - -*- - -+-+-N - - -*-*- - -*- - -+-+-+- - - - - -+- - - -反过来 ，显 然 V 是 72 维空 间 ，故 口，o ： ， ，口。 ， a， 沣1线性相关 ，且 口l ，crz ， ，a 。 ，口抖l 中的任意 n 个 向量线性无关 ， 由定 理 3 知 ，ai ，口： ， ，a 。 ，口。+l 必 强线性相关 。定理 6在 n 维线性空 间 V 中 ，如果 al ，口。， ，a 。 弱线性无关 ，且其 中任意 n-l 个 向量线性无关 ，则 a ，a2 ， ，口。 是 V 的基 。由于 口，口2 ， ，口。 弱 线性无关 ，且任意取掉一 个 向量后线性无关 ， 由定理 3 知