数学符号意识的理解.docx
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数学符号意识的理解
数学符号意识的理解
符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来，方便地进行表达、交流、思考以及解决问题。
数学符号能够精确地表达某种概念、方法、数量关系和逻辑关系，从而为数学交流和进一步学习数学提供了方便。
《标准》根据数学的学科和课程特点，把在解决问题的过程中发展学生的"符号感"作为义务教育阶段的一个重要的数学学习内容。
一、如何理解符号感
符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。
学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。
《标准》强调发展学生的符号感，并指出：
“符号感主要表现在：
从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。
”
1．无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化，规律，这是发展学生符号感的决定性因素。
学生已有的生活经验中潜藏着“符号意识”，这是发展学生“符号感”的重要基础。
比如，路口有标志“
”，表示此路不通；某场地有标志“
”表示可以停车；还有地图上的各种标识，等等。
从某种意义上讲，我们生活在一个被“符号化”的世界。
然而，数学教学中，学会“符号运算”似乎是一个极大的难题。
原因何在？
主要的问题在于我们以往的教学不承认学生经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。
例如，在解决“一张桌子最多可以围坐6人，15人至少需要多少张桌子？
”这一问题时，有的学生可能会通过实际“排演”找到答案；有的学生可能会用长方形的小片表示桌子，用小圆片表示人，然后通过操作找到答案；还有的学生可能会在白纸上画出下图给出答案。
当然，也有的学生会通过列算式求得结果。
又如，《标准》在第二学段给出了一个案例：
按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序摆下去，第16个气球的颜色是什么？
学生利用经验，可以给出多种解题策略。
策略一：
红红红黄黄绿红红红黄黄绿红红红黄；策略二：
A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，AAABBCAAABBCAAAB。
策略三：
1表示红气球，2表示黄气球，3表示绿气球，1112231112231112…。
又如，表示"由矮到高的3个人"也可以有多种方式：
上述案例表明，“符号感”的发展需要有坚实的经验基础。
应促进学生在交流、分享的过程中，丰富经验，学习符号化的多种途径，逐步体会用数、形将实际问题"符号化"的优越性。
2．引进字母表示是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。
引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。
荷兰著名数学家、数学教育家H.Freudenthal指出：
“代数开始的典型特征是文字演算。
”字母作为数学符号有两种作用。
首先，字母可作为专用名词，如π是个完全确定的数，或用A表示两直线交点。
显然，特定集合需要使用标准的专用名词，如Z，N。
其次，字母可作为不确定的名词，就像日常生活中的“人”，可以表示所有的人。
用符号来表示具体情境中的数量关系，也像普通的语言一样，首先需要引进基本的字母。
在数学语言中，像数字以及表示数的字母、表示点的字母、+一×÷等表示运算的符号、=<>等表示关系的符号等等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。
从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。
从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，或者是形式地死记硬背，而不理解其意义。
要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示数的意义。
第一，用字母表示运算法则、运算律以及计算公式。
这种一般化是基于算法的，常常开始于算术中对数的运算。
算法的一般化，深化和发展了对数的知识。
如加法交换律a+b=b+a，乘法结合律（ab）c=a（bc），两数和的平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2等。
在这里，字母a，b，c表示任意的实数。
代数中用字母表示数，把人们关于数的知识上升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，是从算术的实际向代数的抽象的一个飞跃。
用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。
第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。
例如，如果白糖每千克a元，那么b千克自糖的价格是ab元；匀速运动中的速度u、时间t和路程s的关系是s=ut；三角形的面积公式是S=1/2ah（a表示三角形某一底边的长，h表示该底边上的高）等等。
第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。
例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程；用字母（例如hy）表示某一变化过程中相关联的两个变量，利用给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。
对于《标准》所说的"能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示"，应从以下几方面去理解：
第一，这种表示常常从探索和发现规律以及进行归纳推理开始，然后用代数式一般化地将它们表示出来。
例如，搭1个正方形需要4根火柴棒。
（1）按照图中的方式，搭2个正方形需要几根火柴棒？
搭3个正方形需要几根火柴棒？
（2）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？
（3）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？
你是怎样得到的？
（4）如果用z表示所搭正方形的个数，那么搭z个这样的正方形需要多少根火柴棒？
与同伴进行交流。
在搭2个、3个、10个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当搭100个时，学生们就需要探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒根数的变化规律。
规律是一般性的，需要用字母表示。
根据不同的算法，学生可能得到下列四种不同形式的表达式：
4+3（z-1），z+z+（z+1），1+3z，4z一（z-1）。
第二，用字母表示的关系或规律通常被用于计算（或预测）某个未给出的或不易直观得到的值。
如上述问题中，当z=100时，1+3z=1+3×100=301。
第三，用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。
用代数式表示是由特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示数的意义。
应当说明的是，在用字母表示的过程中，学生往往会感到一些困惑。
H.Freudenthai指出：
“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多a，b，c，……其实，这就像我们讲到这个人和那个人一样，学生不理解a怎么能等于b。
你可以告诉他：
'实际上，a与b不一定相等，但也可能偶然相等，就像我想像中的人恰好与你想像中的人相同。
最本质的一点是要使学生知道字母可以表示某些东西，不同的字母或表达式可表示相同的东西。
”对字母可以直接赋值，可以把字母看成具体事物，也可以把字母看成未知数，把字母看成可以取不同值的广义数等，这些都体现了字母表示的意义。
另外，字母和表达式在不同的场合有不同的意义，如，5=2z+1表示z所满足的一个条件，事实上，z在这里只是占据一个特殊数的位置，可以利用解方程找到它的值；y=2z表示变量之间的关系，z是自变量，可以取定义域内的任何数，y是因变量，y随z的变化而变化；（a+b）（a-b）=a2-b2表示一个一般化的算法，表示一个恒等式；如果α和b分别表示矩形的长和宽，S表示矩形的面积，那么S=ab表示计算矩形面积的公式，同时也表示矩形面积随长和宽的变化而变化的关系。
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程。
一般化超越了实际问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。
一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。
3．理解符号所代表的数量关系和变化，会把实际问题中的数量关系用符号表示出来。
这包括以下几个方面：
第一，使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义。
如代数式6p可以表示什么？
学生可以解释为：
当p表示正六边形的边长时，6p可以表示正六边形的周长；当p表示一本书的价格时，6p可以表示6本书的价格；6p也可以表示一张光盘的价格是一本书的价格的6倍；如果1个长凳可以坐6个小朋友，那么6p表示p个长凳可以坐6p个小朋友。
第二，用关系式、表格、图象表示变量之间的关系。
如，有一张正方形的纸，在它的四个角分别剪去一个相同的小正方形，制成一个无盖长方体，怎样才能使制成的无盖长方体的体积尽可能大？
假设正方形纸的边长为20cm，剪去的小正方形的边长依次为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，折成的无盖长方体的体积将如何变化？
（1）可用表格表示：
小正方形的边长/m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
无盖长方体的体积/cm3
通过表格，可以观察到当小正方形的边长为3cm时，无盖长方体的体积最大。
我们把小正方形的边长在2.5cm33j3.5cm之间进行细化，这时得到，当小正方形的边长为3.5cm时，无盖长方体的体积最大。
我们还可以把小正方形的边长在3cm到4cm之间再进行细化。
总之，我们可以根据所要求的精确度继续上述过程，直到得出满足要求的结果为止。
（2）用图象表示：
根据表格中的数据画图，把用表格表示的关系用图象进行表示（下图）。
（3）用关系式表示：
设所折无盖长方体体积为V，长方体的高为h，则无盖长方体的体积V与高h的关系是：
V=h（20-2h）2。
会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化。
符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运算和推理，最后得到结果，这就是数学建模的思想。
事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。
第三，能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中获取所需信息。
.如，下图是汽车运动的速度和时间的关系图：
（1）汽车运动的时间范围和速度范围是什么？
（2）在最初的15分中，汽车速度的变化有什么特点？
在开出后的第15分，汽车的速度是多少？
（3）在以后的15分中，汽车速度的变化可以怎样描述？
在第30分时，汽车的速度是多少？
（4）在最后的10分中，汽车速度的变化有什么特点？
在第40分时，汽车的速度是多少？
学生应该能够用语言正确地描述图象所表示的关系，从图中获得以上问题的答案。
4．会进行符号间的转换。
在现实生活中，符号间的转换是丰富多彩的。
这里所说的符号间的转换，主要指表示变量之间关系的表格法、关系式法、图象法和语言表示之间的转换。
用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此多种表示方法不仅可以加强对概念的理解，也是解决问题的重要策略。
从数学学习心理的角度看，不同的思维形式，它们之间的转换及其表达方式是数学学习的核心。
能把变量之间关系的一种表示形式转换为另一种表示形式，构成数学学习过程中的重要方面。
如，某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时主要依据的是下面表格中的数据：
鸡的质量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间/分
40
60
80
100
120
140
160
180
利用表格我们可以直接地看到鸡的质量和需要烤制的时间，但是如果我们恰好需要烤制3.2千克的鸡，那么就需要把表格表示的关系转化为关系式表示。
用关系式表示：
设鸡的质量为w千克，烤制时间为t分。
从表中可以看出，质量每增加0.5千克，时间增加20分，由此可知t可能是切的一次函数。
实际上，烤制时间t（分）与鸡的质量w（千克）的关系式为：
t=40w+20。
利用关系式我们可以方便地求出表格中没有给出的数值，如当w=3.2时，t=40×3.2+20=148，即当鸡的质量为3.2千克时，烤制时间为148分。
不论是从表格表示还是关系式表示，我们都可以容易地转化为图象表示。
图象对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图象表示以其直观性有着其他的表示方式所不能替代的作用，图象将关系式和数据转化为几何形式，因此，图象是“看见”相应的关系和变化情况的途经之一。
这几种表示之间是互相联系的，一种表示的改变会影响到另一种表示的改变。
5.能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。
解决问题的第一步是将问题用符号进行表示，也就是进行符号化。
第二步是选择算法，进行符号运算。
第一步是把实际问题转化为数学问题，即数学化，第二步是在数学内部的推理、运算等。
比如，我们将一个实际问题表示为一个一元二次方程，然后根据方程我们选择用公式法去求解。
会进行符号运算也是很重要的。
二、如何培养学生的符号感
要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。
在教材编写与教学中，对符号演算的处理应尽量避免让学生机械地练习和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等，以帮助学生理解。
如果说代数是一种语言的话，则数字和字母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式（如等式、不等式）就是这种语言的“句子”。
既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等。
只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用代数这种语言进行推理、计算、交流和解决问题。
《标准》认为，必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算。
但是并不主张进行过繁的形式运算训练。
学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而应贯穿于数学学习的全过程，伴随着学生数学思维的提高逐步发展。
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