函数综合题.docx

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函数综合题

简单线性规划

1．设变量x，y满足约束条件

则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）

A.﹣5B.﹣4C.﹣2D.3　

2．若变量x，y满足约束条件

，则z=3x+4y的最大值是（　　）

A.12B.26C.28D.33　

3．已知x，y∈R，且

则

的最大值是（　　）

A.

B.

C.

D.7

4．实数x，y满足

．

（1）若

，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

（2）若z=x2+y2，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围．

5.已知x、y满足不等式

，求z=3x+y的最小值．

6.已知线性约束条件

，求目标函数z=x+2y的最大值　____　．

7．已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，

求证：

①|c|≤1．

②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．

8．设集合A={（x，y）|y≥|x﹣2|，x≥0}，B={（x，y）|y≤﹣x+b}，A∩B≠

．

（1）求b的取值范围；

（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值为9，求b的值．

9．函数f（x）=x3﹣9x2cosα+48xcosβ，g（x）=3x2﹣18xcosα+48cosβ，且对任意的实数t均有g（1+e﹣|t|）≥0，

g（3+sint）≤0．

（I）求g

（2）；

（II）求函数f（x）的解析式；

10．已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x1，x2），且方程f（x）=x的两实根为α，β．

（Ⅰ）若|α﹣β|=1，试比较a，b的大小；

（Ⅱ）若α＜1＜β＜2，求t=x1+x2+x1x2的取值范围．

函数综合

1．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

f（ab）=af（b）+bf（a）．

（1）求f（0）及f

（1）的值；

（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若

，求证数列{un}是等差数列，并求{un}的通项公式．

2．设函数f（x）=x2+|x﹣a|（x∈R，a∈R）．

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1，3）恒成立，求实数a的取值范围．

3．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f

（2）=1，

（1）求证：

f（x）是偶函数；

（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

4．已知函数f（x）的定义域D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0；

（1）求f

（1）与f（﹣1）的值；

（2）判断函数的奇偶性并证明；

（3）求证：

f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

5．已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λx﹣cosx在

上是减函数．

求a的值与λ的范围；

6.已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得

，对一切

，都成立？

若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

7．已知定义在R上的函数f（x）满足下面两个条件：

①对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0

（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；

（2）判断f（x）的单调性，并证明；

（3）如果不等式

对于任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．

8．已知

是R上奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）对任意正数x，不等式

恒成立，求实数k的取值范围．

9．已知函数f（x）=2x，g（x）=﹣x2+2x+b（b∈R），记

．

（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2）．若f（x1）=g（x2），求实数b的值；

（Ⅲ）若2xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

10．已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①x1、x2、x1﹣x2是定义域中的数时，有

；

②f（a）=﹣1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．

（1）判断f（x1﹣x2）与f（x2﹣x1）之间的关系，并推断函数f（x）的奇偶性；

（2）判断函数f（x）在（0，2a）上的单调性，并证明；

（3）当函数f（x）的定义域为（﹣4a，0）∪（0，4a）时，

①求f（2a）的值；②求不等式f（x﹣4）＜0的解集．

11．已知定义域为R的函数

是奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

12．f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f

（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．

（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；

（2）解不等式

；

（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．

13．定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

14．已知函数f（x）=logax，（a＞0且a≠1）．

（1）若g（x）=f（|x|），当a＞1时，解不等式g

（1）＜g（lgx）；

（2）若函数h（x）=|f（x﹣a）|﹣1，讨论h（x）在区间[2，4]上的最小值．

15．已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设F（x）=g（x）﹣λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在

上为减函数，且在

上为增函数？

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

16．设函数f（x）与g（x）的定义域是x∈R且x≠±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且

．

（1）求f（x）和g（x）的解析式；

（2）指出f（x）的单调增减区间并证明．

17．已知函数f（x）=

．

（1）求函数的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

18.定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，

其中f

（1）=2

（1）求f（0）、f（﹣1）的值；

（2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．

19.已知定义在R上的奇函数

．

（1）求a，b的值；

（2）若不等式

对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；

（3）定义：

若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）

叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：

对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在

R上的周期为2的奇函数，且当x∈（﹣1，1）时，g（x）=f（x）﹣x，求方程g（x）=0的所有解．