小学数学五年级《排列组合》练习题含答案.docx

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小学数学五年级《排列组合》练习题含答案

《排列组合》练习题（含答案）

内容概述

加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，在之前的学习中，我们已经对它们有所了解，

对于加乘原理我们只需要记住：

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关！

排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键：

首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：

①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？

若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？

②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.

本讲主要巩固加强此部分知识，注重排列组合的综合应用.

排列

在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．

从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做（m≤n），.其中.

【例1】4名男生和2名女生去照相，要求两各女生必须紧挨着站在正中间，有几种排法？

分析：

分两步进行，先安排两个女生有种方法，4个男生站的位置有种方法，共有=2×1×4×3×2×1=48（种），故有48种排法．

【巩固】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?

分析：

把4个空车位看成一个整体，（4个空车位看成一样的）与8辆车一块儿进行排列．.

【前铺】讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！

计算：

（1）；

（2）

分析：

（1）=14×13×12-14×13=2002；

（2）=3×（6×5×4×3×2）-3×2×1=2154.

【例2】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？

如果同类书可以分开，一共有多少种排法？

（只写出表达式，不用计算）

分析：

每种书内部任意排序，分别有，，种排法，然后再排三种类型的顺序，有种排法，整个过程分4步完成．×××=103680（种）．如果同类书可以分开，就相当于4+5+3=12本书随意排，有种排法.

【例3】用0，1，2，3，4可以组成多少个没重复数字的三位数？

分析：

（法1）在本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1，2，3，4这四个数字中选择1个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有种方法．由分步计数原理得，三位数的个数是：

4×=48（个）．

（法2）：

从0，1，2，3，4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0．从0，1，2，3，4这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中首位是0的三位数有个．三位数的个数是：

-=5×4×3-4×3=60-12=48（个）．

不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么全排列再剔出不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．

【前铺】

（1）用1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位数?

（2）用1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？

分析：

（1）要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成=5×4×3=60种没有重复数字的三位数．

（2）没有要求数字不能重复，所以不能直接用来计算，分步考虑，用乘法原理可得：

5×5×5=125（个）.

注意“重复”和“没有重复”的区别！

【巩固】用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?

分析：

小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、三位数的首项．（个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也需要考虑．

【例4】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?

分析：

先排独唱节目，四个节目随意排，有=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．

【例5】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排.

分析：

（1）（种）.

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440（种）．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．（种）．

（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.

（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．（种）.

（7）可以分为两类情况：

“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880（种）．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．

【例6】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜，至少要试多少次？

分析：

四个数字之和为9的情况有：

l+1+1+6=9；1+1+2+5=9；1+1+3+4=9；1+2+2+4=9；1+2+3+3=9；2+2+2+3=9，分别计算这6种情况．对于“l+1+1+6”这种情况，我们只需考虑6，其它1放那都一样；对于“1+1+2+5”这种情况，只需考虑2和5，其它同理，可得答案：

【巩固】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：

一共有多少种不同的订法?

分析：

可以分三种情况来考虑：

（1）3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有=6种不同的排列，此时有6×2=12种订法．

（2）3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有3×2=6种订法．

（3）3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．

由加法原理，不同的订法一共有12+6+l=19种．

组合

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.

　　从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作这就是组合数公式.

【例7】以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形?

分析：

从8个点中选3个点，一共有56种不同的选法．但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形，所以应去掉两条直线上不合要求的选法．5个点选3个的选法有10种．4个点选3个的选法有4种．所以一共可以画出56-（10+4）=42不同的三角形．

【前铺】右图共有11条射线，那么图中有多少个锐角？

分析：

如图，最大的为锐角，它内部的各个角一定也是锐角，图中共有11条射线，任取两条作为角的两边便可确定一个锐角．因为角的两边不存在顺序关系，所以应该用组合．=55.

几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题．

【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下！

计算：

（1），

（2）

分析：

（1），，；

（2），，

注意：

从上发现规律.

【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？

分析：

由于3，5，7，11都是质数，因此所得乘积各不相同，因此只要求出不同的质数对的个数就可以了．

=6.

【巩固】一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？

分析：

分步考虑，（种）.

【例8】有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问：

共需比赛多少场？

分析：

分三部分考虑，第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛．第一组要赛：

=21（场），第二组要赛：

=15（场），决赛阶段要赛：

=6（场），总场数：

21+15+6=42（场）．

【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?

分析：

10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：

（1）5奇1偶，对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有1×5=5种选择；

（2）3奇3偶，对奇数有=10种选择，对偶数也有=10种选择．由乘法原理，有10×10=100种选择；

（3）1奇5偶，对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有5×1=5种选择．

由加法原理，不同的摸法有：

5+100+5=110种．

【例9】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种?

分析：

分三步进行：

第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有15种选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给6种选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有15×6×l=90种不同的分配方法．

【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?

分析：

先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有=20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．

【例10】工厂从100件产中任意抽出三件进行检查，问:

（1）一共有多少种不同的抽法?

（2）如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

（3）如果100件产品中有2件次品，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?

、

分析：

从100件产品中抽出3件检查，与抽出3件产品的顺序无关，是一个组合问题．

（1）不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数．=161700（种）.

（2）可分两步考虑，第一步：

从2件次品中抽出一件次品的抽法有种；第二步：

从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种．再用分步计数原理求出总的抽法数，.

（3）可以从反面考虑，从抽法总数中减去抽出的三件都是合格品的情况，便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数．.

【例11】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，